книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

453

В

частности ,

задание

ф ун кц и и

ска чко в

равн оси л ьн о за д ан и ю ,

ска ж е м ,

на интервале [0, 1],

меры и п

к а ж д о й то ч ки

і п

н е ко то ­

рого счетного сем ейства; п ри этом

мера

к а ж д о й

то ч ки

t Ф

t n

буд ет

равна

н ул ю ,

а мера инте р вал а

[а, b [

буд ет

равна

2

и п.

a < tn <b

Е сли

мера

определена, та ки м

образом ,

посредством

во зра с ­

таю щ е й ф ун кци и ,

или, в более общ ем

случае , посредством

ф ун к ­

ции о гра ни ч ен н ой

ва р и а ц и и ,

то

общ ие

резул ьтаты

(в

частн ости ,

раздел

4, §

3)

опред еляю т

и н те гр ал

непреры вной

ф ун кц и и

х

с ко м п а ктн ы м

носителем [а, Ь] относи тельно

меры

р, причем это т

и н те гр ал ,

в

со ответствии

с о б щ е пр и н я ты м и

обозначениям и ,

за ­

писы вается в виде pi (лг) =

J X djj,.

П р и б л и ж е н и е

(равном ерное )

ф ун кц и и х

ступе нч а ты м и

ф у н к ­

ц иям и влечет,

что

J

x d \ i

есть

«предел» сум м

2 * f e ) ( p (£<+і) — р (Ы)

і

(где

|о =

а ^

| і

^

^

=

Ь)

д л я

лю б о й п ослед овательно ­

сти под разб иений и нтервала

[а, Ь] посредством точек

|*

п ри

у с ­

ловии ,

что н аи б ол ьш а я из разностей

| г-+і —

h стрем ится

к

н ул ю .

Э то

есть

понятие

и н те гр а л а

Р и м а н а —

С тилтьеса

от

неп ре ры в ­

ной

ф ун кц и и .

И н те гр а л

J f

d\a,

ко то р ы й

здесь определен

для

ф ун кц и й

/

из

п ро стр а нства

9£ относи тельно меры

р,

н а з ы ­

вается

т а к ж е ин те гр ал о м

Л е б е га —

С тилтьеса .

определен

и н те гр а л Р и м ан а —

С тилтьеса непреры вной

ф ун кц и и

на ко м п а ктн о м

интервале [а, Ь]

(на пр и м е р , та к ,

к а к это

сделано

в ы ш е ), то

X —*

j

X d\i есть

л и н ей н ая ф орма

на

векторном п р о ­

странстве

н епреры вны х

на [а, Ь] чи сл овы х

ф ун кц и й .

Е сл и

че­

рез

]|х|| обозначена норм а равном ерной схо д и м о сти на Я2, то

j 2

X (£() (р (|<+1)

р (£г))| <11 * II2 1р (it+i) — р (I*) I ^

следовательно,

<11*11 У(р, а ,

Ь);

I р ( х ) | = | j x d p

< | | х | | И ( р , а , Ь),

чем

д о каза но ,

что

х - >

454

ГЛ.

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Т а ки м

образом ,

л ю б а я

ф ун кц и я

огра ни чен н ой

ва ри а ц и и

ц на

[а, Ь] определяет меру

Р адона .

О б ратное

тож е

верно,

откуд а

следует, что

л ю б а я

м ер а

н а

R

оп ред ел яет ся

п р и п о м о щ и

ф у н к ­

ц и и о г р а н и ч е н н о й

в а р и а ц и и

(на

лю бом

ко м п а ктн о м

и н те р вал е ).

Э то

обратное

утве рж д ен и е

составляет

сод ерж ание

следую щ ей

в а ж н о й теорем ы ,

п р и н а д л е ж а щ е й

Ф. Р иссу.

Т е о р е м а

Р и с е

а.

