книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf270 |
1'мкш 5 |
лучевых осцилляций и, следовательно, невозможен. Таким образом, теорема Лиувилля позволяет строить лишь устройства, у которых наклон лучей соответствует луче вой амплитуде. Такое устройство может быть реализова но, например, путем постепенного увеличения оптической силы линз вдоль оси волновода и уменьшения расстояния между линзами таким образом, чтобы их фокусы все вре мя оставались совпадающими. Однако уменьшение ампли туды лучей за счет изменения их наклона оказывается малым, поскольку невозможно неограниченно увеличи вать оптическую силу лпиз. С некоторого момента необ ходимо вернуться к линзам с малой оптической силой. Но как только луч выйдет из волновода, линзы которого имеют большую оптическую силу, амплитуда его увели чится из-за уменьшения наклона и в результате не получится никакого выигрыша. Аналога затухающего гармонического осциллятора для световых лучей не суще ствует. Можно уменьшить амплитуду лучей за счет потерь мощности, передаваемой пучком. Однако подавление лучевых колебаний за счет потерь мощпостн пучка, по-ви димому, но очень выгодно х).
Единственное практическое решение проблемы осцил лирующих лучей возможно с помощью активного устрой ства, изменяющего направление луча [56]. Такое устрой ство должно быть чувствительно к положению отдельного луча п заставлять линзы или призмы изменять свое поло жение таким образом, чтобы световой пучок двигался обратно к оси. Оно не нарушает теорему Лиувилля, так как/не действует на связку лучей с целью уменьшения ее объема в фазовом пространстве, а влияет на каждый отдельный луч, фазовый пространственный объем которого равняется пулю.
5.6.НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ЛИНЗОВОГО ВОЛНОВОДА
Впредыдущих разделах мы видели, что линзовые вол новоды обладают способностью направлять световые лучи. Однако известно, что лучевая оптика дает лишь прибли-
*) Демпфирование раскачки пучка с помощью диафрагм рас смотрено в работе [37*].— Прим. ред.
JJ низовые иилпшюНы |
271 |
женпоо описание распространения света, поэтому необ ходимо подтвердить справедливость полученных ранее результатов более строго. Мы увидим, что анализ с пози ций волновой оптики эти результаты подтверждает. Дополнительно к информации о траекториях лучей мы получим также сведения, относящиеся к распределению поля и потерям световых пучков. Рассмотрение будет относиться к случаю волновода с правильно установлен ными линзами. Исследование случая хаотических смеще ний линз методами волновой оптики является гораздо более сложным. Результаты, полученные с помощью лучевой оптики, показали важность правильной расста новки линз.
Исследование линзового волновода с позиций волновой оптики базируется на скалярной волновой теории. Такое приближение является достаточным для выявления наи более существенных явлений. Так, с его помощью можно показать, что в линзовом волноводе могут распростра няться нормальные моды, а распределения полей более общего вида могут быть представлены как суперпозиции нормальных мод.
Для определения нормальных мод в линзовом волно воде воспользуемся тем обстоятельством, что распределе ние поля на каждой линзе повторяется с точностью до фазового множителя. Такое определение нормальной моды отличается от того, которое применяется в теории цилинд рических металлических волноводов [2, 58]. В этой тео рии типы волн имеют одно и то же распределение поля в любом сечеипи волновода (с точностью до фазового множителя). Такое различие можно объяснить следую щим образом. Цилиндрический металлический волно вод является структурой, инвариантной по отношению к произвольному смещению вдоль осп. При смещении металлического волновода на произвольную величину по оси 2 мы не обнаружим какого-либо изменения струк туры, т. е. система инвариантна относительно произволь ных смещений в направлении оси 2. Линзовый же волно вод имеет существенно отличные свойства. Произвольное смещение волновода вдоль его оси изменяет внешний вид волновода относительно неподвижного наблюдателя. Лишь при смещении волновода па величины, кратные расстоя-
272 Глава 5
ншо между линзами, его конфигурация сохраняется. Линзовый волновод является периодической структурой, и поэтому ои инвариантен лишь относительно смеще ний, кратных периоду. Из теории групп следует, что любая функция exp (i|3z) есть представление группы непре рывных смещений [59]. Но представления периодических структур должны быть периодическими функциями с пе риодом, равным периоду структуры.
