книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

комам статистической механики. По смыслу г1е порядка г0— среднего расстояния между частицами:

Введем далее гс как расстояние от рассматриваемой части­ цы, такое, что при г<гс взаимодействие может быть удовлет­ ворительно описано по Кулону без экранирования. В области r > r ie справедлива формула Пуассона:

где iij — Nj/V-, Wj — «потенциал средних сил», действующих на частицу /, находящуюся на расстоянии г от частицы i.

В_области г>Гои потенциал средних сил можно заменить на ej4?i(r) и уравнение (43.6) можно линеаризовать:

где d определяется условиями сшивания для функции xF j и ее производной в различных областях.

Распределение для 'Fi(r) в области /•с^/-^шах(гой, rie) опре­ делить труднее. Можно попытаться обойти эту трудность с по­ мощью разумных аппроксимаций. В связи с этим рассмотрим два случая: гойСг<в и /оь^/Че- В области 0< .г< гс выражение

^ ( г ) и его производной на границах. Задача сводится к сши­ ванию выражений (43.9) и (43.10) при r ^ r ie (или г = гс). Из непрерывности производных следует

4 3 0

откуда

Из непрерывности потенциалов на границе получаем

Вычитая вклад ег/г рассматриваемой частицы из МГ,(г) в виде (43.10), видим, что d идентично потенциалу, который нуж­

но определить, т. е. d ~ Чг,-. Отметим, что d практически не за­ висит от г. Действительно, так как /~<Сг,>, то

где выражение для с пока неизвестно. Это выражение находим из условия непрерывности Мг,- при переходе через критическую

Разумеется, величина с является не очень определенной, так как предположение го1,<^.г,г, использованное при выводе фор­ мулы (43.11), нарушается вблизи критической плотности.

В результате получим [28]:

P/I = (е2/2) х при п < пкр;

(43.17)

Р/п = — (с/2) ej/r0 при п > пкр.

Тогда для водородной плазмы снижение потенциала ионизации

А/ = — е2х при п < пкр;

(43.18)

А/ = се2/г0 при п > пкр.

Первое из этих выражений описывается поляризационным чле­ ном, а второе — решеточным в соответствии с выражением для свободной энергии (43.2). Последнее выражение справед­ ливо лишь для очень плотной плазмы, когда тепловая энергия является возмущением, неспособным хаотизировать состояние системы. Поэтому рассматриваемую систему правильнее назы­ вать не газом, а плазменной жизкостью, в которой в ближнем порядке существует регулярная структура, а энергия взаимо­ действия выражается не через дебаевскую длину, а через сред­ нее расстояние между частицами г0.

Полуколичественные рассуждения, приведенные выше, не могут, конечно, гарантировать правильность величины для коэффициента а в формуле (43.2). В условиях эксперимента

431

член окажется существенным для описания уравнения состоя­ ния. При этом заметный вклад должны давать также кванто­ вые поправки, роль которых качественно описана в работе [15].

две фазы пока не обоснованы. Эксперимент не подтвердил этих предсказаний [14]. Не исключено, конечно, что фазовые превращения имеют место в плазме с более сильным взаимо­ действием (ц>-1). Вопрос о том, существует ли с и л ь н о и е-

ролла, оказывается термодинамически неустойчивой (см. главу одиннадцатую). Примером сильно неидеалыюй плазмы может служить так называемый ионный кристалл. Действительно, если плазма состоит из тяжелых положительных и отрицатель­ ных ионов, обладающих конечными размерами, то при низких температурах такая система становится сильно неидеалыюй, поскольку у тяжелых ионов энергия Ферми ef мала. Ионный кристалл, таким образом, может существовать.

Иным образом обстоит дело в электронно-ионной плазме, поскольку вследствие малой массы электронов атом всегда яв­ ляется чисто квантовым образованием в отличие от элементар­ ной ячейки ионного кристалла. Иными словами, при локализа­ ции электрона на расстоянии от иона порядка размера атома, энергия Ферми электрона становится сравнимой с потенциаль­ ной энергией притяжения к иону. Поэтому не совсем ясно, мо­ жет ли существовать электронно-ионная плазма в этих усло­ виях.