Н а

пространстве

н е п р е р ы в н ы х

ч и с ­

л о в ы х ф у н к ц и й н а [0,

1], н а д е л е н н о м н о р м о й р а в н о м е р н о й с х о ­

димости,

в с я к а я н е п р е р ы в н а я

л и н е й н а я

ф о р м а

записы вает ся

в в и д е

Х - +

J

x d p ,

г д е р — ф у н к ц и я о г р а н и ч е н н о й в а р и а ц и и .

П у с т ь

Е

—

п ро стр а нство

ступ е н ч а ты х

ф ун кц и й ,

& &

— п р о ­

стра нств о

я р усн ы х

ф ункций

(р а вно м е рн ы х

пределов

ступ е н ч а ­

ты х

ф у н к ц и й ).

П р о стр а н ств о 9 1 есть под п ро стра нство

п р о с тр а н ­

ства

ё , сн а б ж е н н о го норм ой

| | х | | =

sup

\ x { t ) \ . Е сли

/ —

непре-

Т е= ГО,11

р ы в на я л и нейная

ф орма на 9*,

то она по теореме Х ана —

Б а на ха

м о ж е т бы ть

п ро д ол ж ен а

до

непреры вной

л инейной

ф ормы f

на ё .

П у с т ь

и

е ^ и

п усть

\ п есть последовательность

ступе нч а ты х

ф ун кц и й ,

равном ерно схо д ящ а яся к х; тогд а

f

(х)

=

lim f

(I«).

П ~ > ° о

К а ж д о й

ф ун кци и

соответствует

подразбиение

интервала

[О, 1] точка м и

t„,

и

мы

м ож ем

рассм отреть ступенчаты е ф у н к ­

ц ии In , определенны е

ка к

%п

2

х {U) Ф [/(, t{+ ,[•

П о л о ж и м

Ф/ =

Ф[о, <[• П ол уч а ем

Ія = 2 * ( М ( Ф/, +і) ~ Ф*г);

затем

f (In) = 2 X (U ) (/

(ф /і+1) -

f (ф /.)),

lim

f

(І„ ) =

f (x).

П->00

Р ассм отрим ф ун кц и ю

ц,

определенную

к а к ц ( 0 =

?(ф«)> гДе ?

есть

непреры вная ,

линейная

ф орма

на

ё ;

записы вая , что

(ср.

гл .

I X ) /

есть

непреры вная

л и нейная ф орм а, получаем

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

455

2 l pft+i) —

n f t ) К

II f

II;

и ны м и словам и ,

p имеет о гр а н и ч е н н ую

ва р и а ц и ю .

И з

построения

р непосредственно следует, что

J x d p

=

f { x ) =

f

{х).

3.

М ер а Л еб ега .

П р о стр а н ств о

R n

явл я ется

л о ка л ь н о

к о м ­

п а ктн ы м

м етрическим

п ро стр а нство м .

С тал о бы ть,

определение

п ро стр а нства

9

м о ж е т бы ть

произведено

исход я

из

неп ре ры в ­

н ы х ф ункц ий

с

ко м п а ктн ы м

носителем

(д ля

к о то р ы х

и н те гр а л

п ре д по л агае тся

у ж е определенны м ) или

исходя

из

меры

о тн о ­

сительно

ко м п а к тн ы х

о тк р ы ты х

м нож еств

(см. раздел 4,

§

3 ).

Э то общ ее

зам ечание п рим еним о к

том у , что

назы вается м е ­

Н а

R

мера Л еб ега —

это

п о л о ж и те л ь н а я

мера, определенная

на

клане ,

пор ож д ен но м

инте р вал а м и

[а,

b [,

где

а ^

Ь,

и

р ([а , b [ ) = b — а.

М о ж н о

т а к ж е ска зать ,

что

она определяется

возра стаю щ е й

ф ункцией

перем енного

t,

задаваем ой равенством

i x ( t ) —

t. И н ­

те гр а л

от / е

9 ?

относи тельно меры Л е б е га

записы вается

в виде

J f d t

ил и J f ( t ) d t .

Н а

R n

мера

Л е б е га

будет мерой —

произведением .

