книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

В условиях СБТ качество труда работников БТК также поддается объективной оценке, и величина премии рассчиты­ вается для них по той же методике.

Внедрение статистических методов контроля качества про­ дукции вносит некоторую специфику в организацию работы служб ОТК. Статистический контроль в широком понимании этого слова включает статистический анализ точности и ста­ бильности технологических процессов, статистическое регули­ рование технологических процессов и статистический приемоч­ ный контроль. Обеспечение этого комплекса работ возможно усилиями всех служб завода и в первую очередь отдела глав­ ного технолога, отдела технического контроля, отдела глав­

контроля качества, должна непрерывно поступать в соответ­ ствующие отделы, накапливаться там, анализироваться и ис­ пользоваться для принятия оперативных и обоснованных воз­ действий на производственный процесс.

К сожалению, до настоящего времени статистический конт­ роль является в нашей стране необязательной и неузаконен­ ной формой контроля. Статистические параметры почти сов­ сем не включаются в стандарты на продукцию, в технический паспорт, в договоры о поставках. Лишь в 1970 г. появились первые государственные стандарты по статистическим методам контроля. Ни в одном государственном или отраслевом нор­ мативном документе не определены положения, структура и задачи подразделения, призванного внедрять и осуществлять статистический контроль и анализ качества продукции на пред­ приятии. Практически организационная структура, круг дея­ тельности и задачи подразделений, осуществляющих статисти­ ческий контроль, создаются на каждом предприятии инициа­ тивно и далеко с неодинаковым успехом.

Опыт передовых машиностроительных и приборостроитель­ ных предприятий, успешно применяющих статистический конт­ роль, свидетельствует о том, что центральное подразделение статистического контроля должно подчиняться главному ин­ женеру завода и объединять работу групп статистического контроля в других службах завода.

При отделе главного технолога должна быть создана груп­ па статистического анализа и контроля технологических про­ цессов, занимающаяся назначением операций и параметров для статистического анализа, подготовкой и проведением ста­ тистического анализа намеченных технологических операций, разработкой мероприятий по отладке технологических процес­ сов совместно с другими техническими службами завода, на­ значением объектов статистического контроля, подготовкой

40

Р а з д е л в т о р о й

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ

Г л а в а III

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 6. Основные понятия. Вероятность события

Математическая паука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных

ния математической и прикладной статистики, выбора и обос­ нования планов статистического приемочного контроля, анали­ за технологического процесса, планирования и организации производства.

Каждая наука содержит ряд основных понятий, на кото­ рых она базируется. В теории вероятностей основным являет­ ся «событие».

Под с о б ы т и е м понимается любой факт, который может или не может произойти в результате испытания (опыта). Примерами событий могут быть: А — обнаружение двух бра­

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности какого-то события. Вероятность со­ бытия А обозначается Р(А).

События различаются по степени возможности их появле­ ния на:

достоверные — событие U, непременно должно произойти в результате испытания: P(U) = 1;

невозможные — событие V, не должно произойти в резуль­ тате испытания: /3(У )= 0 ;

42

случайные — событие D, про которое нельзя заранее ска­ зать, произойдет оно в результате испытания или нет: €</>(£>) < 1 .

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей: Ог^/ДЛ) г^1.

Для определения вероятности появления какого-либо слу­ чайного события предварительно ознакомимся с некоторыми вспомогательными понятиями.

1.Полная группа событий. Ее образует несколько событий при данном испытании, если в результате испытания непре­ менно должно появиться хотя бы одно из них. Например, по­ падание четырех, трех, двух, одной или ни одной годной еди­ ницы продукции, если из партии отобрано на контроль четы­ ре изделия.

2.Несовместные события. Несколько событий называются

же правилам.

3. Равновозможные события. Несколько событий в данном испытании называются равновозможными, если пс условиям симметрии испытаний нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Например, выбор из партии, содержащей как годные, так и бракованные единицы продукции, годной или бракованной единицы продукции при условии, что выбор осуществляется случайным образом (с по­ мощью таблицы случайных чисел).

Если несколько событий образуют полную группу, несовме­ стны и равновозможны, то они называются с л у ч а я м и («шансами»). Случай может быть благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление со­ бытия.

