книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

величину размаха важно знать при анализе ряда измерений очень малого объема п. Например, в технике контрольных карт, где R составляет максимум 10, для облегчения вычисле­ нии вместо сложных расчетов выборочного среднего квадра­

(Квадратный корень берется всегда с положительным знаком). Для расчета выборочной дисперсии s2 для каждого измере­ ния Xi ( / =1, 2, . . . ) исходной последовательности следует найти

отклонение от среднего арифметического (Xi—х), возвести его в квадрат и разделить сумму квадратов отклонений на п— 1. Для упрощения вычислений преобразуем формулу (34):

п_

где 2 Jci = ,lJC ^смформулу (32)]. 1

Для небольшого числа измерений можно определить s2 по любой из следующих формул, которые являются производны­ ми от формулы (34):

70

U- 1

Пр и м е р 15. При измерении толщины пяти колец были получены сле­

По формуле (34) выборочная дисперсия

0,10

$2 = т ---- - = 0,025.

5 —■ 1

Среднее квадратическое отклонение s=0,016 мкм.

§ 14. Метод группирования

При большом объеме выборки вычисления х и s занимают много времени. Поэтому следует пользоваться менее трудоем­ кими и более рациональными методами, получившими практи­ ческое применение в области контроля качества. К таким ме­ тодам относится метод группирования, или метод классифика­ ции. Сущность метода заключается в том, что вся область ин­ дивидуальных значений х,- разбивается на группы (классы)

71

одинакового объема. Обработка данных производится в пред­ положении, что все значения ад, находящиеся в каждой группе, имеют одно н то же значение, соответствующее середине груп­ пы. Если это предположение соответствует действительности, то метод дает точные результаты.

Средние значения отдельных значений каждой группы от­ клоняются от середины группы, но, с другой стороны, эти от­ клонения частично взаимно уравновешиваются. Поэтому по­ грешности характеристик, вычисленных методом группирова­ ния, как правило, бывают не больше погрешностей измеритель­ ных приборов, климатических влияний и др.

Метод группирования данных, определение х и s, а также построение штриховой таблицы покажем на конкретном при­ мере.

В том виде, в каком статистические данные представлены в табл. 5, они мало пригодны для оценки качества изделий. Для большей наглядности со­ ставляется штриховая таблица (таил. 6), которая состоит из восьми граф.

В первой графе внесены границы групп, на которые разбита исследуе­ мая совокупность. При выборе длины интервала группы (в данном примере длина равна Л = 20) необходимо учитывать:

1)выбор Л зависит от объема п измерений, от размаха R и от требуе­ мой точности исследования. Рекомендуется задавать /г таким образом, что­ бы количество групп получилось не менее шести и не более 20. Поскольку длина интервала группы Л так или иначе влияет на расчет среднего значе­ ния и дисперсии s -, то при малом количестве групп k расчет может оказать­ ся неточным, в то время как излишне большое k увеличивает объем работ;

2)предпочтительные размеры длины интервала группы: 1, 2, 3, 5, 7, 10,

15 или более высокого порядка, кратного 5.

После разбивки на группы определяют абсолютные частоты каждого интервала (вторая н третья графы).

Во второй графе вертикальными штрихами отмечают все значения а ,-. Для этого просматривают все значения исходной совокупности, причем каж­ дое измерение заносят в соответствующую группу и изображают в виде штриха. Например, значение а ,= 426 попадает в группу с интервалами

7 2

420—439. Для большей наглядности и убыстрения счета каждый пятый штрих в одной группе наносят поперек четырех предшествующих.

При больших значениях п можно по распределению штриховых отметок судить о распределении количественного признака. Довольно просто узнает­ ся, имеется ли приближенное нормальное распределение данных.

Количество штрихов в группе есть абсолютная частота и обозначается она через /г,- (третья графа). Сумма чисел третьей графы, соответствует объему выборки п.

