книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

470

ГЛ.

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

П у с т ь

JX Фа (0 dt)

Ф а (*) =

запиш ем

а

оо

П х )

=

Ф ,

(X) +

2

(Ф * + І (х) -

Ф *

(*)).

А = 1

Т а к

к а к

фь+ i —

фй ^

0,

то

Ф й+ і

—

Ф й

есть

возрастающая

ф ункция от X.

З на ч и т,

по теореме

4

(Ф у б и н и ),

F

диф ф еренцируем а

почти

всю д у ,

и

D F (X)

==

£>Ф, (х) +

5

( 0 Ф *+1 (* )

-

0 Ф *

(д))

=

ОО

== Фі М

+

2

(Фа+ і W

—

Фа (*))

==

Н т

ф „(*) =

f

(х).

k — \

П* В‘

П - > оо

П. В.

Е сли теперь / есть предел

уб ы в аю щ е й последовательности

ф „

ф ун кц и й ,

которы е

сам и

я вл я ю тся

пределам и

во зра стаю щ и х

по ­

следовательностей

ступ е н ч а ты х

ф ун кц и й ,

то

д остаточно

зам е­

н ить в этом

р ассуж д е н и и

щ

на

И т а к , п ол учи л и

теорем у.

Т е о р е м а . Е с л и

f

—

инт егрируем ая

ф у н к ц и я

н а

[а,

Ь],

то

ф у н к ц и я , о п р е д е л е н н а я

как

X

F { x ) = \ f ( t ) d t ,

а

имеет

почти в с ю д у

в

качестве

п р о и з в о д н о й

ф у н к ц и ю

f.

С —

Т о ж е

самое будет верно д ля

лю б о й ф ункц ии

F

-f

С , где

л ю б а я постоя нн ая ф ун кц и я , и в частности , для

X

I

f {t )

dt,

а

гд е а е [ а ,

Ь\.

З а м е ч а н и е .

П о с к о л ь к у D F {х) == f ( x ) , то

Ilm

+

_

f w

) „

lim ^

I

f ( , ) d t _

j

W

j

==

0.

Е сл и

записать

.

x+h

h

J

f ( t ) d t =

+

X

0

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

471

то ясно,

ч то если

/

то

h

lim у

Г ( / ( * +

0 — f ( x ) ) d t ~ 0.

ft-»О п

і

п- а-

Н о

совсем

не

очевидно ,

ч то

в

этом

равенстве м о ж н о

за ­

м енить

f ( x

+

t) —

f { x )

на

\ f { x

+

t) —

f { x ) \ .

М ы

д о к а ж е м ,

что

е с л и

/ s

i ? ,

то

л

l i m - j \ \ f { x + t) — f { x ) \ d t == ° .

ft-»0 n

i

n.B.

(Э то

свойство

в а ж н о при л о кал ьн ом иссл е д ован и и р яд ов

Ф урье .)

П у с ть

g (jc) = 1

f ( x )

—

а 1, где

а —

неко то р ое

число . П о

п ре ­

д ы д ущ ей

теореме,

h

lim

h

g { x +

t ) d t

=

g (x)',

h^O, h->0

,

о

зн ачи т,

h

lim

+

0

—

I f { x ) — a\.

ftgbO, ft-»0 fl

о

П у с ть

E a —

м н о ж е ство

меры

н ул ь ,

д л я

ко то р о го это

равен ­

ство

не

в ы п о л н я е тся ,

и

п усть

а —

р а ц и о н а л ь н о .

Т о гд а

а

то ж е

им еет

м еру

н ул ь .

П у с ть

е > 0 ,

х ф.

Е

и ß — такое

р а ц и о ­

нальное

число , что

| f ( x ) - ß | < e / 2.

И меем

ft

A

f

t

о

о

< $ \ f ( x + t ) - $ \ d t + e \ h \ / 2 .

о

О тсю д а

д л я д о статочн о

м а л ы х

I h

|

получаем

h

§

5.

Абсолютно непрерывные функции и каноническое

разложение монотонной функции

Э то т п ар агр аф

с л у ж и т и л л ю стр а ц и е й раздела

6 (теорем а

Л е ­

бега —

Н и к о д и м а ).

М ер а

V ^

0

назы вается а б солю тно непреры вной

о тн оси те л ь ­

но д р у го й меры

р ^

О,

если

в с я к о е м нож ество

p -нулевой

меры

является

м нож еством

ѵ-нулевой

меры.