Для читателя, знакомого с волновой механикой, может оказаться полезной следующая аналогия. Электрон в сво бодном пространстве можно описать с помощью плоских волн. Эти плоские волны могут рассматриваться в каче стве нормальных мод, которые имеют одинаковый вид в любом поперечном сечении, перпендикулярном направ лению распространения. Вдоль направления распростра нения изменяется только фаза. В периодическом кристалле волновая функция электронов совершенно иная. Она имеет вид функции Блоха [60] и представляется в виде произве дения функции, период которой равен периоду кристал лической решетки, на фазовый множитель, зависящий от z. Нормальные моды в линзовом волноводе являются анало гами функции Блоха электронов в кристаллических решетках.
Задача нахождения модовых решений для системы апертур (отверстий в экране) привела Губо к изобретению линзового волновода. Путешествуя во время отпуска, он пытался решить задачу нахождения полей в системе периодических апертур. Оп обратил вннмапие па то, что поля периодически повторяются у каждой апертуры системы, и сформулировал задачу, но не смог решить полученное интегральное уравнение. Губо догадался, что интегральное уравнение легко можно решить, если преоб разовать его определенным образом. При рассмотрении физического смысла введенного преобразования он уста новил, что оно подразумевает включение линз в апертуры. Таким образом, он не только упростил решение матема тической задачи, но и изобрел важную и полезную систе му передачи света с низкими потерями.
Найдем нормальные модовые решения линзового вол новода с помощью дифракционной теории Кирхгофа — Гюйгенса [47, 48]. Рассмотрим две соседние линзы волно
Линзовые волноводы |
273 |
вода бесконечной длины, изображенные на фиг. 5.6.1 Линзовый волновод можно описать различными способами. Можно, например, выбрать опорную плоскость х) посере дине между линзами и рассматривать, как меняется поле в соседних плоскостях. Можно опорную плоскость выбрать непосредственно у линзы справа или слева от нее. Восполь зуемся методом, наиболее удобным для описания лазерных
Ф и г. 5.6.1. Линзовый волновод, для которого каждая линза представлена в виде двух полулииз. Распределение поля рассыат ривается в опорных плоскостях между полулинзами.
резонаторов. Каждую линзу разделим пополам и опорную плоскость разместим посередине между двумя половинами линзы. Передача поля через половину линзы описывается преобразованием (4.3.1) и (4.3.8):
а|э1 = е -{(й/4/Ха2- :с2-ггг)'ф1(z, у). |
(5.6.1) |
Поле в опорной плоскости 1 обозначено через г|д, а поле
иепосредствеиио справа от первой линзы — через %. Радиус линзы обозначен через а [вместо р в (4.3.8)]. Вме сто 2, входящей в формулу (4.3.8), стоит 4, так как фокус ное расстояние половины линзы в 2 раза больше, чем
фокусное расстояние / целой линзы. Поле ф2 непосредст венно у второй линзы слева может быть получено преобра
зованием поля % с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа — Гюйгенса (2.2.31) в приближении Френеля.
х) |
То есть плоскость, в которой рассматривается поле.— |
Прим. |
ред. |
18-087
274 |
|
Глава 5 |
Выбрав левую |
опорную |
плоскость за начало отсчета |
и полагая cos а |
= cos ft |
= 1, получаем |
j я|цехр{ — i. -£j- [(.г' — .г-)ЧЧг/ — г/)2] } dx dij.
а 1
(5.0.2)
Иоле т|?2 по второй опорной плоскости окончательно полу чается с помощью преобразования, подобного (5.0.1):
у') = е-^кГ‘П(а2- х'2-У'-Ц12. |
(5.6.3) |
Так как целью этих вычислений является нахождение модового решения, то необходимо потребовать, чтобы поле я)?2 равнялось я^ с точностью до множителя у. Для линз с очень большой апертурой (а —>- оо) потерь мощно сти при распростраиепнн волны от первой опорной пло скости до второй быть не должно. В этом случае у — про сто фазовый множитель с единичным модулем. Если линзы имеют достаточно малые апертуры, часть поля не перехва тывается ими, вследствие чего через линзу в опорной плоскости 2 проходит меньше мощности, чем через линзу в опорной плоскости 1. В этом случае у является комплекс ной величиной, модуль которой меньше единицы. Условие для модового решения имеет следующий вид:
ф2 = ТФп |
(5.6.4) |
Уравнение (5.6.4) формулирует задачу на собственные
значения.
