книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

В центральной области атома число электронов порядка пол­ ного числа частиц N ~ Z , L —a o Z ^1* и энергия частицы

е ^ pl/ni— е2/ (a0Zv.3) .

Отсюда

г ^ - Г ^ е 2^ .

Наконец, во внутренней области атома, размеры которой по­ рядка радиуса ^-оболочки, L ~ a 0Z~l, e ~ Z 2e2/a0 и N ~ 1. Сле­ довательно,

eJ3) — Zbe2/a0.

В качестве ео следует взять наименьший из рассмотренных параметров е J,1 если необходимо получить давление, удовлет­

воряющее критерию сильно сжатого вещества. Таким образом, нижней границей области сильно сжатого вещества следует считать давления порядка e2/aj— Ю8 атм. В периферийной об­

ласти внешнее давление способно оторвать от атома лишь наружные электроны. Внутренние электронные оболочки уплот­ нены, а распределение плотности электронов в них сравнитель­ но слабо меняется в пространстве. В центральной области оторвано уже подавляющее число электронов, которые в пре­ обладающей части пространства движутся как свободные, об­ разуя почти однородное распределение. Наконец, во внутрен­ ней области все электроны теряют свою связь с ядрами. Ве­ щество в этой области представляет собой построенную из ядер решетку, окруженную почти идеальным электронным га­ зом. Ввиду малости отношения массы электрона к массе ядра конфигурация решетки может считаться заданной, а поле, соз­ даваемое ядрами, можно рассматривать как внешнее. Учет ко­

Для атома с зарядом ядра Z среднее расстояние между элек­ тронами порядка a0/Z. Поэтому

Следовательно, при больших Z атом можно отнести к классу сжатых систем со слабым взаимодействием.

420

Чтобы сильно исказить распределение Ферми, необходимы огромные температуры. Если же температура сжатой системы атомов такова, что ef|3^>1, и л и

где ф ( а' о ) — «граничное» решение уравнения Т—Ф, то имеет смысл рассматривать тепловое возмущение распределения Ферми. Отметим, что условие (41.12) позволяет рассматривать как возмущение не столь уж малые температуры среды: допу­ стимыми являются температуры, соответствующие нескольким электропвольтам.

§ 42. О СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ И ЖИДКИХ МЕТАЛЛОВ

При выводе уравнения состояния сильно сжатого вещества в § 41 не учитывалось по существу пи взаимодействие между соседними атомами, ни движение ядер. В рассмотренных усло­ виях эти приближения оправданы. Если же исследовать не слишком плотную систему и достаточно высокие температуры, когда значительная часть атомов полностью ионизована, не­

щим приемом. Предположим, что система состоит из гипотети­

прием уже использовался, когда рассматривался метод функ­ ций Ерипа в термодинамике плазмы, где параметр X выступал как внешний параметр системы. В литературе введение X на­ зывают иногда д е б а е в с к о й з а р я д к о й ч а с т и ц .

Обозначим среднюю плотность «ядер» що, а среднюю плот­ ность «электронов» пе0. Выделим одно ядро и рассмотрим средний электростатический потенциал г|ц, обусловленный дей­

расстоянии г от данного ядра. Потенциал фч и плотность заря­ да рг связаны уравнением Пуассона

421

Пусть температура среды такова, что ионы можно рассматри­ вать классически, так что

Для численных расчетов удобно ввести следующие единицы длины и энергии (совпадающие с единицами Ферми с точ­ ностью до к) :

00

qt = 4лr\ j (kZenu — кепн) x2dx.

О

422

Используя формулы (42.5) и (42.10), получаем с учетом гра­ ничных условий

СО

qi = — XZe I" Фixdx = — ЯZe [лФ,- — Ф,]о° = — XZe.

о

Следовательно, положительный заряд выделенного ядра пол­ ностью экранируется зарядовым облаком вокруг него.

Выделим электрон в начале координат и рассмотрим рас­ пределение заряда и потенциала вокруг него. Тогда

(г) = №пе1(г) — Япее (г).

Соответствующее ре(г) распределение потенциала фе(г) опре­ деляется уравнением Пуассона

В квазипептральной плазме, как это следует из соображе­ ний симметрии, распределение положительного заряда вокруг электрона должно быть идентично распределению отрицатель­ ного заряда вокруг ядра. Поэтому

Введем функцию Фе{х) с помощью равенства Ле = е->(4е)-2(Фе/х).

Тогда уравнение Пуассона приводится к виду

с граничными условиями

Фе (0) = — Z_1, lim Фе (х) = х (Ф/х)оо = хФх .

