книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

торое случайной точки S (x b х2, . . . , хп) при заданных условиях эксперимента, т. е. при условиях справедливости основной ги­ потезы, практически невозможно. Критическое множество устанавливается из неравенства, утверждающего, что вероят­ ность данного события в условиях справедливости гипотезы Я 0 не превышает малого числа а:

где а — уровень значимости.

л

Если значение выборочной функции 5 ( х ь х2, . . ., хп), вы­ численное по данным произведенных наблюдений, окажется в критической области, гипотеза Н0 отвергается, так как попада­ ние в эту область при нашей гипотезе невозможно, и потому

Л

несовместимо с ней. Если же S(xj, х2, . . . , хп) окажется в об­ ласти допустимых значений, то еще нельзя утверждать, что ги­ потеза подтвердилась, можно лишь говорить только о том, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Но-

Практически процедура проверки гипотез включает четыре элемента:

формулируются основная и конкурирующая гипотезы; назначается уровень значимости а. Заметим, что выбор а не

является статистической задачей и определяется последствия­ ми от неверно принятых решений (см. ниже). На практике наиболее распространены следующие значения а: 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,0027; 0,001;

выбирается критическая область таким образом, чтобы ве­ роятность отклонения основной гипотезы в случае ее справед­ ливости была равна уровню значимости;

принимается решение: гипотеза отвергается, если выбороч­ ное значение лежит в области отклонения, в противном случае гипотеза принимается.

Вследствие ограниченного объема выборки результат эк­ сперимента случаен, поэтому при вынесении заключения отно­ сительно справедливости гипотезы Н0 возможны ошибки. С од­ ной стороны, не исключена ситуация, когда в случае справед-

Л

ливости основной гипотезы случайная точка 5 ( х ь х2, . . . , х п) окажется в критической области, так как вероятность этого со­ бытия отлична от нуля (в то же время она не превышает а). В этом случае гипотеза будет ошибочно отклонена, как не со­

что при справедливости конкурирующей гипотезы случайная

80

тических множеств, попадание в которые случайной величины 5(.v'i, х2, ■ . ■ , х п) приводит к тому, что основная гипотеза от­ вергается.

Например, предположим, что проверяется основная гипоте­ за о значении некоторого параметра распределения а0. Причем заранее известно следующее: конкурирующая гипотеза заклю­ чается в том, что а > а 0- Если при этом из теоретических сооб­ ражений следует, что в случае справедливости конкурирующей гипотезы плотность распределения функции S (x b х2, .. . , х п/а) лежит правее соответствующей плотности распределения слу­

вительностью в том случае, если критическая область задана в соответствии со случаем 1.

Таким образом, критическая область должна обеспечить наибольшую вероятность попадания в нее случайной величины 5(xi, х2, . . . , х п) тогда, когда справедлива гипотеза, конкури­ рующая с проверяемой. Эта вероятность носит название м о щ- н о с т и к р и т е р и я . Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершения ошибки второго рода.

Необходимо отметить, что непараметрические критерии об­ ладают меньшей мощностью, что связано с потерей информа­ ции при разбиении результатов измерений на группы-ранги (часто непараметрические критерии называют также ранговы­ ми). Это приводит к тому, что существующее различие между гипотезой и экспериментом при использовании непараметриче-

82

ских критериев реже является значимым, т. е. достаточным для опровержения основной гипотезы, чем в случае соответствую­ щих параметрических критериев. Если, однако, непараметри­ ческий критерий позволяет сделать выводы о значимости раз­ личия, то параметрический критерий не может дать иного ре­ зультата. Таким образом, если выполняются требуемые пара­ метрическим критерием условия, то следует, как более эффек­ тивный, применять параметрический. Но при этом нельзя за ­ бывать, что непараметрический критерий проще и удобнее в использовании, поэтому в ряде случаев может оказаться более предпочтительным.

Рис. 15. Двустороннее и одностороннее критическое множество и вероят­ ность попадания критерия в область допустимых значений при справедли­ вости гипотезы Н\:

§17. Проверка параметрических гипотез

Вследующих параграфах будет рассмотрен ряд задач, ре­ шаемых методами проверки статистических гипотез, и не при­ водя сложных математических выкладок, будут указаны ко­ нечные формулы, методы и порядок вычислений и правила пользования соответствующими статистическими таблицами.

Проверка гипотезы о среднем значении р нормально рас­ пределенной генеральной совокупности. На практике р часто является номинальным размером, и проверка гипотезы о сред­ нем значении состоит в проверке правильности настройки обо­ рудования.