Э та мера

определяет и н те гр а л

от с туп е н ч а ты х

ф ун кц и й

на

R .

А та к

к а к

л ю б а я непреры вная

ф ун кц и я

с

ко м п а ктн ы м

носи те ­

лем

есть

р авном ерны й

предел

с туп е н ч а ты х

ф ун кц и й ,

то

тем

сам ы м определен и н те гр ал

от

л ю б о й

непреры вной

ф ун кц и и

с

ко м п а ктн ы м

носителем ,

и

стало

бы ть,

м о ж н о

постро и ть

п р о ­

стра нство

3 ?

и н те гр и р уе м ы х ф ун кц и й

на

R .

(Я сно ,

н а ско л ько

бесполезно

п ы та ться здесь

р азл и ч ать

две

то ч ки

зрения ,

ве д у ­

щ ие к определению п ро стр а нства

9 . )

М ер а

Л е б е га

(на R n )

обладает одним

в а ж н ы м

свойством :

она

инва риа нт на

относительно

п е р е н о с а .

Более

точно , в

случае

меры

Л е б е га

имеет место

следую щ ее

очевидное

пред л ож ение .

J f(t) d t =

J f ( t — а) dt.

З а м е ч а н и е .

О тноси те л ьно

меры Л е б е га точка

имеет меру

нуль.

Е сли

е —

м нож ество нулевой

меры

Л еб ега ,

л еж ащ ее на

интервале

[а, 6], то

д ля

л ю б о го

е >

О оно

м ож ет

бы ть

п окр ы то

конечны м

ил и

счетны м

семейством

о тк р ы ты х

интервалов Д

сум м а мер

ко то р ы х

будет меньш е е.

Э ти

и н тервал ы

м о гут пред ­

п ол а гаться

попарно непересекаю щ им ися ,

ибо

(ср.

раздел 4, § 3, в

конц е ) м нож ество

е

м о ж е т бы ть

закл ю чен о

в о ткры тое

м н о ж е ­

ство

меры

м еньш ей,

чем е; но в

R о ткры тое

(непустое )

м н о ж е ­

ство

является

объединением конечного

или

счетного семейства

н е п усты х попарно

непересекаю щ ихся о тк р ы ты х

интервалов.

§ 3.

Производные монотонных функций

Ц е л ь ю

этого п ар агр аф а

является

доказа тел ьство

того

ф акта,

что л ю б а я

м онотонная

ф ун кц и я

на

R имеет

(ко н е ч н ую )

п р о и з ­

в о д н ую

почти всю д у

(относител ьно

меры

Л е б е га ).

В ся ка я м онотонная

ф ункция

представим а

в виде

сум м ы

не­

преры вной

м онотонной

ф ун кц и и

и

ф ун кц и и ска чко в .

Т а ки м

о б ­

разом , пред лож ение

д оказы вается

д ля

непреры вной

ф ункции ,

а затем

д л я

ф ун кци и

скачков .

Д ока зате л ьство д л я непреры вны х

ф ункц ий п р и н а д л е ж и т Р иссу.

М е р а

н а

R есть м ер а

Л е б е г а .

П р е д п о л о ж и м

известны м

эл ем ентарны й

р езультат,

в

соот­

ветствии с ко то ры м , д ля непреры вной ф ун кц и и f

JX f i t ) dt

а

имеет в

качестве

производ ной

f { x ) ,

а

д ля

ступе нча той

ф ун к ­

ции I

X

J f i t ) d t

а

имеет в

качестве

производ ной

f ( x )

в к а ж д о й

точке ,

где /

непре ­

ры вна .

1. Непрерывные монотонные функции.

Л е м м а .

П уст ь g

—

н е п р е р ы в н а я

ч и сл о в а я ф у н к ц и я

н а

к ом ­

пактном

инт ервале

I =

[а,

Ь].

И

пусть

Е —

множество

таких

х е ] а,

Ь [,

что

найдет ся

£

>

х ,

д л я

которого

g ( l ) > - g ( x ) .