книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

2(50 Глава 5

Это интегральное уравнение может быть использовано для определения функции Vn (Л) по известной функции И’п (г). Результат численного решения этого интеграль­ ного уравнения показан на фпг. 5.5.2. Представленные здесь кривые получены с использованием фупкцин Wn (?•), графики которой изображены па фиг. 5.5.1 [53].

а

Ф н г. 5.5.2. Интегральная вероятность амплитуды колебания пуч­ ка для различных значения отношения а/оп [53].

Видно, что Ттп (Л) намного меньше зависит от отноше­ ния а/оп, чем П'п. Действительно, для вероятностей Vn (Л), больших чем 0,8 (или 80%), функция Vn (опХ) очень мало отличается от соответствующей функции для неограниченно большой линзы. Поэтому можно исполь­ зовать функцию, которая является результатом подста­ новки выражения (5.5.12) в (5.5.21):

УП(Л) = 1 — g—-42/2чд дЛя а/ап->-оо. (5.5.28)

Таким образом, строго доказано положение, что интег­ ральная вероятность Vn (Л) амплитуды луча менее чув­ ствительна к наличию линзовых апертур, чем вероят­ ность Wn (г) положения луча.

При проектировании линзовых волноводов для связи необходимо выполнить требование, чтобы световой пучок достигал конца волновода с большой вероятностью. С точки зрения волновой оптики ire реально предполагать, что весь пучок теряется, если лучи пучка частично выхо­ дят за линзы. Распределение поля в лпнзовом волноводе имеет некоторую ширину, так что часть поля остается внутри волновода, даже если световой луч геометрической оптики попадает па край лппзы. Однако можно ожидать больших потерь при передаче световой волны, если луче­ вая оптика предсказывает, что световой луч не достигнет конца линзового волновода.

Рассмотрим требования к линзовым волноводам, вы­ полнение которых обеспечивает прохождение светового луча с 99%-ной вероятностью. Возьмем в качестве при­ мера опять конфокальный линзовый волповод (L = 2/). Требование достижения лучом последней линзы волновода с амплитудой А, меньшей чем а, при 99%-ной вероятно­ сти ведет к условию А — а — Зоп. При А!ап = 3, соглас­ но формуле (5.5.28), Vn (И) равняется 0,989. Величина ап связана с среднеквадратичным смещением линз s посред­ ством формулы (5.5.9). Отношение s/a, таким образом, однозначно определено требованием пропускания луча с 99%-ной вероятностью. Для рассматриваемого конфо­ кального линзового волновода получаем следующие зна­ чения допустимого отношения среднеквадратичной вели­ чины смещения линз к их радиусу:

До сих пор предполагалось, что смещения линз некоррелированы друг с другом. Это допущение является слишком строгим для многих практических ситуаций.

чайные отклонения от прямой расположения ближай­ ших линз не являются произвольными. Из-за жестко­

сти трубы смещения соседних линз коррелировали. Если одна линза отклоняется в определенном направлении от своего поминального положения, то соседние линзы будут с большой вероятностью смещаться в том же направ­ лении из-за жесткости трубы. На эти коррелированные отклонения от прямой случайным образом накладываются некоррелированные отклонения от номинального поло­ жения, обусловленные установкой каждой отдельной лин­ зы внутри трубы. Такие более или менее коррелированные отклонения от идеальной установки линз можно статисти­ чески описать с помощью коэффициента корреляции.

Рассмотрим среднее по ансамблю произведение смеще­ ний двух линз

При отсутствии корреляции 7?V,Lобращается в нуль при v ф р. Если, однако, существует зависимость между отклонениями линзы v и линзы р от их номинального

стремится к нулю при v — и —>- оо, то можно заключить, что имеют место систематические смещения линз. Для истинно случайных процессов следует ожидать, что Oripuv — u —>- оо. Наконец, естественно допустить, что коэффициент корреляции зависит от р -- v — р. Про­

цессы, для которых такое предположение справедливо, называются стационарными случайными процессами [54, 55]. Для стационарного случайного процесса можно запи­ сать

от самих значений.

После такого отступления, касающегося коэффициента корреляции, можно рассчитать вариаис положения луча для случая, когда между смещениями линз имеет место корреляция [52]. Вернемся к уравнению (5.5.3) и предста­

вим его с помощью коэффициента корреляции в следую­ щем виде:

в сумму косинусов. Введем новые индексы суммиро­ вания а = v — ц и р = v. Область суммирования по

Ф и г. 5.5.3. Диаграмма, показывающая переход от старых индек­ сов суммирования v, р к новым сг, р.

