книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

§ 39. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМ

Рассмотрим использование вариационного принципа для оценки свободной энергии плазмы сверху и снизу как нейтраль­ ной, так и заряженной компонент плазмы, причем и ту и дру­ гую подсистему будем описывать как систему многих частиц. Уравнения квантовой механики полностью описывают поведение системы многих частиц во времени под влиянием внешнего возмущения. Поскольку те же уравнения описывают, в частно­ сти, и равновесные свойства системы, то можно связать инфор­ мацию о квазистационарных состояниях со статическими свой­ ствами системы. Таким образом, изучение реакций системы на внешнее возмущение (в том числе и экспериментальное изуче­ ние) позволяет судить о равновесных ее свойствах.

Введем определенную в § 21 корреляционную функцию «плотность — плотность»

S(k, ш) — $drcdtexp[i(kr — сог1)] < [P(г, t), p(0, 0)]>, (39.1)

/S

где с — число измерений; оператор матрицы плотности р выра- /S

жен через полевые операторы ф+, ф во вторичном квантовании уже знакомым нам образом:

р (г, t) = ф+ (г, t) ф (г, t) exp (— i Ht) ф+ (г, 0) ф (г, 0) exp (i Ht); (39.2)

Символ < ... > означает усреднение по большому канониче­ скому ансамблю системы многих частиц. Нетрудно показать, что

Тогда из неравенства (39.3) можно получить

Дальнейшее рассмотрение основано на использовании нера­ венств (39.4), (39.5) и правил сумм для корреляционной функ­ ции 5 (к, со):

390

где т — масса; п — плотность частиц в системе; Кт— изотер­ мическая сжимаемость. Третий момент корреляционной функ­ ции удовлетворяет условию [5]

Екни — кинетическая энергия, приходящаяся на частицу; U(r) — потенциал взаимодействия;

g (г) = < Р (Г) р (0) > = — п6с (г).

Комбинируя неравенства (39.4) и (39.5) с правилами сумм, получаем

Существенна положительная определенность оператора взаимо­ действия (см. десятую главу), так что А ^О . Средняя потенци­ альная энергия на частицу равна

где Р — давление, а полная энергия на частицу

-® ®кин “Ь ё 1ют.

Следовательно, для величины В\ можно написать выражение

B1 = a(s)—---- Ъ(s) е,

п

где

s + 3 при с = 1;

391

Свободная энергия системы на частицу

/ = 8 — TS,

где S — энтропия.

Используем теперь известные термодинамические соотноше­

Подставляя их в формулу (39.7) и интегрируя результат по плотности я, можно получить границы для любых интересую­ щих нас термодинамических величин. Так, комбинируя выра­ жения (39.11), (39.12) и (39.7), получаем

(39.13)

Учитывая, что е^О , можно проинтегрировать это неравенство по я при фиксированном S для а > 0. Тогда

(39.14)

для всех S и п, J] таких, что я ^ ц . Для а< 0 это неравенство меняется на обратное. Отметим, что граница, устанавливаемая

е(я, S ) на f(n, Т), неравенство (39.14) оказывается справедли­ вым для всех

392

Рассмотрим теперь первое из неравенств (39.7) в случае Ь'^.0. Введем величину

$ = J - K Ta — < R < 1.

пп

Тогда с учетом термодинамических соотношений (39.12) по­ лучим

пдп

что приводит при интегрировании по п в пределах (£, п) к сле­ дующему неравенству, справедливому при всех /г^£:

Это неравенство справедливо также для всех п о ^ п ^ ц . При 7=0 оно сводится к мажорантному неравенству для энергии основного состояния системы (на частицу):

Неравенства (39.16), (39.17) дополняют результат (39.14). Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействие которых

друг с другом описывается короткодействующим потенциалом типа Ленарда — Джонса

для к, 1>с. Тогда очевидное обобщение предыдущего рассмот­ рения позволяет написать

5=12; с= 136/15; Хл> 0Ж,-

Пусть П\ — значение плотности, при котором е По т = 0 (напри­ мер, в системе с давлением Р = 0). При п > п 1 энергия системы положительна, т. е. оправдано интегрирование (39.13) по п. При этом получается

393

(39.16) по | от щ до п, а затем по п от т) до п, получим нера­ венство, справедливое для всех п ^ ц ^ п ^ .