Если результаты испытаний сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется по формуле

Р (Л) = — ,

п

где п — общее число случаев; т — число случаев, благоприятных событию А.

В приложениях теории вероятностей к вопросам контроля качества часто пользуются так называемым статистическим определением вероятности. Допустим, имеется возможность неограниченного повторения испытаний, в каждом из которых при неизменных условиях отмечается появление или непояв­ ление некоторого события А. Так, при достаточно большом числе п испытаний событие А наступило d раз. Отношение

43

\V = d / n принято называть ч а с т о с т ь ю (иногда также ча­ стотой или относительной частотой) события А.

Изучение на практике частоты появления некоторых собы­ тий показало, что в ряде случаев при большом числе испыта­ ний эта частота сохраняет почти постоянную величину, причем колебания ее становятся тем меньше, чем больше число испы­ таний. Это дает основание полагать, что рассматриваемое со­ бытие имеет определенную вероятность, вокруг которой и про­ исходит колебание частоты.

Используя свойства частот, вероятностью события назы­ вают характеризующее его число, около которого колеблется частота появления события при сохранении неизменных усло­ вий опыта. Приведенное определение называют статистиче­ ским определением вероятности.

Статистический способ определения вероятности имеет пре­ имущество перед классическим — опирается на реальный эксперимент. Однако он имеет и существенный недостаток — для надежного определения вероятности необходимо провести большое число испытаний, а это связано с материальными за ­ тратами.

Решение. Обозначим А — событие, состоящее в том, что попадется год­ ная деталь. Этому событию будут благоприятствовать все случаи, в которых попадется одна из (100—5) годных детален, т. е. щ = 95. Тогда искомая веро-

95

ятность Р (-1) —■ ----= 0,95.

100

П р и м е р 2. В партии, состоящей нз шести изделий, три бракованные. Определить вероятность того, что при одновременной выборке двух изделий оба окажутся бракованными.

Решение. Если пронумеровать все шесть изделий соответственно номе­ рами 1, 2, 3, 4, 5, 6, то для двух выбранных изделий возможно 10 вариан­ тов. Из алгебры известно, что общее число таких случаев подсчитывается по формуле числа сочетаний нз шести по два, т. е.

Предположим, что бракованные детали оказались с номерами 1, 2 и 5. Тогда благоприятствовать искомому событию будут следующие выборки: 1 и 2; 1 и 5; 2 и 5, т. е. три случая. Действительно, по формуле числа со­ четаний (из трех бракованных по два)

Следовательно, искомая вероятность будет

Р (Л )=" ^ =''0,2 -

44

П р и м е р 3. Рассмотрим общий случай, когда требуется найти вероят­ ность того, что в выборке объемом п , взятой из партии N изделий, окажет­ ся d бракованных. Известно, что в партии имеется D бракованных изделий. Этот случай имеет практическое применение при решении задач приемочного' статистического контроля.

способов, которыми можно отделить d бракованных изделий, равно СдНо

§ 7. Теоремы сложения и умножения вероятностей

При разработке планов приемочного контроля и методоз статистического регулирования важными понятиями являются понятия суммы и произведения вероятностей несовместных событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее

внаступлении хотя бы одного из них. Сумма S событий А, В, С, . . . , N обозначается так:

5 + С + . . . + Л С

Например, если событие А — есть изготовление детали с контролируемым размером выше допустимого, а событие В — изготовление детали с размером ниже допустимого, то собы­

осуществлении одного из двух несовместных событий А или В (безразлично какого именно), то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В: Р(А или В) = Р ( А ) + Р (В ) (при несовместимости А и В ) .

Особый интерес представляет частный случай сложения двух противоположных событий, наиболее часто встречающий­

45

ся в практике статистического контроля. Вероятности двух противоположных событий в сумме дают единицу:

Таким образом, если известна вероятность какого-либо случай­ ного события А, то вероятность противоположного ему собы­

тия А вычисляется по формуле

бракованных, проверяют 40 наугад выбранных изделии. Определить вероят­ ность того, что партия будет принята, если условиями приема допускается

лий, то условие ее забракования можно обозначить как событие Р , посколь­ ку это событие противоположно Р .

Пользуясь формулой (3), находим

р = 1 — р = 1 — 0,337 = 0,663.

