книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопреки желанию автора настоящая книга не получилась достаточно компактной. Некоторым оправданием этому может служить сложность и многообразие темы. Действительно, мы живем в Мире, составленном из кулоновских частиц. Описать же поведение Вселенной в монографии любых размеров невоз­ можно. Даже статистическая теория термодинамически равно­ весных систем, которой и посвящена эта книга, не может быть описана коротко не только по причине обширности темы, но и потому, что теория кулоновских систем является, к сожале­ нию, пока еще ‘слабо разработанной областью. Недостаточное понимание некоторых важных явлений вынуждает рассматри­ вать различные модельные подходы в каждой конкретной за­ даче (особенно в случае исследования систем без малогопараметра). Изложение строгой теории, разумеется, всегда за­ нимает меньше места.

Необходимо подчеркнуть, что статистическая физика плазмы переживает сейчас период становления, так что нельзя говорить пока о сколько-нибудь законченной теории многих кулоновских частиц. Эта интересная область физики непрерывно пополняется результатами новых теоретических и экспериментальных иссле­ дований, так что у автора нет больших надежд на то, что изло­ женный в книге материал будет «жить» очень долго.

Теория термодинамически равновесной плотной плазмы,, по-видимому, будет построена в ближайшие годы. Есть некото­ рая надежда и на аналитические результаты в этой области,, поскольку степень понимания при изучении плотных кулонов­ ских систем непрерывно повышается. Хорошее же понимание всегда приводит к относительно простой теории. Развитие чис­ ленных методов в термодинамике плотной плазмы уже сейчас приводит, как было показано в тринадцатой главе, к доста­ точно интересным результатам.

Значительные успехи в теории твердого тела были достигнуты в последние годы в связи с работами теоретической школы И. М. Лифшица. Интересны работы Ю. Кагана и сотрудников, позволяющие вычислять фононные спектры металлов.

460

Многоэлектронная теория металлов находится сейчас в та­ ком состоянии, что оказывается возможным удивительно точное вычисление фононных спектров в широкой области частот. При этом наблюдается согласие с экспериментом, которое можно назвать очень хорошим. В качестве примера можно привести количественное рассмотрение фононного спектра, а также ряда статических и динамических свойств металлического магния (энергии связи, модуля упругости, уравнения состояния и т. д.) [1]. Отметим, что многоэлектронная теория металлов приоб­ рела в последние годы в некотором смысле законченный вид. Удалось выразить основные характеристики металла через огра­ ниченное число параметров (например, через псевдопотенциал электронно-ионного взаимодействия, который определяется из эксперимента) и через диэлектрическую функцию e(q, ы) элек­ тронной жидкости в металле. Последняя величина известна в настоящее время еще довольно грубо (при 2-=-5), однако важным является построение теории металлического состояния вещества, свойства которого выражены через s(q, ю) доста­

точно точно.

Здесь не рассматривалась чрезвычайно интересная проблема металлического водорода, которая сейчас привлекает присталь­ ное внимание физиков всего мира в связи с предположением о возможности высокотемпературной сверхпроводимости в такой системе.

По-видимому, впервые утверждение о том, что при высоком давлении простейшая электронно-ионная система может пе­ рейти в металлическую фазу, было высказано в работе Вигнера и Хантингтона (3]. В последующие годы появился целый ряд работ, в которых предпринимались попытки вычисления термо­ динамических функций молекулярной и металлической фаз во­ дорода с целью определения давления перехода. Интересные результаты были получены недавно в ИАЭ им. И. В. Курча­ това [2], которые свидетельствуют, что наиболее иизколежащая метастабильная фаза металлического водорода обладает уди­ вительной структурой. Эту структуру можно представить себе как систему протонных нитей, образующих жесткую треугольную решетку в плоскости, перпендикулярной нитям, причем решетка может практически свободно перемещаться вдоль этих нитей. Оказывается, что плотность электронов в металлическом водо­ роде такова (rs= l,6), что энергия Ферми велика по сравнению

спсевдопотенциалом электрон-протониого взаимодействия. Это

ипозволило использовать результаты последовательной много­ электронной теории металлов, согласно которой энергия системы

может быть представлена в виде ряда по отношению Uk/вр- (в данном случае ~ 1/5) для вычисления свойств металличе­ ского водорода. Учет трех членов разложения по этому пара­ метру приводит к интересным качественным результатам, ■отмеченным выше. По-видимому, корректное описание элек­

461

тронной системы в металлах также будет получено в ближай­ шие годы.

Более трудным объектом исследования (как теоретического» так и экспериментального) является плазма с сильным взаимо­ действием. В этой области имеется пока лишь сугубо модельное описание свойств кулоновских систем. Пониманию поведения таких систем должен в значительной мере способствовать экс­ перимент. Подобные эксперименты ведутся сейчас как в нашей стране, так и за рубежом.

В книге уделено немалое место не только вычислению термо­ динамических функций кулоновских систем различными мето­ дами, но и рассмотрены вопросы термодинамической устойчи­ вости систем при различных плотностях и температурах. Однако в книге вовсе не рассматриваются многочисленные механизмы кинетической неустойчивости плазмы. Эти исследования пред­ ставляют в настоящее время целую область науки, изучающей использование высокотемпературной плазмы для получения термоядерной энергии. Рассмотрение различного вида неустой­ чивостей при различных значениях термодинамических пара­ метров не являлось задачей данной монографии. Поэтому здесь не анализировались важные работы М. А. Леонтовича, Б. Б. Ка­ домцева, Р. 3. Сагдеева, Г. И. Будкера, А. А. Ведепова, В. Д. Шафранова и др. в этой области.