Попробуем на основе простой модели выяснить область по температуре и плотности, в которой существование электронно­ ионной плазмы возможно [17]. Пусть исследуемая плазма со­ стоит из электронов и ионов, которые могут образовывать атомы размером а и с потенциалом ионизации /. Чтобы выяс­ нить возможные области пеидеалыюсти, рассмотрим рис. 60, на котором 1/р и п ’/■ (« — полная плотность тяжелых частиц)

432

BE, электронная подсистема почти идеальна. Таким образом,, неидеалыюсть плазмы возможна только в области ОBE. Если плотность плазмы существенно меньше атомарной плотности па—а~3, для грубой оценки плотности электронов можно вос­ пользоваться формулой Саха

где пе— плотность электронов; /е — постоянная. При подста­ новке в эту формулу п‘/з= 1/р получается уравнение для гра­

ницы искомой области в переменных п и 1/р, в которой плазма не может быть идеальной и в которой формула Саха не спра­ ведлива:

Из этой формулы следует, что минимальная (граничная) плот­ ность лг(|3) пропорциональна /~3 (см. рис. 60).

Рис. 60. Диаграмма состояний водородной (а) и цезиевой (б ) плазмы.

Цезий выбран в качестве примера вещества с низким по­

низким потенциалом ионизации возможен случай, когда «мин. г<«а- При этом существует область плотностей и темпе­ ратур, в которой электронные оболочки атомов перекрываются слабо, а электроны проводимости образуют сильно неидеаль­ ную подсистему. Эта область заштрихована на рис. 60. По­ скольку в указанной области электроны далеки от вырожде­ ния, для оценки можно описать их поведение классически. Тогда полная статистическая сумма

433

нить требование, чтобы интегрирование в фазовом простран­ стве проводилось по координатам свободных электронов. Про­ стейшим определением ионизованного состояния является сле­ дующее: энергия электрона в поле ближайшего иона должна быть положительна. По-видимому, более правильно ввести свободные электроны, потребовав, чтобы их энергия в поле ближайшего иона соответствовала бы энергии связанного со­

где и 6е — потенциал i-ro электрона в поле ближайшего иона;

у — число порядка единицы. В действительности условие, на­ лагаемое на область интегрирования в фазовом пространстве электронов, конечно, является более сложным, однако исполь­ зование условия (43.22) позволяет получить полуколичественпые результаты.

Выполняя в формуле (43.21) необходимое интегрирование по импульсам с учетом неравенства (43.22), получаем

где Fe и F l — свободная энергия идеальных газов из электро­ нов и ионов соответственно, а

Фе = «е + ye2n j ‘.

434

Если электрон находится вблизи иона, то |Фер |3>1 и

с потенциалом (1/(3) lnpw®. Поэтому статистическая сумма (43.21)

сходится. Из выражения (43.24) видно, что ограничение куло­ новского взаимодействия производится на расстояниях порядка амплитуды рассеяния е2|3. При температурах больше ридберга (т. е. в области почти идеальной плазмы) дебройлевская длина волны Ае> е 2|3 и необходимо в этом случае ограничить класси­ ческую статистическую сумму на расстояниях порядка Ке (см. главу четвертую).

В области сильной неидеалыюсти плазмы справедливо выра­ жение (43.24), поэтому

рой потенциал взаимодействия с ближайшим ионом заменен на

(1/Р) In | Фе |Р - y e * n j \

Если температура достаточно низка (имеется в виду искомая область), то электроны и ионы ведут себя упорядоченным обра­ зом, располагаясь в решетку, причем электроны должны нахо­ диться между ионами. Это происходит, конечно, отнюдь не при всех условиях. Если не учитывать отталкивания электрона и ближайшего иона, взаимное положение электронной и ионной решеток не является равновесным. В рассматриваемом случае электрон отталкивается от ближайшего иона. Поэтому полная потенциальная энергия имеет минимум, соответствующий наи­ большему количеству соседей-ионов у данного электрона. Иными словами, электроны располагаются между ионами.