Ему удовлетворяет не любое поле. Поле общего харак тера не удовлетворяет соотношению (5.6.4) J). Уравнение (5.6.4) имеет бесчисленное множество решений, н произ вольное поле, возбужденное в линзовом волноводе, может быть описано как суперпозиция бесконечного числа мод [решений (5.6.4)] дайной структуры. С помощью фор мул (5.6.1) — (5.6.3) можно записать соотношение (5.6.4) в виде
уя[)(а:', г/')= - ^ - е - ^ + “2/2/) ^ я|з(л:, у) exp { * - ^ [ ( * 2+
+ Г + z '2+ p '2) (-Щ-— l ) - f 2 ^ ' + 2(/y'] } d x d y . (5.6.5)
Я) Автор здесь имеет в виду, что уравнение (5.6.4) справедливо только для параксиальных полей (воли).— Прим. ред.
Линзовые волноводы |
275 |
Индекс 1 у функции ф опущен. В общем виде уравнение (5.6.5) решать трудно. Но если ограничиться случаем конфокального линзового волновода
L = 2/, |
(5.6.6) |
то уравнение упрощается и аналитическое решение легко получается. Введя фазовый множитель перед интегралом в собственное значение у и обозначив новое собственное значение через я2, получаем следующее уравнение для мод конфокального линзового волновода в простой форме
(к = 2л/А.):
х2ф (х\ У') = -Щ- j Ф (я. У) e’WV)(**'+i/v') dx dy. (5.6.7)
Л1
Задача еще более упрощается, если будем искать решение в виде [47]
Ф (®. у) = / (я) g (у). |
(5.6.8) |
Теперь уравнение (5.6.7) разбивается на два:
я/ (х') = |
^ / (х) e'WW)"' dx |
(5.6.9) |
И |
—а |
|
а |
|
|
|
|
|
*#(*/') = |
у = - j g {у) еУяМи>/ dy. |
(5.6.10) |
При этом полагается, что площадь интегрирования явля ется квадратом. Апертуры линз имеют несколько необыч ную форму. Но в случае, когда пределы интегрирования гораздо больше площади, занимаемой полем, форма апер туры линзы не имеет значения, так как можно увеличить область интегрирования вплоть до (—оо, + оо) без изме нения величины интеграла. Для линз небольшого разме ра, когда интенсивность поля на границе апертуры не ма ла, решение зависит от формы апертуры. В этом случае наши результаты будут соответствовать линзам с квадрат ной диафрагмой. Результаты для линз с обычными круг лыми апертурами получены численным решением интег рального уравнения (5.6.7) [48]. Результаты этих вычисле ний рассмотрим в этом разделе несколько позже.
18*
276 |
|
Глава 5 |
|
|
Уравнения |
(5.6.9) |
н (5.6.10) |
имеют одинаковый вид |
|
(при а —у- оо |
они являются преобразованиями |
Фурье). |
||
Поэтому достаточно |
рассмотреть |
решение лишь |
одного |
|
из этих уравнений. Разделение двумерного уравнения (5.6.7) сводит задачу к одномерной. Молено получить уравнение (5.6.9) при рассмотрении задачи о волноводе с цилиндрическими линзами.
Модовые решения дают распределения поля, которые концентрируются около осп линзового волновода. Если апертуры линз достаточно велики, то модовые решения не зависят от размера апертур. Поэтому без ущерба для
точности |
можно расширить пределы интегрирования от |
|
± я до ± |
оо.Следовательно, для линз с большими аперту |
|
рами имеем |
|
|
|
ОО |
|
|
x^^=yW i f(x)eKnM)xx'dx- |
(5.6.11) |
Приближение Френеля, использованное для получения уравнения (5.6.11), остается справедливым, несмотря на бесконечные пределы интегрирования, если рассматри ваются волны с концентрацией поля вблизи оси. Если решение уравнения (5.6.11) распространить па большие расстояния от оптической оси, то оно становится неспра ведливым, поскольку при этом не будут выполняться условия, позволяющие использовать приближение Фре неля.