Весьма малое место в книге занимают вопросы излучения плазмы. Сейчас эти вопросы также выделились в отдельную область исследования. За неимением места не упомянуто боль­ шое число важных работ по теории излучения плазмы. В книге не рассмотрены и такие важные вопросы, как явление сверх­ проводимости, физика полупроводников, где поведение электро­ нов определяется рядом интересных особенностей, открытых в последние годы (Бардин, Купер, Шриффер, Боголюбов, Джозефсон).

Настоящая монография совершенно не затрагивает широкой области неравновесной статистики систем многих кулоновских частиц. Эта интереснейшая область является существенно бо­ лее сложной по сравнению со статистикой равновесных систем. Неравновесная термодинамика содержит огромное количество нерешенных принципиальных проблем. В этой области известны фундаментальные исследования Н. Н. Боголюбова, И. Пригожип.а, Р. Балеску, работы Института им. Пуанкаре, а также работы В. П. Силина, 10. Л. Климонтовича и А. А. Рухадзе. Однако теория кинетических уравнений, описывающих системы кулоновских частиц, особенно плотных, существенно не закон­ чена и в ряде случаев противоречива.

Полностью отсутствует в книге релятивистская статистиче­ ская физика, которая разработана очень мало. Исключением является лишь термодинамика излучения черного тела. Вопросы релятивистской термодинамики широко дискутируются в лите­

462

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ I

ТАБЛИЦА ПОТЕНЦИАЛОВ ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ

464

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

Состояние системы N фермионов можно описать, задав полный набор од­

функция cpi содержится в детерминанте, говорят, что уровень i занят, если

Это выражение, конечно, полностью эквивалентно антисимметризованной сумме произведений одночастичных волновых функций ср,-. Можно потребо­

Введем операторы рождения и уничтожения (поглощения) частиц, устанав­ ливающие связь между различными волновыми функциями системы. В слу­ чае фермионов эти операторы можно определить так:

Операторы числа частиц tii в состоянии i задаются произведениями операто­ ров di и d p т. е.

rtf = a f ас.

Поэтому

Из определения следует, что оператор числа частиц диагоналей.

Принцип Паули учитывается правилами антикоммутации (П.4). Дейст­ вительно, для i=j из этих соотношений следует, что

а+а+- (а+)2 = 0,

т. е. два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии L Пользуясь этими же соотношениями, легко проверить, что

«? = «,

что и доказывает справедливость формулы (11.5).

Приведенные соотношения легко понять, оперируя с детерминантами

столбец, содержащие (р,-. Знак матричного элемента отрицателен, если функ­ ция (р; находится во второй, четвертой и любой другой четной строке детер­ минанта, относящегося к начальному состоянию, и положителен, если ср,- находптся в любой нечетной строке. Все остальные матричные элементы опе­

ратора а,- равны нулю. Для примера некоторые матричные элементы опера­ тора йг выглядят так:

менты отличны от нуля только в том случае, когда число частиц в конечном состоянии на единицу больше, чем в начальном.

466 .

Важным примером двухчастичного оператора является оператор потенциаль­ ной энергии взаимодействия зарядов е2/|гг—г,|. Прямое вычисление пока-

i,j,к,m

где

< ij | /2 | km > = J Jcp- (П) Ф* (r,) fa (r1; r2) cpk (Г1) tpm (r2) d^dr^. (11.12)

которые рождают частицу в точке г(ф+) и уничтожают частицу в этой же точке (ф). Принимая во внимание, что функции <р< образуют полную ортонормированную систему, с помощью формул (II.5) нетрудно установить прави­ ло антикоммутации и для этих операторов

{Ф (г), ф (г')} = {ф+ (г) ф+ (г')) = 0;

(11.14)

{Ф (г) , ф+ (г')} = б ( г — г').

С помощью полевых операторов можно записать такие величины, как оператор плотности частиц © точке г:

В случае свободных частиц с массой т базисные волновые функции пред­ ставляют собой плоские волны

-1

Фр. о (р. о') = у у - exp (ipr) 6СТ

ператур вакуумом может быть состояние, являющееся температурным обоб­ щением приближения Хартри — Фока. Тогда из принципа Паули непосредст­ венно следуют формулы:

468

В заключение отметим, что аналогично только что рассмотренному аппа­ рату вторичного квантования для ферми-систем можно построить соответст­ вующий аппарат и для бозе-систем. Матричные элементы оператора уничто­

тор рождения бозе-частицы bf" является эрмитово сопряженным по отноше­

нию к hi. Оператор числа заполнения уровня i равен b^bi. Он диагоналей

в представлении, в котором базисом служат произведения одночастичных волновых функций ср;.

Операторы 6,- и bf~ удовлетворяют соотношениям коммутации:

(bt, %] s bfij— tyt = 0; [bf'bf] = 0; [%bf] = «/у. (H.21)

Подробнее о методе вторичного квантования можно посмотреть в следую­ щих книгах:

Давыдов А. С. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.

Шифф Л. Квантовая механика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1957. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Изд. 2-е. М., Физмат­ гиз, 1963.

ПРИЛОЖЕНИЕ III

ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Каноническое распределение Гиббса предполагает фиксированным число частиц N в системе. При рассмотрении большого канонического ансамбля число частиц N является величиной переменной. Известно, что энергия и эн­

469