книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

Действительно, используя равенство (38.13) при подстановке

Н (X) =А + ХВ и производя под знаком следа циклическую пере­ становку операторов, получаем

вано свойство эрмитовости операторов А и В и свойство выпу­ клости экспоненты

(е‘ — &')1кх — у) > 0.

Из неравенства (38.14) вытекает важное следствие. Так как

Ц2/ (х)/дХ2 > 0,

то

/ ( Я ) - / ( 0) - Я / '( 0) > 0.

Отсюда следует неравенство для сумм диагональных матричных элементов:

Применим его к оценке статистической суммы ZjV= Spexp(—рЯ)

Sp ехр [—р (Я0 -т- Hj)] > ехр (—Ps) [Sp ехр (— РЯ0)—

— Sp р (Я — s) ехр (— РЯ0)].

3 8 0

Определив s из условия максимума правой части этого нера­ венства, получим

Sp ехр (— ряо)

Следовательно,

Sp ехр [— р (Я0 + Нг)] > ехр (—0s) Sp ехр (— 0Я9).

Поскольку свободная энергия F = — (l/p)lnZjV, то вместо этого неравенства получим неравенство (38.6), что и доказывает спра­ ведливость рассматриваемого вариационного принципа.

Рассуждая совсем просто, можно сказать, что вариационный принцип Боголюбова определяется двумя обстоятельствами: тем, что матрица плотности зависит от энергии системы экспонен­ циально, и потому, что

ev > 1 + х.

Конечно, кроме этого неравенства, молено написать и менеесильное:

еЛ' > 1 + х + -у-,

и вообще экспонента не меньше суммы конечного числа членов ряда, ее представляющего. Очевидно, что учет все большего чис­ ла членов разложения, т. е. все более полное использование свойств выпуклости экспоненты, ведет к все более слабым нера­ венствам при оценке свободной энергии системы. Иными слова­ ми, оценка для свободной энергии, оставаясь все время оцен­ кой сверху, будет приближаться к истинному значению свобод­ ной энергии. Конечно, каждое новое приближение должно силь­ но усложнять вид самого неравенства, и мажорантная теорема не будет выглядеть столь же просто, как в (38.6).

Оказывается, что вариационный принцип Боголюбова мож­ но получить как следствие вариационной теоремы Пайерлса, представляющей собой несколько более сильное утверждение. Рассмотрим комплексную функцию f(x)=exp(—0х), которую можно разложить в окрестности произвольной точки х:

В написанном разложении Тейлора член R^n пропорционален 2/г-й производной от f(x), причем коэффициент пропорциональ­ ности положителен. Для комплексной функции ехр(—0х) все четные производные положительны, так что

281

и пи

2п—1

Рассмотрим дискретную последовательность точек, удовлет­ воряющих условию

О < х0< лу < . . .

точку х, так чтобы

Ц Ра (*« — Х) = °-

Тогда при и= 1

/ > /(*)•

Рассмотрим теперь гамильтониан Я с парным набором ортонормированных функций |а > , таких, что

Я | сс> = £а I «>. 0 < Е 0 < Е г < £2< • • •

Пусть далее | s > — произвольная полная система ортонормированиых функций. Определим функцию-

f (Ха) = ехр (— рЯа)

так, что

Ра= I <s I а> I».

Тогда

2 < S I а > < а I s> --= < s I s> = 1

382

и

f s = 2 Р а exp (—P£a) =

a

= y><s I a > < a I exp(—РЯ) | s> = < s | exp(—рЯ) | s> .

a

С учетом неравенства (38.20) имеем для этой величины

< s | exp(— РЯ) | s> > exp (—P<s | Я j s>) X

tn=0

Поскольку свободную энергию канонического ансамбля мож­ но записать в виде

F = — (1/Р)1п|5] О | ехр (—р Я) | s> j,

то из соотношения (38.21) следует неравенство

F < - (1 /P )ln I ? ехр(—P < s | Я | s>) X

2л—1

X V t ^ < s I ( H - < s I Я I s > r I s> ,

ml

m—0

справедливое для n= 1, 2, 3,.. Знак равенства в этом выра­ жении имеет место, когда функции |sj> являются собственны­

ми функциями оператора Я или при п-+оо. При п —1

Это неравенство и выражает содержание вариационной теоре­ мы Пайерлса, дающей мажорантное выражение для свободной энергии системы.

383;

которое можно записать в эквивалентном виде:

Р, = exp (—p£,)/Sp exp (— РЯ0)

и снова воспользуемся неравенством (38.20) для выражения в квадратных скобках. Тогда

F < F 0 -r < Н г>0,

где

F0 = — (1/Р) In [Sp exp (—РЯ0)];

< ^ i > 0 = Sp [exp (—рЯ0) #i]/Sp exp (—рЯ0).

Эти соотношения содержат утверждение: свободная энергия си­ стемы всегда меньше суммы свободной энергии некоторого вспомогательного ансамбля и среднего по этому ансамблю от гамильтониана, представляющего собой разность гамильтониа­ на системы и оператора энергии вспомогательного ансамбля. Таким образом, вариационный ' принцип Боголюбова является следствием теоремы Пайерлса.