Аналогично можно получить неравенства для f и при конечных температурах. Неравенства (39.13), (39.16), (39.17), (39.1.9) и (39.20) определяют строгие границы для свободной энергии f (или энергии е системы [3]).

Оказывается, что подобные неравенства можно получить не только в случае системы частиц с короткодействующим взаимо­ действием, но и для реальных многокомпонентных систем ку­

4

p ^ r ) — оператор матрицы плотности; я, — плотность частиц г'-го сорта. Нетрудно видеть, что, согласно вириальной теореме (см. вторую главу), можно написать следующее выражение для полного давления:

394

А = р (к) = у] рг (к).

Тогда, как и ранее, можно сформулировать правило сумм, опре­ деляющее сжимаемость Кт'

Введем в качестве оператора «массовой плотности» оператор

Я= J] Щ р‘ (к).

1=1

Врезультате прямого вычисления получаем

rfco

Сг — а (s) —---- &(s) е,

где a(s) определено выражениями (39.11).

Пусть число измерений с= 3 в случае реальной кулоновской системы. Тогда а —26/5, 6= 22/15. Если полная энергия отрица­

395

тельна (что имеет место-в многокомпонентной системе куло­ новских частиц), то, вообще говоря, оценки для свободной энер­ гии / получить более сложно по сравнению со случаем системы с короткодействующим отталкиванием, рассмотренным выше. Рассмотрим сначала второе из неравенств (39.26). Пусть г — функция п и S. Определим n.i(S) так, чтобы

е (пп^ S) = 0.

Тогда аналогично неравенству (39.14) можно получить

и аналогично неравенству (39.16) можно написать неравенство, справедливое для всех n ^ r ] ^ n 0,

нюю границы для свободной энергии рассматриваемой систе­ мы, т. е. плазмы, содержащей как нейтральную компоненту, так и подсистему кулоновских частиц разного сорта в предпо­ ложении точечных частиц. Рассмотрение содержит существен-

396

Г л а в а п я т н а д ц а т а я

МЕТОД ТОМАСА—ФЕРМИ В ТЕРМОДИНАМИКЕ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ

§ 40. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И РАЗРЕЖЕННАЯ СИСТЕМА АТОМОВ

Рассмотрим описание систем многих частиц в приближении самосогласованного поля. В некоторых условиях уравнения Хартри — Фока сводятся к простому уравнению, описывающему

единственному универсальному уравнению-—уравнению Тома­

необходимо составить выражение для энергии системы частиц, например электронов, находящихся в потенциальном поле, ко­ торое могут описывать потенциалы сколь угодно большого числа положительно заряженных частиц и любой потенциал внешнего поля.

Для получения искомого выражения для энергии разделим электронный газ системой перегородок на отдельные элемен­ тарные объемы dV, так чтобы каждый элемент объема содер­ жал еще достаточно большое число электронов и чтобы потен­ циал внутри dV оставался примерно постоянным. Поскольку энергия газа, подчиняющегося статистике Ферми, при разбие­ нии на указанные ячейки, содержащие большое число частиц, меняется незначительно, полная энергия системы может быть представлена суммой энергий отдельных подсистем в объ­ емах dV.

Пусть внутри каждой ячейки электроны представляют сво­ бодный электронный газ при температуре Г= 0. Поскольку ки­ нетическая энергия свободного электронного газа составляет 3/5 энергии Ферми (см. § 20), кинетическая энергия системы в каждой ячейке равна

dV,

где

к к = ~ (Зл2)!/* Az0 — 2,87164.

398

где п — плотность электронов.

При вычислении потенциальной энергии электронного газа целесообразно разделить потенциал в каждой ячейке на две части: потенциал, создаваемый электронным облаком,

и Uu — потенциал, являющийся внешним для электронного газа. Тогда полная энергия электронного газа

2

где последний член в правой части описывает электростатиче­ ское взаимодействие электронов. В выражении дляпотенци­ альной энергии системы Е„от содержится член, обусловленный собственной электростатической энергией.

Предположим, что число электронов в системе фиксирова­ ло, т. е.

Для вывода уравнения Т—Ф сформулируем вариационный принцип следующим образом:

где U0— множитель Лагранжа, подлежащий определению. Варьируя уравнение (40.2) по п при неизменных внешних усло­ виях и неизменном N, получаем из выражения (40.4):

где U=Ue+Uk— полный потенциал. Следовательно, в случае произвольного бп

где

Величины U к п связаны уравнением Пуассона

A (U— U0) — 4лпе.

399