книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

где Я — размер ячейки; V — объем системы. Свободная энергия единицы объема системы в рассматриваемой модели имеет вид

F/V = (1/0) rnaIn (гпаХ3) + (1/0) nLIn (П;Я3) + (1/рА3) (1 — т ак3—

— пгЯ3) In (1 — rnal 3 — tijl3) -f (nejf>) In — — + E, (43.32) e

где E — энергия взаимодействия (совпадающая с соответствую­ щей свободной энергией). Первые три слагаемых в правой части характеризуют энтропию заполнения ячеек тяжелыми ча­ стицами

Минимизируя выражения (43.32) и (43.33) по пе с учетом условия электропейтралыюсти плазмы Пг==пс при n = const полу­ чаем уравнение ионизационного равновесия (аналог формулы Саха):

При r> 1 получается дальнейшее уменьшение потенциала иони­ зации (//г вместо /). Кроме того, степень ионизации увеличи­ вается и за счет предэкспонепциального множителя. Как следует из уравнения (43.34), эффективная плотность п*, при которой на­ чинается сильный рост степени ионизации, уменьшается с уве­ личением температуры.

С помощью выражений (43.32) и (43.33) получаем уравне­ ние состояния

Дальнейшая конкретизация этого уравнения зависит от явного вида г(п) и 1{п). Для / (п) можно предположить, например, зависимость типа /0[1—(n/«i)], где п.\ — некоторая константа. Функцию г(п) при пХ3<C l можно, вообще говоря, определить

4 4 0

из экспериментальных значений сжимаемости вещества в обла­ сти малой степени ионизации.

В описанной модели имеет место расслоение на фазы при

щ2 — пА3

откуда следует:

Т’макс — 0,310/пХ3 при п ~ 0,6/АЛ

Спинодаль для п = п„ существенно зависит от явного вида функ­ ции г(п). При малых плотностях, когда / (n) ~ 1, спинодаль имеет вид:

Отсюда следует

ТШК0~ и 1 пХя при / г = 1/2Я3.

В области промежуточных значений п спинодаль, вычисленная согласно уравнению (43.35), переходит от случая, описываемого выражением (43.37), к соответствующему выражению (43.36), характерному для высоких плотностей. В зависимости от г(п)

и rti этот переход может быть резким или плавным. Кроме того,

максимума может быть достаточно резким. Выше кривой рас­ слоения имеется монотонный рост степени ионизации с увеличе­

плазмы в закритических условиях может резко возрасти вблизи

441

значения плотности, где наблюдается рост степени ионизации. Соответственно должна уменьшаться скорость фронта ударной волны при том же конечном давлении.

Только что рассмотренная сеточная модель в какой-то мере интерпретирует описанные в двенадцатой главе эксперименты с парами ртути и цезия. Теоретики «хитрят», вводя не слишком определенные величины г(п) и щ, подбирая которые можно до­ биться и количественного совпадения с данными опыта.

Наиболее простой моделью неидеальной плазмы является трехкомпонентная система, рассмотренная в двенадцатой главе и согласно которой электронная и ионная компоненты раство­ рены в нейтральной. Удобно оценивать вклад различных попра­ вок к этой модели, в которой уравнение состояния можно запи­ сать в виде [15]:

п3

ния электронов на атоме; 2 а, г — статистические суммы атомов и ионов; / — потенциал ионизации;

Отметим, что возможна комбинация выражений (43.35) и (43.38).

Взаимодействие электрон — атом можно учесть и иными спо­ собами [12]. Один из интересных подходов при рассмотрении неидеальной плазмы при ее металлизации (что и наблюдалось, в частности, при экспериментальном исследовании паров ртути [9, 23]) был предложен в работах [18]. При сравнительно невы­ соких температурах ( ~ 103°К) и еще неметаллических при этих

442

температурах плотностях (до 1022 см~3) плазма ионизована слабо и неидеальность ее обусловлена в основном взаимодействием электронов с атомами. В таких условиях неприменимы представ­ ления о плазме как о смеси слабонеидеальных газов. Система приобретает свойства, характерные для некоторых полупровод­ ников. Наряду со свободными электронами в такой плазме при­ сутствуют электроны, локализованные флуктуациями плотности, хорошо известные в теории неупорядоченных систем с сильным взаимодействием 113]. Локализованный электрон может ста­ билизовать флуктуацию. Это приводит к появлению в неупоря­ доченной среде очень тяжелых отрицательно заряженных ком­ плексов частиц — кластеров. Возникновение кластеров может привести к явлениям типа фазовых переходов. В работе [18] показано, чго эти явления могут иметь место в невырожденной неидеальной плазме, что и наблюдается экспериментально в па­