Вычисления начинают с четвертой графы. Сначала в штриховой табли­ це определяют среднюю группу, т. е. группу, в которой ориентировочно на­

380—399. Можно и любой другой группе дать такой номер. Но для удобст­ ва последующих вычислений рекомендуется присваивать т = 0 средней груп­ пе или группе с наибольшей частотой и,-. Выбор средней группы с т — 0 не влияет на правильность результатов. Преимущество правильного выбора

73

средней группы состоит только в том, что дальнейшее вычисление произво­ дится с малыми числами. Начиная от нуля, группы нумеруют в сторону с большими измерениями непрерывно + 1 , + 2 , + 3 . . . и с меньшими измере­ ниями — 1, —2, —3 . .. до последней группы.

Впятой графе находится произведение r i i - m для каждой группы. Для дальнейших расчетов понадобится сумма значений этого столбца. Сумма может оказаться отрицательной. Будем обозначать ее через А .

Вшестой графе перемножают числа четвертой и пятой граф и произве­

ленные частоты в процентах. Относительную частоту подсчитывают по фор­

муле— -100%, относительную накопленную частоту — путем ступенчатого

последовательного суммирования относительных частот.

Определение среднего арифметического значения и среднего квадрати­ ческого производится по формулам:

Штриховые таблицы получили очень широкое применение на производстве. Для их составления используются спецналь ные бланки.

§15. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Все оценки, рассмотренные выше, являются точечными — они определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оценивае­ мого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в таких случаях следует пользоваться интервальными оцен­ ками, которые определяются двумя числами — концами интер­

74

неравенству (0 —0) < б ; можно лишь говорить о вероятности у, с которой это неравенство осуществляется.

Часто по результатам выборки необходимо сделать заклю­ чение о генеральной совокупности. При повторном контроле выборок из одной генеральной совокупности результаты выбо­ рок рассеиваются, поэтому нельзя получить характеристики генеральной совокупности, а можно лишь определить интер­ вал, в котором содержится соответствующее значение харак­

ожидается истинное значение харатеристики генеральной со­ вокупности.

Понятие « с т а т и с т и ч е с к а я н а д е ж н о с т ь » приме­ няется в статистическом контроле качества при различных по­ становках задач, например, при определении доверительных интервалов, применении критериев и использовании контроль­ ных карт. Статистическая надежность является вероятностью того, что решения или выводы, полученные на основе результа­ тов выборки, в действительности правильны.

Так как существуют контрольные признаки или методы проверки, при которых нужно знать выход только за верхнюю и только за нижнюю границы, различают одностороннюю у' и двустороннюю у" статистические надежности. Если ясно, что имеет место двусторонняя статистическая надежность, то до­ пускается также обозначение у', односторонняя всегда обозна­ чается через у'.

Между односторонней и двусторонней статистическими на­

75

Использование односторонней статистической надежности реализуется в том случае, если нужно знать только отклонение в одну сторону, например, отклонение утолщения при контро­ ле толщины слитка.

В машиностроении используют статистические надежности 99,73 и 99%- Если же от результата испытания зависят важные решения, то используют статистическую надежность, равную 99,9%- Расмотрим два случая.

П е р в ы й — доверительные интервалы для оценки мате­ матического ожидания нормального распределения при извест­ ном а. Пусть количественный признак X генеральной совокуп­ ности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной сред­ ней. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью у.

Будем рассматривать выборочную среднюю х как случай­ ную величину X (х изменяется от выборки к выборке) и выбо­ рочные значения признака хь х2, ■ ■ ■ , хп как одинаково распре­ деленные независимые случайные величины Х2, ... , Хп (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими сло­ вами, математическое ожидание каждой из этих величин рав­ но а, и среднее квадратическое отклонение равно а.

Примем без доказательства, что если случайная величина

распределена нормально, то выборочная средняя х, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормаль­ но. Параметры распределения таковы:

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у

можно утверждать, что доверительный интервал ( х — t —Е—

V V n

x + t - У У покрывает неизвестный параметр а; точность оцен-

V n )

G

КИ 0 = t •

V П

76

тельные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. На­ дежность у =0,95 указывает, что если произведено достаточна большое число выборок, то 95% из них определяет такие дове­ рительные интервалы, в которых параметр действительно за ­ ключен; лишь в 5% случаев он может выйти из границы дове­ рительного интервала. Если требуется оценить математиче­ ское ожидание с точностью б и надежностью у, то минималь­ ный объем выборки находится по формуле (следствие второе):

/202 п — ----.