1.Дисперсия а2 известна. Пусть X — случайный контрол ный признак изделия, распределенный нормально с математи­ ческим ожиданием роДля проверки гипотезы отбирают вы­ борку п элементов, по результатам испытаний которой вычис­ ляют оценку математического ожидания — среднее арифмети­ ческое выборки:

п

2 * ,

ляется значимым, т. е. объясняется только естественным прояв­ лением случайности результатов испытаний ограниченной вы­ борки (но не отличием генеральной средней от ро)-

Имеет место следующая теорема: выборочная функция

при справедливости гипотезы Н0 распределена нормально с ма­ тематическим ожиданием р0 и дисперсией, равной единице

(рис. 16).

Г U)

Рис. 16. Критическая об­ ласть критерия Z , имею­ щего нормальное распре­ деление

Заключение о принятии или забраковании гипотезы Н0 вы­

носится на основании сравнения Z с границами критической

выборка я=100 шт. и измерены отклонения от размера 100 мм.

По результатам измерений подсчитано выборочное среднее *=30,52 мкм. Требуется проверить, существенно ли превышает рассчитанное по выборке

значение 30,52 мкм номинальный размер 30 мкм. Дисперсия генеральной со-

л

вокупности сг2= 3 6 м к м 2. Величину Z подсчитывают по формуле (41):

Л0,52

Z = —— . 10 = 0,866.

6

84

В производстве недопустимы большие положительные отклонения, по­

2. Дисперсия неизвестна. Пусть X — контрольный призна изделия, распределенный нормально с математическим ожи­ данием ро и дисперсией а2. Рассмотрим выборочную функцию

8 5

Решения уравнений (44), (45) и (46) представлены в табл. 8. Заключение о принятии или забраковании гипотезы Н0 вы­ носится на основании сравнения реализации случайной величи­

ны Т с границами критической области.

зу И о, считая дисперсию неизвестной. Выборочное среднее квадратическое отклонение s= 5 ,6 мкм.

По формуле (42) рассчитывают величину

Л0,52

Г= - :— • 10 = 0,928. 5,6

Из табл. 8 по числу степеней свободы т = п — 1=99 и а=0,05 для случая

одностороннего ограничения находим ta m = 1,665. Так как Г =0,928<1,655,

гипотеза Н 0 принимается, как не противоречащая экспериментальным данным.

86

Проверка гипотезы о дисперсии а2 нормально распределен­ ной генеральной совокупности Я 0 : о2 = Оо2. Данная проверка применяется для анализа точности технологических про­

Если гипотеза Я 0 верна, то имеет место теорема: образо­ ванная с помощью эмпирической дисперсии выборочная функ-

Л(п_ |\ s2

Рис. 18. Критическая область критерия %2, имеющего распределение «хи-квадрат»

87

Таким образом, нижняя граница критического множества т может быть найдена в табл. 9 по величине 1— 5-и числу

степеней свободы т = п —1.

Вслучае одностороннего ограничения критическое значение определяется из соотношения

При этом мы указали уравнение только для определения границы при правостороннем ограничении. В большинстве слу­ чаев применяется односторонний критерий с ограничением больших значений функции х2> а следовательно, и больших дисперсий, так как малые выборочные дисперсии положительно сказываются на точности работы технологического оборудова­ ния. В данном случае опровержение гипотезы Нй будет озна­ чать, что эмпирическая дисперсия s2 значимо больше Сто2.

Заключение о принятии или забраковании гипотезы Я 0 вы­ носится на основании сравнения реализации случайной величи­ ны у2 с границами критической области.

П р п м ер 21. В цехе токарных автоматов производятся цилиндрические болты. Из партии болтов взяли выборку объемом /1 = 20, измерили длину

каждого болта и рассчитали статистики: х = 1 8 мм и s2=784 мкм2.

Можно ли считать, что станок дает допустимый для данной партии разброс или же расчетное значение s2=784 мкм2 указывает на несоответст­ вие точности станка предъявляемым требованиям: ст02== 400 мкм2.

отвергается. Таким образом, выборка показывает, что процесс изготовления болтов подвержен влиянию серьезных помех, и станок не обеспечивает тре­ буемую точность. Вероятность ошибочности нашего заключения не превы­ шает а.

88

практике часто возникает необходимость сравнения разнооб­ разных конструкций, технологических процессов, приборов, состояний производства в различные моменты времени и т. д. Для этой цели чаще всего используются гипотезы о равенстве средних дисперсий и других параметров распределений.

1. Случай известных дисперсий. Проверка гипотезы о значе ниях двух средних из нормально распределенных генеральных совокупностей основана на анализе статистики

89