Отбрасывая в формуле (43.25) малые члены, обусловленные «логарифмическим отталкиванием», получаем

43&

где « ~ 1 определяется структурой решетки (постоянная Маделупга). Учитывая, что dF/dNe=0, получаем выражение для дав­ ления

Р = — (dF/dV)N'р = (па + пе) + пе [\ — (1/3) г|кл]. (43.27)

Отметим, что это уравнение состояния, с точностью до чис­ ленных коэффициентов, совпадает с уравнением состояния, полученным в двенадцатой главе:

Очевидно, что грубая модель пе может гарантировать правиль­ ности численных коэффициентов, однако вид уравнения состоя­ ния и в том и в другом случае идентичен.

Как это видно из формулы (43.27), при e2p3>«7 1/s давле­

ние Р оказывается отрицательным. Это означает, что в рассмат­ риваемой области п и J3 либо существует минимум по Ne, в котором 1/(3, либо плазма расслаивается на фазы, в одной из которых п<^па и e2(3<C/i7 '/j, а в другой п> па. При этом для

цезиевой плазмы возможная область двухфазного состояния может лежать в заштрихованном на рис. 60, б участке.

Статистическая сумма (43.21) должна включать все возмож­ ные состояния, в том числе и те, в которых заряженные частицы занимают только часть полного объема. Если по Ne минимум свободной энергии F лежит в области, где е2{3/ г“ 1/а, то отри­

цательность давления означает, что расположение заряженных частиц лишь в части полного объема является подавляюще более вероятным, так как этому состоянию соответствует мень­ шая свободная энергия. Это означает, что в рассматриваемом случае термодинамически выгодно расслоение плазмы на две фазы различной плотности.

Однако для устойчивости плотной фазы необходимо, чтобы давление заряженной компоненты было положительным, что может иметь место лишь в случае, если энергия Ферми еу элек­ тронов больше отрицательной энергии взаимодействия электро­ нов с ионами. Это соответствует атомарным плотностям.

На возможность расслоения пеидеалыюй плазмы на фазы указывалось в работе [15], где возможность фазового перехода связывалась с немонотонной зависимостью давления от плот­

области (без малого параметра) не существует надежных мето­ дов, поэтому в настоящее время невозможно доказать теорети­ чески, что давление заряженных частиц в этой области стано­ вится немонотонным.

Если минимум ZN по Ne лежит в области тц;л R 1 и соот­ ветствует положительному давлению, то расслоения на фазы

436

не происходит, а ионизационная формула приближенно имеет вид

тально, либо обнаружив разбиение на фазы, либо, если плазма остается однородной, измерив зависимость электропроводности от температуры. Например, в цезиевой плазме описанные явле­ ния могут иметь место при давлениях порядка 103 атм и температурах порядка 1 эв (104°К). Этих параметров надеются достигнуть в ударных трубах.

Таким образом, в рассмотренной области плотностей и тем­ ператур сильная неидеальпость, по-видимому, невозможна. Однако сильная неидеальпость плазмы возможна при доста­ точно низких температурах и плотностях, больших атомарной. При плотностях п ^ п„ и низких температурах энергия eF элек­ тронов порядка или больше энергии взаимодействия электронов с ионами, если размер атомов достаточно велик. Если при этом энергия Ферми электронов мала по сравнению с энергией взаимодействия электронов друг с другом, то при низких тем­ пературах электроны и ионы будут образовывать решетку.

Рассмотрим теперь несколько иной подход к изучаемой проблеме и связь выводов теории с возможными эксперимен­ тами. При ударном сжатии вещества (например, в ударных трубах) могут достигаться состояния, при которых система пре­ терпевает фазовый переход. Экспериментально фазовые пре­ вращения, обусловленные ударной волной, наблюдаются при так называемых полиморфных переходах в твердых телах [18], при переходах из жидкого состояния в твердое [28], а также при изоморфных переходах, сопровождающихся перестройкой электронной структуры [2].