Х-+0О

Перейдем к вычислению термодинамических функций рас­ сматриваемой системы. Запишем свободную энергию системы в виде суммы

F = Ft + F2.

423

Часть свободной энергии F2 представляет собой работу элек­ трических сил, затрачиваемую на зарядку частиц при неизмен­ ных температуре и объеме. При этом распределение частиц на каждой «стадии зарядки» предполагается равновесным при данном значении X. Следовательно, вклад каждого ядра в Р2 равен

Здесь выражения XZe/r и —Хе/г соответственно вычитаются из % и чтобы устранить собственную энергию частиц; Ф±(я) разложены в ряды Тейлора вблизи начала координат, и ис­ пользованы граничные условия.

Если свободная энергия системы известна, то легко полу­ чить выражения для давления, энтропии и внутренней энергии, приходящейся на одну частицу:

Альтернативное выражение для давления дает нам вириальная теорема

424

Справедливость этого соотношения в рассматриваемом случае легко показать. Для этого заметим, что для кинетической энергии незаряженной (идеальной) системы справедливо уравнение

Pi (2/3) Ег.

В этом легко убедиться формально, используя выражение (42.6), соотношение

Ob) = COnst,

а также тождество

dlt/Jdiico = (3/2) h /t.

Следовательно, необходимо определить вклад F2 в давление Р2 и энергию Е2. Потенциальная энергия

£ 110Т= (1/2) j (Ze) рtr-'dr + (1/2) Z j (— e) per~'dr,

что эквивалентно выражению

сс

Тогда с учетом (42.16) получим

425

что и доказывает утверждение (42.17). Численное интегриро­ вание уравнений для Фг- и Фе приводит к уравнению состояния, которое мы сейчас вкратце обсудим [9].

Рис. 59. Диаграмма состояний железа при плотно­ сти 78,5 г/см3 (а) и 7,85 г/см3 (б):

— рассматриваемая модель; — • — — модель Т ома­ са —Ферми; — — — — идеальная система.

На рис. 59 представлена диаграмма состояний железа. За­ висимость Р(Р) качественно отличается от соответствующей зависимости по теории Т—Ф; особенно заметно это прояв­ ляется при низких плотностях. Так, на рис. 59, б явно заметно характерное плато, которое не описывается теорией Т—Ф. Не очень понятно, можно ли придать этому плато какой-либо яс­ ный физический смысл. Не исключено, что это является про­ явлением движения ядер, которое не описывается моделью Т—Ф. Настоящие вычисления содержат ряд недостатков. На­ пример, теория не является последовательной по той же при­

426

Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я

О В О З М О Ж Н Ы Х М О Д Е Л Я Х П Л О Т Н О Й П Л А З М Ы

§ 43. О ТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ

Под плотной плазмой будем подразумевать систему частиц с сильным взаимодействием *. При этом представляют интерес два случая. Неидеалыюсть плазмы может определяться силь­

вием между заряженными и нейтральными частицами. В этих условиях неидеалыюсть частично ионизованной плазмы суще­ ственна, если

личные модели плотной плазмы, отчасти апеллируя к немного­ численным экспериментам, о которых шла речь в двенадцатой

где коэффициенты а, Ь, с, соответствующие различным моде­ лям, отличаются довольно заметно, часто из-за ошибочных представлений [15]. Характерная особенность выражения (43.2) состоит в наличии решеточного члена в свободной энер­ гии, пропорционального л4/з. Этот член возникает естествен­ ным образом, если предположить, что кулоновская система имеет в случае сильного взаимодействия квазикристаллическую структуру, так что при достаточно высоких температурах

* Напомним, что вырожденная система кулоновских частиц высокой плотности является системой со слабым взаимодействием.

428

близка к плазменной. Зависимость можно получить из довольно простых соображений.

Рассмотрим систему, состоящую из Na атомов, Ne электро­ нов и Ni однозарядных ионов. Если рассмотрение является иолуклассическим, статистическую сумму, учитывающую взаимо­

‘ ' i

Эффективное снижение потенциала ионизации можно в общем виде записать так:

-^ ЧГj ехр (— Ц$) dx

’j' ехр (—6ф) dx

Тогда р3можно просто выразить через lFj, рассматривая заряд как внешний параметр системы, меняющийся от 0 до е:

Р; - j efVj (/.ер dk.

о

Выделим в начале координат системы точку, в которой на­ ходится заряженная частица i. Рассмотрим следующие обла­

можно приближенно считать индивидуальным и коллективизи­ рованным. При г>Гге число заполнения единичного объема ве­ лико, так что плотность частиц можно записать согласно за-

420