рах ртути [9]-

Пусть взаимодействие электрона (г) с атомом (R,) описы­ вается короткодействующим потенциалом U(г — R,). Тогда по­ ведение электрона можно описать полем хаотично расположен­ ных атомов с потенциалом

и {г) = 2 f / ( r - R , ) - < S ^ ( r - R ;)> ,

с помощью перенормировки химического потенциала ре, причем усреднение выполняется по всем возможным конфигурациям атомов. Концентрация электронов выражается через плотность

4 Из теории неупорядоченных систем (см., например, [13]) известно, что при больших плотностях функция ре(со) обладает «хвостом», тянущимся далеко в область ранее запрещенных энергий со<0. Поэтому наряду со свободными электронами (ш >0) появляются электроны с отрицательной энергией. Эти электроны локализованы в ямах, образованных флуктуациями плотности атомов. Концентрации полного числа электронов (пе) и свободных электронов (пс), согласно выражениям (43.39) и (43.40), можно представить в виде

пс - 2ХГ3 ехр ф ц е) [{2'иЩ) Г (3/4) (РW 0)v‘ + 1 ] ехр ( - NV£), (43.42)

443

где ft <r — дебройлевская длина волны электронов; Г(х) — гаммафункция; NWn— значение в нуле парной функции корреляции для потенциала Н(г):

Следовательно, подавляющее число электронов локализовано, если

JVJdr{exp[-t/(r)p] + f / ( r ) P - 1} » 1.

В случае p£/(r)<Cl это соответствует неравенству р2АП170^>1. Сильно связанный электрон находится в потенциальной яме, вид которой определяется выражением

Энергия связи электрона «(0) может быть достаточно боль­ шой, чтобы образовавшийся кластер (электрон + флуктуация атомов) можно было бы рассматривать как долгоживущую тяжелую частицу. Критерий стабильности кластера имеет вид

где \'* = N j' dr(exp[—pt/(r)]—1) — среднее число атомов в кла­ стере. Концентрация ионов связана с их химическим потенциа­

Здесь K= (22,-/So) ft~3 — константа ионизационного равновесия;

E;, a — статистические суммы иона и атома по внутренним сте­ пеням свободы; I — потенциал ионизации атома.

Использование описанных выше представлений позволило авторам работы [18] вычислить электропроводность паров ме­ таллов при высоких давлениях и получить лучшее согласие с экспериментом [13] по сравнению с моделью Веденова [5] (см. главу двенадцатую). При плотностях паров ртути в закритической области, по-видимому, осуществляется металлизация кла­ стеров, предшествующая металлизации системы в целом. Не исключено, что проводимость плазмы в этой области опреде­ ляется поведением двухфазной системы (жидкий металл + не­ идеальный газ).

444

В заключение обсуждения моделей плотной плазмы сделаем несколько замечаний о результатах машинных экспериментов,, подробно рассмотренных в главе о численных методах в термо­ динамике плазмы. Численно исследовались две модели: система электронов па компенсирующем фоне заряда [19] и классиче­ ская система заряженных шариков [7, 16, 20]. В работе [19] обнаружена кристаллизация системы при т]|;л — 102. Однако' использование известного полуэмпирического критерия для плавления кристалла, так называемого правила Линдемапа (см. главу одиннадцатую), по-видимому, позволяет утверждать, чтокристаллизация системы наступает при больших значениях па­

При суммировании первых трех членов с т = 5 получим

3 5

= 8,8 + 0,2.

2k+ 21— 1

/=1 к=й

445

Неопределенность связана здесь с членом 1 = 3. В действитель­ ности погрешность меньше указанной. Следовательно,

и-2 = 3,125 + 8,8 ± 0,2 = 11,9 + 0,2.

В результате прямого численного интегрирования по спектру -частот Карр получил w_2 — 13,2+1,0.

Поскольку чисто теоретическое вычисление бт невозможно, приходится прибегать к правилу Линдемана для плавления, которое, однако, хорошо подтверждается экспериментом при Т/йлЗ>1. По-видимому, кулоновский кристалл больше всего по­ хож па объемноцентрироваиный кубический кристалл (типа кристалла щелочных металлов). Поэтому (6т )2 можно вычис­ лить по формуле (43.47), используя табулированные значения необходимых параметров для этих металлов [3]. Такое вычис­ ление приводит к результату r)m.= 170±10.

В модели твердых заряженных сфер обнаружен фазовый переход первого рода типа газ — жидкость. Насколько это со­ ответствует положению в реальной сильно неидеалыюй плазме, пока неясно, поскольку в работах [7, 16, 20] исследовалась классическая система в условиях, когда квантовые эффекты могут сыграть заметную роль.

Изложенные качественные подходы, конечно, не претендуют на строгое описание свойств кулоновской системы с сильным взаимодействием, однако они содержат интересные прогнозы, которые должны стимулировать дальнейшие экспериментальные исследования.

