книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

250 Глава 5

по траектории wn = 0 или гп — гс, где г,, определяется формулой (5.4.19). Такая траектория луча смещается сильнее для меньших значений радиуса кривизны R, т. е. для более резко изогнутых волноводов. Очевидно, что расположение линз па небольших расстояниях друг от друга (L мало) позволяет использовать более резкие изгибы. Способность линзовых волноводов передавать световые лучи по искривленным траекториям ограничи­ вается только размерами линз. Размах колебания траек­

запас пространства, чтобы не выйти за пределы линзы. Тра­ ектории лучей в линзовых волноводах, имеющих ось более сложной формы, могут быть получены из уравнения (5.4.8), но сумма, входящая в это уравнение, обычно ио может быть вычислена в конечном виде. При вычислении траектории луча на вычислительной машине можно использовать уравнение (5.4.8) или разностное уравнение (5.4.3).

Другим отклонением от прямолинейности, которое легко может быть исследовано с помощью рассмотренных выше аналитических выражений, является обычный излом оси прямого оптического волновода. В этом случае

что означает, что все углы уп, за исключением одного, равны нулю. Если луч начинается на оси (г( = г2 = 0), уравнение траектории луча в точках за изломом полу­ чается из (5.4.8) в виде

Излом на угол у вызывает вблизи излома оси колебания луча относительно оси волновода с амплитудой уЫsin 0.

В качестве последнего примера рассмотрим случай прямого оптического волновода с одной смещенной линзой. В этом случае имеем

и для луча, находящегося вначале на оси (р, = рг = 0),

Одна смещенная линза, так же как и излом оси, вызывает колебания пучка относительно оси с амплитудой

SL/(f sin 0).

Обсуждение рассматриваемого вопроса в данном раз­ деле показало, что линзовые волноводы способны переда­ вать пучки света по изогнутым траекториям, радиус кривизны которых определяется фокусным расстоянием и радиусом линз. Однако любое отклонение от прямоли­ нейности или правильной круговой формы вызывает колебания луча. Маловероятно, чтобы эти колебания уменьшались в последующих точках оси волновода. Конечно, не исключено, что другой случайный перекос какой-нибудь линзы уменьшит амплитуду колебаний луча. Однако в среднем колебания луча имеют тенденцию к воз­ растанию, что будет видно при рассмотрении этого вопроса в следующем разделе.

Свойство изломов оси или смещенных линз изменять траекторию луча света может быть использовано для воз­ вращения луча на ось волновода, если луч начал колебаться при своем распространении. Однако подобное подавление колебаний возможно только для лучей, траек­ тории которых известны. В общем же случае это не воз­ можно, что будет показано в следующем разделе. Подав­ ление колебаний луча требует наличия датчиков, опреде­ ляющих положение светового луча по крайней мере на двух линзах. Данные, получаемые с этих датчиков, могут быть использованы для управления последующими лин­ зами, возвращающими пучок на осевую траекторию.

5.5. ЛИНЗОВЫЕ ВОЛНОВОДЫ СО СЛУЧАЙНЫМ СМЕЩЕНИЕМ ЛИНЗ

Из предыдущего раздела видно, что хотя линзовые волноводы и обладают способностью передавать лучи вдоль искривленного пути, однако лучи в этом случае следуют по колеблющимся траекториям. Так как радиусы линз имеют конечные размеры, амплитуда колебатшй луча

в противпом случае луч будет потерян. Мы изучим стати­

опасно хаотическое смещение линз.

Начнем рассмотрение статистики линзового волновода, предполагая, что имеет место случайное расположение линз и что между смещениями соседних линз корреляции нет [50, 52]. Предположение о случайности смещений линз является близким к реальности, так как невозможно скопстрз'ировать линзовый волновод с идеально установлен­ ными линзами. Если не учитывать корреляцию между линзами, что является идеализацией, то это представляет первое приближение к любой реальной задаче.

Рассмотрим прямолипейный линзовый волновод. Лучи

Утверждение о случайности смещений линз при отсутст­ вии корреляции между их положениями можно матема­ тически записать в форме

]) Дисперсия случайного отклонении луча от среднего поло­ жения, в данном случае от оси.— Прим. ред.

Практический интерес представляет случай большого числа линз п. Если п достаточно велико, то можно пре­ небречь членами внутри скобок, и тогда получим для модуля отклонения (корня квадратного из варианса) выражение

Используя формулу (5.2.6), запишем это выражение в виде

В наиболее практически интересном случае конфокаль­ ного линзового волновода (L = 2/) выражение для упрощается:

Можно заметить, что линзовый волновод с L = 4/ пред­ ставляет собой предельный случай, когда еще опреде­ ленные лучи могут передаваться.

Этот результат следует и из выражения (5.5.8), кото­ рое становится неограниченным при L = 4/. Пучок в этом случае нестабилен, и потери имеют место всегда, если линзы хоть слегка не выставлены в линию.