Решение интегрального уравнения (5.(5 11) может быть получено с помощью таблиц Градштейна и Рыжика [61], где имеется интегральное соотношение
ОО
(р,)е—to2/2)//n (^)= _ l _ j eixve-{x*/2)Ип (х)(1х. (5.6.12)
Функции Нп (х) называются полиномами Эрмита. Они определяются соотношением
П п ( х ) = { - 1)п в“* |
d n |
е- Л.-2 |
(5.6.13) |
|
d x n |
|
|
Линзовые волноводы |
277 |
Первые пять полиномов Эрмита имеют вид |
|
#«>(*) = 1, |
|
111{х) = 2х, |
|
Н2(х) = 4я2- 2 , |
(5.6.14) |
Л 3(х) = 8х3- 1 2 х , |
|
II,к(ж) = 16а;4- 48ж3+ |
12. |
Сравнение выражений (5.6.11) и (5.6.12) показывает, что решением уравнения (5.6.7) является функция
in{x) = АпНп |
х) |
для 7г = 0, 1, 2, ... , оо |
с собственными значениями |
(5.6.15) |
|
|
||
|
Xn= i”. |
(5.6.16) |
Функции (5.6.15) называются полиномами Эрмнта — Гаус са. Они образуют полную систему функций х). Их удобно нормировать таким образом, чтобы
00 |
|
j fi(x)dx = 1. |
(5.6.17) |
—оо |
|
С помощью таблиц Градштейна и Рыжика [61] находим, что
A -- |
1 |
' |
(5.6.18) |
" |
(2Юг!)1/2(Я/)1/4 |
|
Особое значение имеет мода низшего порядка (п =0) Для нее
.-(nxV2kf)
(5.6.19)
М х ) ~ («>•"■ '
Нормальные моды ортогональны друг к другу и при пормировке (5.6.17) образуют ортоиормированиуго систему функций, т. е.
оо |
|
^ /п (#) fm (^0 dx^=- Ьпш. |
(5.6.20) |
— со |
|
1 В классе квадратичпо-пнтегрируемых функций. — Прим, ред,
278 |
Глава 5 |
Их значения быстро уменьшаются с ростом х по экспонен циальному закону. Полуширина интервала существенных значений экспоненциальной функции определяется пара метром
(5.6.21)
При х = w' поле, описываемое выражением (5.6.19), уменьшается в е раз по сравнению с его максимальным
--з
Фи г. 5.6.2. Графическое представление первых трех функций
Эрмита — Гаусса.
значением при х — 0. Параметр и/ пе определяет наимень шую ширину пучка. Он задает ширину пучка на линзах. Пучок наиболее плотно концентрируется вокруг оси посередине между линзами. Мы вернемся к обсуждению формы распределения поля между линзами в главе, посвя щенной гауссовым пучкам.
На фиг. 5.6.2 показаны три первые функции /п. Моды В линзовом волноводе с очень большими апертурами полу-
Лнизовые волноводы |
279 |
чаются из формул (5.6.8), (5.6.15) и (5.6.18):
Собственные значения вытекают из (5.6.16)
Х и т — % п%т — I |
(5.6.23) |
Важно иметь в виду, что полученное решение относится к случаю конфокального линзового волновода. Общее решение представлено в разд. 6.3 формулой (6.3.20).
После нахождения решения задачи о модах в конфо кальных линзовых волноводах с очень большими аперту рами линз рассмотрим случай, когда апертуры невелики и имеют прямоугольную форму. Интегральное уравне ние (5.6.9) может быть решено с помощью вытянутых сфе роидальных функций, которые подробно исследованы
вработах Слепяна и Поллака [62], Ландау и Поллака [63],
атакже Слепяна и Зониенблика [41] (см. также разд. 4.6). Эти авторы исследовали функции, являющиеся решениями интегрального уравнения (5.6.9). Для того что быувидеть эквивалентность этого интегрального уравнения урав нению (29) на стр. 58 в статье [62], необходимо рас смотреть следующие соотношения между использованными там и здесь обозначениями:
Фп (с, t) = /п (я'), co?72Q = х, f = х',
Т = 2а, с = я a?/Xf.
Собственное значение х„ связано с параметром Хп, исполь зуемым в [62], соотношением
xn = i" ]/ Хп. |
(5.6.24) |
Не следует путать параметр Хп с длиной волны X. Пара метр Хп подробно табулирован в [41]. Условие нормиров ки (5.6.17) сохраняется. Однако дополнительно к условию ортогональности (5.6.20) существует еще одно условие ортогональности модовых функций /„ на отрезке от —а