индексам v и р представляет собой квадрат, который изображен па фиг. 5.5.3 пунктирной линией. Следует помнить, что все индексы суммирования могут принимать только положительные значения. Этот факт не отражен на рисунке. Сплошные линии, обозначенные через а и р, ограничивают области в пространстве v, д, где и пли р принимают постоянные значения. Из большого числа параллельных линий, па которых а и р могут принимать целые значения, изображена лишь одна пара. Чертеж позволяет определить область изменения новых индек­ сов суммирования. Переход к этим новым индексам

В случае, когда интервал корреляции обращается в нуль (В = 0), (5.5.41) превращается в (5.5.9). Видно, что увели­ чение интервала корреляции улучшает характеристики

линзового волновода за счет уменьшения среднеквадра­ тичного отклонения луча. В пределе при В —у оо получаем идеальный линзовый волновод с пп = 0. Степень улучше­ ния при увеличении В до полностью коррелированных смещений линз показана на фиг. 5.5.4. Для больших зна­

чений В кривая спадает как 1/УВ. В конфокальном линзовом волноводе, статистика которого описывается коэффициентом корреляции (5.5.38), отклонение пучка в 5 раз меньше, чем в конфокальном волноводе с полностью некоррелированными линзами (для одинаковых значений s), если корреляция между линзовыми смещениями охва-

в этой главе при обсуждении случайного смещепия линз, находим, что если при п = 10 000 ограничить смещение луча ио более чем 3 мм, то можно допустить максимальное

Это действительно очень маленькая величина, равная примерно половине длины волны красного света.

Смещение линз по синусоидальному закону с таким же периодом, как период структуры (ф = 0), не всегда реализуется. Необходимо помнить, однако, что произ­ вольное смещение линз всегда может быть выражено в виде ряда Фурье н что фурьс-компопспта с периодом ф = 0 обычно отлична от нуля. Ограничение (5.5.46) может быть, следовательно, интерпретировано как ограничение па фурье-амплитуду критнческой фурье-компоненты.

Последнее замечание может вызвать у читателя недо­ умение, поскольку оно вроде бы противоречит предыду­ щему. Мы нашли, что случайное смещение линз приводит к росту амплитуды раскачки луча пропорционально корню квадратному из л. Сейчас же мы как будто бы утверждаем, что луч растет пропорционально п за счет синусоидальной фурье-компоненты смещения линз. Кажу­ щееся несоответствие исчезнет, если исследовать зависи­ мость амплитуд фурьс-компоиент случайных функций от их длины. Можно показать, что амплитуды фурьекомпопент случайных функций уменьшаются обратно про­

(или среднеквадратичной величины) от корпя квадрат­ ного из п также вытекает из фурье-аиализа.

В этом разделе были выяснены общие свойства слу­ чайных процессов. Мы вновь встретимся с ними, когда будем обсуждать потери на рассеяние в диэлектрических волноводах.

Было показано, что световые лучи внутри линзового волновода распространяются по колеблющимся траек­ ториям. Всякое желательное или нежелательное отклоне­ ние оси волновода от идеальной прямолинейности вынуж­ дает световой луч осциллировать. Этот процесс напоминает

движение гармонического осциллятора под действием внешних сил. Колебания светового луча не опасны, когда их амплитуда остается значительно меньше радиуса линзы. Но если амплитуда колебаний возрастает так, что луч может выходить за линзу, то это приводит к потерям. Было бы весьма желательно изобрести такой линзовый волновод, который бы сам гасил колебания луча по мере распространения его по волноводу. Колебание луча в та­ ком волноводе соответствовало бы затухающему гармо­ ническому осциллятору.

Нетрудно построить математическую модель (к сожа­ лению, неверную, но правдоподобную) линзового волно­ вода, в котором лучи совершали бы затухающие колеба­ ния [24]. Используя тонкие линзы, обладающие формой, показанной на фиг. 4.5.11, которые описываются форму­ лой (4.2.4), можно получить колеблющиеся траектории лучей с затухающими амплитудами. Однако рассмотрение теоремы Лиувилля в разд. 3.7 показало, что формулой такой линзы (4.2.4) можно пользоваться только тогда, когда световой луч проходит через тонкую линзу прп нормальном или близком к нему падении. Поэтому вместо формулы (4.2.4) нужно использовать (4.2.3). Лучи, полу­ ченные с помощью точной формулы тонкой линзы, уже не имеют колеблющихся траекторий с затухающими амп­ литудами, а ведут себя подобно лучам, рассмотренным в разд. 5.3.

Питатель может подумать, что трудности конструиро­ вания линзового волновода с затухающими колебаниями луча связаны с отсутствием изобретательности. Теорема Лиувилля утверждает, что всякие попытки изобрести пассивный волновод с подавлением колебаний луча бес­ полезны. Предположим, что мы имеем устройство, подав­ ляющее раскачку лучей. Точки в фазовом пространстве, соответствующие связке лучей, заполняют определенный объем. Напомним, что координатами фазового простран­ ства являются положение и наклон лучей. Если «подави­ тель» колебаний луча работает, то будет иметь место тен­ денция к уменьшению амплитуды колебаний всех лучей. Это должно привести к сокращению объема в фазовом пространстве, что противоречит теореме Лиувилля, т. е. «подавитель» колебаний луча действует как ослабитель