книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

§25. Статистический приемочный контроль по количественному признаку

Как указывалось, контроль по количественному признаку обладает более высокой информативностью, чем контроль по альтернативному признаку. Дело в том, что при анализе коли­ чественного признака у каждого изделия выборки измеряется параметр, и каждая выборка дает информацию, состоящую из п (объем выборки) чисел. При альтернативном контроле объем информации состоит только из количества дефектных изделий в выборке. Поэтому количественный контроль при той же достоверности выводов требует меньшего объема выборок.

Рассмотрим случай, когда количественный признак изделия имеет нормальное распределение с параметрами р и а:

Качество продукции, т. е. вероятность изготовления дефект­ ного изделия q, как это видно из рис. 44, полностью опреде­ ляется техническим допуском на контрольный признак (Тн, Тв), и соотношением между генеральными математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением а.

Рис. 44. Вероятности изготовления де­ фектной продукции q\ и при нормаль­ ном распределении признака качества

Задача выборочного контроля по количественному призна­ ку заключается в том, чтобы по результатам анализа выбо­ рочных характеристик

171

делать утверждение отнсительно генеральных характеристик

(.1 и ст.

Контроль по одному количественному признаку при одно­ стороннем допуске и известной дисперсии. Контроль по коли­ чественному признаку достаточно сложен как в организацион­ ном, так и математическом отношении. Поэтому рассмотрим лишь наиболее простые случаи количественного контроля, ког­

позволит нам не только познакомиться с основами планиро­ вания контрольных испытаний, но и оценить эффективность контроля.

Пусть изделие считается годным, если контрольный при­ знак Х ^ .Т . В противном случае изделие классифицируется как дефектное. Тогда уровень качества q может быть найден по уравнению

приводят только к смещению центра рассеяния контрольного признака р, а точность технологического процесса а2 остается неизменной. Тогда дисперсию случайной величины можно рас­ сматривать как постоянный параметр, который всегда может быть заранее определен путем проведения специального экс­ перимента.

Из уравнения (127) видно, что при сформулированных ус­ ловиях вариации качества полностью определяются вариация­ ми генерального математического ожидания р.

Таким образом, требование к качеству партий q^q o экви­

172

Поскольку р « Л", то для сформулированного выше правила классификации изделий на годные и дефектные условие при­ емки партии естественно записать в следующем виде:

График оперативной характеристики изображен на рис. 45.

Цд)

1,0

1-ос

Р

Рис. 45. График оперативной характе­ ристики плана контроля по количест­ венному признаку

Если требования к плану контроля сформулированы в виде Яа, qm, а, р, то имеют место следующие уравнения:

175

Эта система уравнений является основой для выбора пара­ метров плана контроля п и с.

После суммирования уравнений (135) и (136) и простых преобразований имеем уравнение для определения объема вы­ борки

полученная путем несложных алгебраических преобразований уравнений (128), (129), (133) и (134), представленных в квантильной форме.

Уравнение (138) справедливо также для случая, когда тех­ нический допуск установлен так, что изделие считается год­ ным, если Х ^ Т , и дефектным, если X < Т . В уравнении (137)

176

в этом случае знаменатель должен быть записан следующим образом: ~ .

G

Для оценки эффективности планов контроля по количест­ венному признаку и сравнения с аналогичными планами по альтернативному признаку рассмотрим пример.

Таким образом, в настоящем примере контроль по количе­ ственному признаку дает сокращение объема выборки в 15 раз.

Контроль по одному количественному признаку при одно­ стороннем допуске и неизвестной дисперсии. Теперь рассмот­ рим случай, когда разладки технологического процесса приво­ дят не только к смещению центра рассеяния ц, но и к измене­ нию точности процесса а2. В этом случае дисперсию контроль­ ного признака а2 следует считать неизвестной, и в процессе испытаний контролировать оба параметра. Пусть так же, как и в предыдущем случае, для параметра X установлен допуск: при Х ^ .Т изделие считается годным, в противном случае — дефектным.

Для вычисления вероятности q справедливо уравнение (127), из которого следует, что качество продукции опреде­ ляется не только математическим ожиданием генеральной со­ вокупности ц, но и генеральной дисперсией а2. Из уравнения (127) можно записать уравнение, устанавливающее соотноше­ ние между р. и а, которое обеспечивает выпуск продукции с уровнем качества q:

(139)

Зависимость (139) называют уравнением изодефектной линии. Для сформулированных правил классификации изделий вид изодефектной линии представлен на рис. 46, причем с увеличе­ нием q наклон прямой увеличивается.

Для заданных q0, qm можно записать следующие два уравнения изодефектных линий:

(140)

I141)

Очевидно, что область А со­ ответствует партиям, уровень качества которых q<q<>\ об­ ласть В — партиям, у которых q>qm- По условию контроля партии, принадлежащие обла­ сти А, должны по возможности приниматься, области В — бра­ коваться. Если учесть, что вы­ борочные характеристики при­

ближенно равны генеральным характеристикам, то естествен­ ным условием приемки можно считать попадание случайной

точки х, s в область ниже некоторой нормативной прямой, проходящей между изодефектными линиями, соответствующи­ ми партиями с уровнем качества qо и qm.

Таким образом, математическое условие сформулирован­ ного правила приемки партии

178

Заметим, что

Рассмотрим выборочную функцию

такую, что z = T, если случайная точка (х, s), определенная по результатам измерений, лежит на нормативной прямой, z > Т,

если точка (х, s) лежит выше, и z < Т, если точка лежит ниже нормативной прямой Н.

Для вычисления оперативной характеристики плана конт­ роля необходимо знать закон распределения случайной вели­ чины Z. В работе [11] показано, что при объеме выборки п > 5 величина Z имеет приближенно нормальное распределение с- математическим ожиданием

Учитывая сказанное, вероятность (144) может быть вычис­ лена, как

где q связано с р и а уравнением (139).

Путем несложных преобразований из уравнений (146),. (147), (148) получим

2л — 1,4

Характерная особенность данного уравнения заключается в том, что в него не входят значения генеральных характери­ стик |Л и ст.

Таким образом, если требования к плану контроля сформу­ лированы в виде q0, Qm, а, Р, то можно составить систему урав­ нений для определения объема выборки и приемочного числа:

180