§ 44. К ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Этой проблеме уделено достаточное место в предыдущих главах. Здесь рассмотрим некоторые аспекты теории, касаю­ щиеся проблемы сжимаемости плазмы в металлах, устойчивости металлических систем, корреляции электронов в твердых телах и некоторые другие вопросы, связанные с описанием поведения плазмы в твердом теле.

Как упоминалось ранее, плазма металлов является чрезвы­ чайно неудобным для теоретика объектом исследования ввиду отсутствия в такой системе малого параметра. Реальные состоя­ ния вещества относятся к значениям параметра l,6 ^ r s^5,5. Исследуем вопрос об устойчивости простых металлов (типа Na, К), а также получим уравнение состояния, описывающее термодинамические свойства (в частности, сжимаемость) этих металлов. Рассмотрение указанных систем, конечно, не может быть точным вследствие отсутствия малого параметра, однако на этом пути удается ввести ряд разумных упрощающих пред­ положений, адекватных эксперименту *.

* Дальнейшее изложено по работам Ю. Кагана и сотрудников [3, 4].

446

поле фиксированных ионов. Представим далее энергию Ее в виде ряда

*Л, = £Л,-^-V eXp(iqRm);

т

А — символ Кропекера, характеризующий закон сохранения им­ пульса; Uq — фурье-компонента эффективного псевдопотенциаладля отдельного иона, который предполагается локальным; N — число атомов в объеме кристалла; четырехполюсник Пи), зави­ сящий только от электрон-электронного взаимодействия, можно рассматривать симметризованным по всем аргументам. Если взаимодействие электрон — ион сферически симметрично, то- Г('0(Ч),)=Г<">(—q,t). в случае полного равновесия ионной под­ системы все q; при п ^ 2 равны векторам обратной решетки к,-. Смысл разложения (44.2) станет ясен несколько ниже (в част­ ности, £<°) — энергия взаимодействия электронного газа в ме­

талле).

Пренебрегая колебаниями ионов в решетке (Г=0), имеем

где k — вектор обратной решетки; V0— объем элементарнойячейки; N — число ионов; R,, и R,,— координаты ионов. Учет электронейтральности ионной системы приводит к тому, что от псевдопотенциала Uq при q= 0 остается лишь пекулоновская часть взаимодействия

447

Здесь b — величина порядка амплитуды рассеяния электрона на ионе. Поэтому можно написать

где П(ч) — обычное, уже знакомое выражение для электронной петли.

Теперь уже ясно, что разложение (44.2) выполнено по пара­ метру

а = Uk/eFt

где Uк — фурье-компонента псевдопотепциала в пространстве векторов обратной решетки; eF— энергия ферми-электронов.

Запишем теперь уравнение состояния рассматриваемой си­ стемы, пользуясь известной связью между сжимаемостью элек­ тронного газа и выражением для петли при q-»-0:

где пс— плотность электронов, Отметим, что в приближении хаотических фаз это соотношение нарушается. Давление пред­ ставим в виде

•Запишем теперь выражение для полного давления в системе, удерживая члены порядка а2 включительно [см. формулу

448

Выражение (44.11) представляет собой уравнение состояния металла при Т —0, в котором, однако, объем элементарной ячейки пока не определен. В нормальных условиях равновесию кристалла соответствует Р —0. Поскольку давление (44.11) пред­ ставляет собой явную функцию от V0, то условие равновесия приводит к уравнению для определения У0:

Таким образом, если известен псевдопотенциал, то известно и выражение для объема элементарной ячейки Vo- В металлах типа К, Na 0 к достаточно мало и можно пренебречь членом № в формуле (44.2). Тогда выражение для давления принимает простой вид:

Последний член в правой части определяется энергией Еи и выражение для Pi может быть найдено, скажем, из выражения для энергии кубической решетки ионного кристалла:

где а связано с постоянной Маделунга [а= 1,792 (4л/3) 1/з для

интервале значений плотности, т. е. вблизи истинного равновес­ ного состояния металл оказывается неустойчивым. Таким обра­ зом, устойчивость металла обусловлена отклонением амплитуды рассеяния электронов от кулоновской амплитуды при конеч­ ном Ь. В частности, поэтому ясно, почему водород (у которого b очень мало) не может быть устойчивым в металлической фазе

при нормальных плотностях.

При значительном увеличении плотности атомов увеличи­ вается энергия Ферми &f, так что параметр а уменьшается и вклад Я(0) возрастает. Это может привести к стабилизации ме­ таллической фазы даже в точечной модели. Случай относительно высоких плотностей (г, — 1,6) был исследован А. А. Абрикосо­ вым [1]. Следует помнить, однако, что так называемая модель «желе», когда учитывается только член Р@\ очень неточна, по­ скольку вклад Р(1>и Р{ оказывается существенным.