М ы

попы таем ся

вы яснить ,

ка к д о л ж н о

бы ть

сф орм улировано

это определение,

ко гд а рассм атривается мера

на числовой

п р я ­

мой и мера Л еб ега .

П у с ть

имеется интервал [о,

Ь].

О б означим

через

X

м еру

Л е ­

бега, а через р —

н е ко то р ую

м еру

^

0.

М ера

р определяется

посредством

возрастаю щ ей ф ун кц и и .

Е сли

р

а б солю тно

непре ­

ры вна

относи тельно X (в смы сле определения

из § 1 раздела 6),

то во зра стаю щ а я

ф ун кц и я ,

определяю щ ая

р,

не

м о ж е т

бы ть

п роизвольной . Н а п р и м е р , м нож ество ,

сводящ ееся

к одной

точке,

имеет ^ -н у л е в у ю

меру. Е сли

его мера будет p -нулевой , то

воз­

р а ста ю щ а я ф ун кц и я д о л ж н а

бы ть непреры вна.

П у с ть

р —

мера

на

[а, Ь],

аб со л ю тно

непреры вная

о тн о си ­

тельно

X.

П о

теореме

Л еб ега —

Н и ко д и м а ,

сущ е ствуе т

та ка я

и н ­

тегр и р уем ая

на [а, Ь]

относи тельно

меры X

ф ункция

f,

что если ф

есть

р -и н те гр и р уе м а я

ф ун кц и я ,

то

ъ

Р (ф) =

/

ф V) /

(/) dt.

а

Е сл и

f

и н те гр и руе м а ,

то

д ля

л ю б о го

за д ан но го

е >

0 найдется

та ка я и н те гр и руе м а я

ф ун кц и я f Q, что | / 0| ^

М

и

ь

J I f — fo Idl < e/2.

a

П у с ть

( /ft) —

счетное

семейство

п оп ар но непересекаю щ ихся

и н ­

тервалов

(п л и им ею щ их

не

более

одной

общ ей

то ч ки )

с

к о н ­

цам и о а,

Рд, и п усть фа —

их ха ра кте р и сти че ски е ф ункции .

Имеем

ь

Ра

Ра

е (/а) =

И(Фа) =

J

Фа( t ) f ( t ) d t = J

(/(/) — /0 (0) dt +

J f Q(t)dt .

a

a k

<ik

Д алее, имеем

Ра

Ра

5 > ( / а) = 2

J

( / ( 0 - M * ) ) Ä + \ ] J Ш Ш .

к

k

к dfe

8.

МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

473

Т а к

ка к

I k попарно

не пересекаю тся,

то

Р*

Ь

2

J m - f o ( t ) ) d t

к

ak

а

О тсю д а

Т а ки м

образом ,

л ю б о м у

зад анном у

е >

0

м о ж н о п оставить

в соответствие такое число г) == е/2М ,

что

д ля л ю б о й

систем ы

попарно

непересекаю щ ихся

интервалов

с

сум м ой

мер

Л е б е ­

га < ; г]

буд ет вы полняться

' S

i H

i h

)

<

В.

k

Т а к

к а к

р ( І к) —

F

(ßA) —

F

(а *),

где

F

U ) =

JX /

(t) d t ,

а

то

пред полож ение

о

том ,

что

р

а б солю тно

непреры вна

о тн о си ­

тельно

Я,

влечет следую щ ее

свойство

( А С )

для

F : л ю б о м у

е > 0

мож но поставить в соответствие

такое

ч и сл о тр чтобы

д л я

л ю ­

б о й

системы п о п а р н о

н е п е р е с е к а ю щ и х с я

инт ервалов

] a k,

ßh [ из

[а,

Ь], д л я кот орых

2

{ßk —

Uk)

<

tj,

и м е л о место

н еравенст во

(ßk) —

F ( a ft))

<

е.

Ф ун кц и я

F

возрастает,

п о ско л ь ку

она

определяет

п о л о ж и ­

тел ьн ую

меру р,

что влечет f ^

0.

П .

8 .

Е сли

р —

не

п о л о ж и те л ьн а я

мера,

то

она м о ж е т

бы ть пре д ­

ставлена

в виде

разности

д в ух

п о л о ж и те л ьн ы х

мер,

р і

и

р 2; з н а ­

чит, она определяется посредством

ф ункц ии F

—

разности д в ух

во зра стаю щ и х ф ункций

F {

и F 2.