52

В т о р о й — доверительные интервалы для оценки матема­ тического ожидания нормального распределения при неизвест­ ном о. Пусть количественный признак X генеральной совокуп­ ности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение а неизвестно. Требуется оценить неизвестное мате­ матическое ожидание а при помощи доверительных интер­ валов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозна­ чать через Т ):

•Y1 % м- SIVT

которая имеет распределение Стьюдента с k = n —1 степенями

свободы; здесь х — выборочная средняя; s — выборочное сред­ нее квадратическое отклонение; п — объем выборки.

Всоответствии с распределением Стьюдента доверительный

—£ — ^

раметр а с надежностью у. Здесь случайные величины X и 5 за ­

менены неслучайными х и s, найденными по выборке. Из при­ ложения 2 по заданным п и у можно найти

средняя х — 2 0 ,2 и выборочное среднее квадратическое отклонение s=0 .8 .

7 7

Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного

х =4,1, то доверительный интервал имеет следующие доверительные гра­ ницы:

7 —0,98 = 4,1—0,98 = 3,12;

л:+ 0,98 = 4,1+0,98 = 5,08.

Таким образом, значения неизвестного параметра а, согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству 3,1 2 < а <5,08.

Г л а в a V

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

§1 6 . Общие положения

Большинство задач, решаемых при анализе и контроле ка­ чества продукции, связано с проверкой различного рода пред­ положений относительно показателей качества или парамет­ ров, влияющих на эти показатели. Такие задачи решаются в математической статистике с помощью теории проверки стати­ стических гипотез.

Под статистическими гипотезами будем понимать различ­ ного рода предположения о законах распределения случайных величин или значениях числовых характеристик, а под про­ веркой — систему правил обработки результатов испытаний выборки и принятия заключений относительно правдоподобия выдвинутых гипотез.

Различают параметрические и непараметрические гипотезы.

и необходимо только проверить конкретное значение пара­ метра.

7 8

Н е п а р а м е т р и ч е с к и е г и п о т е з ы относятся к пред­ положению относительно вида распределения признаков каче­ ства. Например, типична следующая постановка задачи: «про­

мейство распределений, одинаковых по виду и отличных по па­ раметрам.

Исходным понятием теории проверки статистических гипо­ тез являются понятия основной и конкурирующей (альтерна­ тивной) гипотезы, которые в дальнейшем будем обозначать со­ ответственно # 0 и Ну. По смыслу конкурирующая гипотеза Ну противопоставляется основной.

основная гипотеза Н0 сформулирована в виде р.= ро, ст=£^сго, та конкурирующей гипотезой является гипотеза, заключающаяся в том, что математическое ожидание генеральной совокупно­ сти р=т^ро при любых средних квадратических отклонениях а,. либо р = ро, но а>Оо-

Рассмотрим общий принцип поверки правдоподобия статиг стических гипотез. Пусть Х у, х2, . . . , хп — совокупность слу­ чайных исходов испытаний, например, измерения контрольногопризнака у п изделий. Вероятность каждого исхода опреде­ ляется функцией распределения F ( x ) = P { X < x } , относительна вида или параметра которой выдвигаются основная и конкури­ рующая гипотезы. Предположим, что существует некоторая случайная функция 5 (х ь х2, . . . , хп), зависящая только от слу­ чайных результатов испытаний, которая полностью определена (т. е. определена область изменения функции и закон ее рас­ пределения), если справедлива гипотеза Н0. В этом случае от­ носительно поведения случайной величины 5 (х ь х2, . . . , хп) можно вывести следствия, которые будут носить характер ве­ роятностных суждений, и тогда проверка гипотезы сведется к проверке согласованности результатов эксперимента с установ­ ленными нами теоретическими выводами. Система правил, на основании которой проверяется согласованность результатов эксперимента с одной из гипотез, называется к р и т е р и е м : п р о в е р к и . В качестве возможного критерия рассмотрим: так называемый критерий согласия, в соответствии с которым принимаются заключения относительно истинности гипотез; для всех рассматриваемых ниже задач. Критерий согласия выражает количественную меру расхождения гипотезы с

79