Для того чтобы почувствовать влияние на распростра­ нение луча случайного смещения линз, рассмотрим при­ мер. Предположим, что необходимо передать пучок света

целесообразно расстояние между ними делать в 1 м. Тогда полное число линз будет п = 10 000. Если при­ нять, что отклонение пучка света от оптической оси равно приблизительно 3 мм (приемлемое допущение для газовых линз), то необходимо обеспечпть

Это означает, что для того, чтобы пучок света прошел путь длиной 10 км в линзовом волноводе, линзы в среднем не должны отклоняться более чем на 20 мкм от своего номинального положения.

Jl нпсовые auiповоды

приближенно справедливо и для линз с ограниченным радиусом а нрп условии, что стп а.

Если требуется рассмотреть реальный случай волново­ дов с линзами, радиус которых не обязательно много больше среднеквадратичного отклонения смещения пучка, то необходимо знать распределение вероятностей, которое по крайней мере приближенно справедливо для такого случая. Чтобы понять ограничения применимости распре­ деления вероятностей (5.5.11), важно учесть, что луч, кото­ рый наблюдается при данном радиусе г, может прийти многими путями. Возможно, что этот луч пройдет через л-ю линзу при максимальном отклонении своей волнооб­ разной траектории в тот момент, когда мы зафиксируем его при значении ?• у н-й линзы, но более вероятно, одна­ ко, что этот луч пересечет л-ю линзу во время какойнибудь другой части цикла траектории. Другими словами, мы можем выделить в некоторой заданной точке те лучи, которые с наибольшей вероятностью достигают значений, больших чем г\ в течение последующего полупериода своей колеблющейся траектории. Если амплитуда отклонения луча А (т. е. амплитуда колеблющейся траектории) боль­ ше а, то луч не достигнет п-й линзы в волноводе с линзами ограниченного радиуса а. Распределение вероятностей (5.5.11) особенно чувствительно к присутствию линз с ограниченной апертурой, так как оно содержит инфор­ мацию о лучах, проходящих через линзу при г < а, которые, однако, имеют амплитуду /1, большую чем радиус линзы а. и которые на предыдущих линзах должны были выйти из волновода.

Предыдущее рассмотрение показывает, что более разум­ но для расчетов использовать распределение вероятностей амплитуд траекторий, чем распределение вероятностей по­ ложения лучей. Распределение вероятностей амплитуды колеблющегося процесса, мгновенное значение которого является гауссовым, хорошо изучено в теории тепловых шумов в электрических цепях. Это так называемое распре­

Нетрудно доказать справедливость этого утверждения. Уравнение траектории луча может быть записано

в виде

Влинзовых волноводах со случайным смещением линз А

иф — случайные переменные. Для всякого луча они представляют собой медленно меняющиеся функции от гг. Распределение вероятностей фазы должно быть постоянной величиной. Рассматривая однозначную часть траектории

Считая А постоянной, а ф меняющейся, рассмотрим об­ ласть значений гп внутри интервала от —А до А . Вероят­ ность нахождения гп в интервале dr есть СА (г„) dr. GA — условная плотность вероятности нахождения гп при задан­ ном А. Соотношение между GA и Ф задается условием, со­ стоящим в том, что если ф находится в интервале dф, то радиус г может быть найден как соответствующая точка в интервале dr. Выразим это условие уравнением

Используя формулы (5.5.13) и (5.5.14) п исключая ф,

Плотность распределения вероятностей положения луча г определяется выражением [54, 55]

о

где Рп (И) —плотность распределения вероятностей ампли­ туды луча А. Используя формулу (5.5.17), можно выра­

Линзы предполагались хаотически смещенными по закону случайных чисел. В каждом эксперименте начальное положение луча находилось на осп волновода и далее он проходил через линзы. Если отклонение луча прини­ мало значение, большее чем радиус линзы, то далее этот

а

Ф и г . 5.5.1. Интегральная вероятность положения луча IV,, для

различных значений отношения я/ст„ (а — радиус линзы, ап — среднеквадратичное отклонение луча) [53].

луч не рассматривался. В каждом случае бралось новое распределение линз. Таким образом, оказалось возможным вычислить вероятность нахождения луча на 100-й линзе с радиусом, меньшим заданного радиуса г. Эта вероят­ ность показана на фиг. 5.5.1. Па этой фигуре изображено несколько кривых, соответствующих разным значениям а/ап. Величина о„, согласно формуле (5.5.9), указывает степень разброса положений линз. Горизонтальная ось графика нормирована относительно стп. Пунктирная кри­ вая соответствует а/оп = 1,77, но она была получена при прохождении луча через 1000 линз вместо 100. Две кривые, соответствующие одинаковым значениям а!-т„, достаточно близки. Это говорит о том, что нормированные кривые вероятности не очень сильно зависят от числа линз.

Из фиг. 5.5.1 видно, что вероятность Wn существенно зависит от отношения радиуса линзы к средиеквадратич-