Е сли

р !

и

р 2 аб со л ю тно

непре ­

ры вны относительно Я, то д ля

/д

и

F 2

свойство

( А С )

вы п о л ­

няется.

С тал о бы ть,

оно

верно

и для F\

и F 2, а

та к

к а к

I F

(ß) -

F

(а)

I <

Fi

(ß)

-

F , (а) +

F 2 (ß) -

F 2 (а),

то мы

п ри ш л и к том у,

чтобы

п ри н я ть

следую щ ее

определение.

О пределение

( А С ) .

Ч и с л о в а я

ф у н к ц и я

F , о п р е д е л е н н а я

на

компактном

интервале

[а,

Ь],

называется абсол ю т н о н е п р е р ы в ­

н о й , е сл и

д л я л ю б о г о

г >

0 найдет ся

такое

ч исл о

г ] ( е ) >

0,

что

д л я л ю б о г о

семейства

н е п е р е с е к а ю щ и х с я

открытых

инт ервалов

] а*, ßh [ из [а, Ь], у д о в л е т в о р я ю щ и х у с л о в и ю

2

(ßft —

а А)

<

г),

476

ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

интервалов

будет

( F

i[ik) —

F { a k) ) < . e .

С ледовательно,

для

л ю б о го

в >

0 м о ж н о

за кл ю ч и ть

м нож ество

е (A-нулевой

м еры )

в и нтервалы , сум м а ц-м ер ко то р ы х меньш е е.

М ера

р,

определенная

посредством

F,

следовательно,

абсо ­

л ю тн о непреры вна

относи тельно

X , и,

по

теореме

Л еб ега —

Н и ­

код им а ,

м о ж н о

записать

д ля интервала

[а,

х [,

ха р а кте р и сти че ­

ская ф ун кц и я ко то ро го

обозначается ф(й х [ :

b

X

Р (ф[а, х[) =

Е ( [а . 4 )

=

F

М — F («) =

{

Ф[а, *[f (0

dt

=

j

f (0

d t -

а

а

Т а ки м

образом ,

м о ж н о сф орм улировать

сл е д ую щ и й

ре­

зул ь та т.

Т е о р е м а

1. Д л я

того чтобы ч и сл о в а я

ф у н к ц и я

F у д о в л е ­

творяла

у с л о в и ю

{ А С ) ,

н е о б х о д и м о

и

достаточно,

чтобы

о н а

и м ела в и д

F ( x ) =

dt,

а

гд е f инт егрируем а относительно м ер ы Л е б е г а .

Ф у н к ц и я F

определ яет

абсолю т но

н е п р е р ы в н у ю

м ер у

относи­

тельно м еры Л е б е г а .

З а м е ч а н и е .

Е сли

вместо

[а, х [

рассм отреть

[o ',

х

[,

то мы

получим д ля F

вы р аж ен и е

Теперь

мы

ука ж е м

каноническое

р азлож ение

м онотонной

ф ункц ии

или

ф ункц ии

огра ни чен н ой ва ри а ц и и

(ср.

снова раз­

дел 6, разл о ж е ни е

м еры ).

М о н о то н н а я

ф ун кц и я

F

на

[а,

Ь] определяет о гра ни ч ен н ую

м еру V. М ер а

ѵ,

вообщ е

говоря ,

не

будет аб со л ю тно

непреры вна

относи тельно

меры

Л еб ега

X , но

м о ж н о

найти

разбиение м н ож е ­

ства

А =

[а, Ь]

на

два

м нож ества

Л 0 и

А\

и

такие две

меры ѵо

и ѵ і,

чтобы V =

ѵо + ѵ ь

ѵ і (/40) =

ѵ о (Л і) =

0

и

Х ( Л і ) = 0, п р и ­

чем ѵо а б солю тно непреры вна относи тельно X

(ср. раздел 6, § 2 ).

П ереф орм улируем

этот

резул ьтат

в терм инах

м онотонны х

ф ун кц и й ,

п роизвод ны х и ф ункц ий скачков .

П у с ть

сначала

F

есть

аб со л ю тно

непреры вная

ф ункция ,

им ею щ ая почти всю ду н ул евую про и звод ную .

Т а к ка к

X