Прежде чем рассматривать теорему умножения вероятно­ стей, введем понятие о независимых и зависимых событиях. Событие А называется независимым по отношению к собы­ тию В, если вероятность первого события не зависит от того, произошло второе событие или нет. В противном случае, со­ бытие А называется зависимым от события В. Условная ве­ роятность события обозначается — Р(А/В).

46

Математически условие независимости события А от собы­ тия В записывают в виде

ступления нескольких событий равна произведению вероятно­ сти одного из них на условные вероятности остальных собы­ тий, вычисленные в предположении, что все предшествующие: события имели место:

Рассмотрим два важных следствия из теоремы умножения вероятностей.

С л е д с т в и е 1. Если событие А не зависит от события то и событие В не зависит от события А, т. е. понятие зависи­ мости и независимости событий взаимно. Поэтому можно дать новое определение независимых событий.

События называются независимыми, если появление одноп> из них не изменяет вероятности появления других.

с размерами больше обозначенного на чертеже. У сборщика осталось 15 де­ талей, из которых 5 большего размера. Найти вероятность нарушения рабо­ ты первого собранного из этих детален механизма, если сборщик берет де­

стоящие в том, что первая, вторая и третья детали, соответственно постав­

Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

4?

Решение. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что за три

щую смену.

Тогда А = А \ -Лг-Лз, так как событие Л наступает при условии одновре­ менного наступления событий Ль Л2 и Л3. Заметим, что события Л т, Л2 п .43 являются независимыми. Вероятности наступления каждого из этих собы­ тий равна 0,9 и не зависят от того, имели место два других события или нет. Поэтому по теореме умножения вероятностей для независимых событий

(7) имеем

Р ( А ) : р (Лх • Ло • Л3) -- Р (Лх) • Р (Л2) • Р (Л3) = 0,9 . 0,9 - 0,9 =_ 0,729.

§8. Случайные величины. Законы распределения случайных величин и их числовые характеристики

Под с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й понимается величина, принимающая в результате опыта какое-либо числовое значе­ ние, причем заранее неизвестно, какое именно (обозначают­ ся заглавными буквами латинского алфавита — X, У ... , а их возможные значения — соответствующими малыми буквами

.V, у ■ ■ ■ ). Выделяют два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина, принимающая конечное число или по­ следовательность различных значений, называется д и с к р е г - н о й. Например, количество негодных деталей в партии может быть только целым положительным числом.

Случайная величина, принимающая все значения из неко­

знать не только ее возможные значения, но и насколько часто появляются различные значения этой величины. Частоту появ­ ления случайной величины лучше всего характеризовать ве­ роятностью отдельных ее значений. Иначе говоря, для случай­

поэтому сумма заданных вероятностей pi должна равняться единице.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют

48

законом распределения случайной величины и выражается графически в виде кривой распределения. Кривая распреде­ ления характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в точке. Ее часто называют «плотностью вероятности» или «плотностью распределения».

Закон распределения можно записывать в виде таблицы, графически или математической формулой.

Простейшей формой задания закона распределения дис­ кретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соот­ ветствующие им вероятности.

Такая таблица носит название ряда распределения случай­ ной величины.

Рис. 4. Многоугольник распределения

При графическом изображении все возможные значения случайной величины откладывают по оси абсцисс, а по оси ординат — соответствующие вероятности, и полученные точки соединяют отрезками прямых (рис. 4). Такая фигура назы­ вается многоугольником распределения.

Многоугольники распределения могут иметь самую различ­ ную форму, однако все они обладают одним общим свойством. Сумма ординат многоугольника распределения, представляю­ щая собой сумму вероятностей всех возможных значений слу­ чайной дискретной величины, всегда равна единице. Это основ­ ное свойство вытекает из условия, что все возможные значе­ ния случайной величины X образуют полную группу несов­ местных событий.

Закон распределения случайной величины не всегда может быть задан таблицей. Например, если речь идет о непрерывной случайной величине, то все ее значения перечислить невоз­ можно. Поэтому ее характеризуют не вероятностями отдельных значений, как дискретную, а вероятностями того, что случай­ ная величина принимает значения из определенного интерва­ ла, т. е. вероятностями неравенств вида а ^ Л 'с р . В дальней­ шем будем говорить о вероятности неравенства — сл < X < х,