При построении мажорантных соотношений для свободной энергии, разумеется, можно использовать пе только свойство выпуклости экспоненты. Фейнман, например, предложил для построения мажорантной теоремы использовать при усреднении действительных функций / с положительным весом следующее неравенство:

< ех р /> > ехр< /> .

Рассмотрим два примера использования вариационного ме­ тода Боголюбова. Оказывается, что этот принцип позволяет изучить термодинамику ферромагнетика в одной из первых предложенных для пего моделей — модели Изипга [ 1], кото­ рая описывает кристаллическую решетку в следующем прибли­ жении. Решетка рассматривается как система из N атомов (неподвижных узлов), в каждом из которых находится элемен­ тарный магнитный момент р. Считается, что его ориентация относительно внешнего магнитного моля может быть только па­ раллельной или антипараллельной, а взаимодействие узлов друг с другом определяется расстоянием между ними и взаимной ориентацией моментов.

-384

Модель Изинга предполагает, что узлы решетки равноправ­ ны и действие магнитных моментов распространяется лишь на

Вычисление статистической суммы

2* = У1 Yi ехР(— Р£ )> crft=±l

где Е определяется гамильтонианом (38.23), является сравни­ тельно простым в одномерном случае; трудным, но возможным в двумерной модели, а в трехмерной задаче аналитические вы­ ражения для ZN удается получить лишь в предельных случаях очень низких и очень высоких температур. Вариационный прин­ цип Боголюбова позволяет получить приближенное выражение для Zy при любых Г [1].

Выберем Н0 в виде

P^e = S; li0ri.

где т) — вариационный параметр, т. е. неизвестная пока вели­ чина, одинаковая для всех узлов решетки и имеющая простой физический смысл: величину сг^Р-1 можно представить себе

как энергию взаимодействия магнитного момента с некоторым

/S /X

эффективным полем ц/Сцр). Поскольку Я = Я0 + Я Ь

( & - л Н — L J J / {, j ataj,

Следовательно, нетрудно написать теперь выражение и для параметра s, определенного выражением (38.18):

и для свободной энергии системы, рассчитанной на один узел, выражение

Параметр г) теперь нужно определить из условия минимума верхней границы для свободной энергии. Это условие, как лег­ ко убедиться, приводит к трансцендентному уравнению для определения параметра ц:

где введено обозначение P^’= (1 /jV) 2 Jifj. При этом необхо­ димо взять то решение которое удовлетворяет неравенству:

Зная решение уравнения (38.26), легко определить термодина­ мические параметры системы:

средний магнитный момент

М = дх1'/дМ = thrj;

намагниченность

/ = р пМ =-. »р th л;

где п — число узлов в единице объема.

Энергию системы, приходящуюся па одну частицу,

в = - ( д Щ 'Р = — (1/2) р^1th2 л,

причем р0 определяется макроскопическими свойствами систе­ мы (2/,-j).

Можно написать, в частности, выражение для так называе­

38 6

по всем наборам {си}, подчиняющимся условию (38.31). Введя при i=£j обозначение

Вычисление статистической суммы существенно облег­ чается, если вместо ZN вычислять статистическую сумму боль­ шого канонического ансамбля:

N = $~l dinZN/dp.

Сравнивая эти выражения с формулами предыдущей задачи, можно видеть, что вычисление ZN эквивалентно вычислению статистической суммы для изинговской ферромагнитной систе­ мы с гамильтонианом

где d — некоторая постоянная. Отвлекаясь от граничных эф­ фектов и выбирая, как и раньше, «нулевой» гамильтониан в виде:

388

Выбор пулевого гамильтониана в виде (38.33), как было вы­ яснено ранее, соответствовал в изннговой модели введению эф­ фективного магнитного поля, действующего на отдельные спины решетки. Как нетрудно убедиться в настоящем случае, такой

/ S

выбор Н0 соответствует введению некоторой эффективной мас­ сы частиц ячеистого газа, которая потом определяется наи­ лучшим в вариационном смысле образом.

Определяя параметр ц в выражении (38.34) из условия мак­ симальности lF, получаем трансцендентное уравнение

Исследуя решение этого уравнения, нетрудно убедиться в том, что в зависимости от |(р , р) и р имеется одно или три решения для тр Подставляя их в выражение (38.34) и учитывая равен­ ство \nZK = PV, получаем, что на диаграмме P = P(V) одному н тому же значению давления может соответствовать одно или три состояния с различными значениями V. Промежуточное состояние, соответствующее промежуточному решению для 1], неустойчиво, так как отвечает минимуму (а не максимуму) ве­ личины Ч*'.

Чтобы написать уравнение состояния для системы с задан­ ным числом частиц, исключим р из выражения (38.34). Тогда

N = (1/2) d (1 -I- th т]).

Из формулы (38.25) получим

Уравнение состояния определяется выражением [2]

$P = (dlnZN/dV)i. v.

Используя формулу (38.36), получаем, что первые три слагае­ мых дают в точности формулу Ван-дер-Ваальса, а последний член в случае разреженного газа (b/d<^\) учитывает малые поправки. В общем случае получается следующее уравнение состояния:

(р+тг) = Ь V — b (38.37)

389