Исследование сильно неидеальной плазмы (например, цезие­ вой) с помощью ударной трубы перспективно в том отношении, что в случае расслоения плазмы на фазы и пересечения линии расслоения ударной адиабатой, свойства ударной волны могут существенно измениться при достижении параметров двухфаз­ ного состояния. Структура ударной волны при наличии фазового перехода зависит от того, выполняется условие устойчивости или нет. Ударная волна, соединяющая состояния PQ, V0 и Р2, V2, неустойчива и распадается на две (или больше), если на адиа­ бате Гюгонио имеется промежуточная точка, такая что

437

выделением тепла, встречают серьезные возражения и, кроме того, противоречат эксперименту.

Рассмотрим возможную модель сильно неидеальной плазмы, в которой кривая расслоения на фазы имеет две критические точки [5]. В плоскости (|3-1, п) ей соответствует кольцевая об­ ласть двухфазных состояний (рис. 61). Такая модель харак­ теризует, например, заряженную подсистему в растворителе с диэлектрической проницаемостью е, зависящей от р. Эта зави­ симость может быть, в частности, линейной:

п3А

где Л-~е2, В —1iz/m. Второй член в правой части описывает кулоновское взаимодействие частиц (уже знакомый решеточный член), а третий характеризует вырождение. Спинодаль дР/дп = О имеет вид колечка:

пЧ-.

с двумя критическими температурами Т+ и Т~ , если выпол­ няется условие

16a b < A 2IB.

Если имеет место сильное неравенство вида

А2/В < 16аЬ,

438

но происходить расслоение на фазы. Эта модель имеет прямое отношение к экспериментам с парами ртути и цезия, которые подробно обсуждались в двенадцатой главе и согласно которым в закритической области наблюдается резкое возрастание элек­ тропроводности с увеличением плотности.

Поскольку жидкая фаза этих веществ металлическая, то следует ожидать сильного роста степени ионизации с плот­ ностью вещества (что и наблюдается экспериментально). По­ добный рост может происходить в результате эффективного уменьшения потенциала ионизации, обусловленного притяже­ нием электронов к атомам и ионам. Обычно это уменьшение потенциала ионизации / учитывается в формулах ионизацион­ ного равновесия типа формулы Саха:

Т — эффективный потенциал ионизации.

Как отмечалось в четвертой главе, формула Саха в ее наи­ более простом виде не учитывает вклада в статистическую сумму возбужденных состояний атомов. Это оправдано, когда ехр(Гр)^>1. Однако при это не так. В этом случае и вклад основного состояния в статистическую сумму следует за­ писывать иначе. Вместо ехр(р7") следует писать выражение

ехр (р/) — /р + О т .

Кроме того, следует суммировать вклады всех состояний дис­ кретного спектра. Существенно, что такая замена может заметно увеличить степень ионизации а в условиях, когда выражение (43.31) приводит к уменьшению а с увеличением плотности.

Последовательный учет этих эффектов в условиях сильно неидеальной системы, однако, затруднителен. Рассмотрим каче­ ственно картину интересующих нас явлений на основе так называемой с е т о ч н о й м о д е л и [25]. Применительно к плаз­ ме (А. А. Ведепов, А. Н. Старостин [6]) подобная модель означает, что места в решетке можно заполнять частицами трех сортов: атомами, ионами и электронами. Такое разделение, ко­ нечно, условно и вводится лишь для грубого качественного рассмотрения. Согласно этой модели электроны могут занимать как свободные, так и уже занятые места. Отметим, что это предположение является излишне грубым и его нетрудно устра­ нить, что и предлагается проделать читателю.

Наличие в ячейке атома или иона исключает друг друга. Будем считать, что с увеличением плотности эффективный раз­ мер атома растет, т. е. число мест, приходящихся на атомы, равно r(n)Na, где Na —-число атомов, а множитель г(п) моно­ тонно растет с п. Пусть Nq= УД3 — полное число мест в решетке,

439