книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА — ФУВИНИ

Теорема Лебега — Фубини будет излагаться в предположе­ нии, что меры определены на кланах подмножеств заданного множества.

§ 1. Произведение двух кланов Рассмотрим два множества А и В\ их элементы будут обо­

Прежде всего мы в этом параграфе приведем несколько

J . X T . c X s X ^ c ^ X i V

4) Если Х Х У = ( Х хХ У і)ІПХ2Х У 2) и (ХхXT,) П (Х2Х У2) = 0 ,

то либо Х = Хх= Х2, Y = Yxи У2, У, П У2= 0 > Аи6° У = У\ = У2>

(X, X Уі) Л № X У2) = 0

[ТО

X X т == (Xj X Уі) и (х2X Y2).

X X Г = (X, X Уі) и № X y 2) Ф X, X Y, CZ X X у,

Хі Х У г ^ Х Х У ;

изначит, в силу 2) имеем Х[С:Х, Х2с Х ; стало быть, Xt U Х2с:Х.

Точно так же Tj (J У2 с У. Но, с другой стороны,

верно равенство

X X У = № X у і) и № X Уг)-

§ 3. Теорема Лебега — Фубини

Пусть f — числовая функция на А X В, интегрируемая от­ носительно меры со = р X ѵ. Речь идет о том, чтобы показать, что

Напомним; что любая функция, принадлежащая 3?, предста­ вима в виде разности двух функций, являющихся пределами возрастающих последовательностей Коши элементов из Е, кото­ рое здесь является множеством ступенчатых функций (раздел 2,

§ 2, п. 1, теорема). Достаточно, стало быть, доказать результат

впредположении, что / определена при помощи последователь­ ности Коши возрастающих ступенчатых функций.

Пусть ер — ступенчатая функция на Л X К Для такой функ­ ции имеем

мейство конечных объединений множеств вида X ХУ-

444 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если в записи ja(ф) или

% ( у ) = J Фп ( х , y ) d i i ( x ) .

А

Функции ф„ являются ступенчатыми функциями на В и обра­ зуют возрастающую последовательность, ибо р есть положи­ тельная мера; кроме того, так как ѵ(фп) — (о(фп), то если (фп) — возрастающая последовательность Коши, последователь­ ность со(ф„), а значит, и ѵ(ф„), ограничена. Стало быть, ф„(г/) сходится для почти всех у (но мере ѵ) к ѵ-интегрируемой функ­ ции. Следовательно,

зуют возрастающую последовательность, все р-интегралы кото­ рой равны фп(у), то они сходятся всюду, кроме как на множе­ стве еи p-нулевой меры, к р-интегрируемой функции, и

на котором фп не сходится. Следовательно, если фп(х, у0) не сходится в уо ф еѵ, то это означает, что х е eß и что ф„(х, у0)-*

Меняя ролями х и у, получаем

СОif) — J ( j fix, у) dv (г/)) dp (а).

(по мере ц), и

J J f ix, y ) d p d v = j dp j f (a, y ) d v = j dv j f (a, y) dp.

вают сечением множества ешв постоянной точке у. это есть мно­ жество тех а, для которых (а, у) <= еѣ, где у — фиксировано.

Функция а —►ф(а, у) ц-интегрируема для почти всех у, и зна­

чит, мы можем записать, что

J еаda — 0— J dv J ф(а, у)dp,

где функция J ф (а , у) dp определена всюду, кроме значений у, принадлежащих множеству еѵ ѵ-нулевой меры. Если у ф. еѵ, то

всилу неравенства ф ^ 0 функция

У-> J Ф (х, у) dp

будет ^ 0; а так как ѵ-интеграл равен нулю, то функция ѵ-по чти всюду обращается в нуль.

(соответственно у относительно меры ѵ) сечения в постоянной

Числовая прямая заслуживает специального изучения по причине многочисленных приложений теории интеграла к слу­ чаю действительных функций одного действительного перемен­ ного.

Если пытаться найти все возможные меры на числовой пря­ мой (ограничиваясь только положительными мерами), стараясь при этом сохранить основные элементы, в частности, свойство интервалов быть измеримыми, то, как легко видеть, такие меры определяются монотонными функциями (или функциями огра­ ниченной вариации, если мера не обязательно положительна).

Для монотонной функции рі, или, что будет сводиться к тому же, для некоторой меры рі, будет определен интеграл действи­

дача связана с детальным изучением монотонных функций: с их разложением и дифференциальными свойствами. Этому и будет посвящен первый параграф.

Поскольку числовая прямая есть счетное объединение интер­ валов, то мы будем предполагать в дальнейшем, что множе­ ство А действительного переменного / есть компактный интер­ вал (например, интервал [0, 1]).

Ѵ { а , Ь ) = Ѵ { а , с ) + Ѵ { с , Ь ) * ) .