Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

17.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

430	ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
найдется	покрытие множества е интервалами /&, сумма ѵ-мер

в которых удовлетворяет условиям

S v ( 4 K M H | x ( 4 K e . M .

2. Теорема Лебега — Никодима. Пусть р и ѵ — положитель ные ограниченные меры, определенные на одном и том же пространстве Рисса числовых функций-, и пусть ^ ( р ) , і?(ѵ) — соответствующие пространства 3?. Если мера ѵ абсолютно не прерывна относительно меры р, то существует, и притом един

ственная,	такая функция			что	для	любой функции
/е=2?(ѵ)	//o s ^ ( p )	и		ѵ(/) = р Ш .
Пусть	А — пространство переменного				и	пусть со =	р + ѵ.
В силу ограниченности мер имеем S '1(а) zd S '2(со).							мно
Пусть	/ е і ? 2(со)	и	фА — характеристическая функция
жества А.	Функция	/ =	/фд принадлежит ^'(со). Если, с дру
гой стороны, функция f			принадлежит S ’1(а), т. е. интегрируема
относительно меры		р +	ѵ,	то она такова	и относительно		р и ѵ

в отдельности, ибо / определяется при помощи последователь ности (хп) числовых функций, являющейся последовательно стью Коши относительно полунормы пространства S ’1(со), т. е.

		^ ( I %т		I )	Р ( I %пг		I ) “Ь ^ ( I %tn			%п I)
стремится к нулю, а так					как р и ѵ — положительные меры, то
отсюда		следует,	что ц ( \ х т — х п \)				и	ѵ ( \ х т — хп\) тоже			стре
мятся		к нулю.	Следовательно,			можно		рассматривать v(f), где
f e ü ? 2(со), и записывать					в силу	неравенства			Гёльдера, что
\| ѵ ( / ) \| < ѵ ( \| / \| ) = с о ( \| / \| ) - р ( Ш ) < с о ( \| / \| ) =
						=	® ( I	/ I • фл Х	II /11^ (со) II фл 11^ (Ш).
	Это неравенство показывает, что ѵ есть непрерывная ли
нейная		форма на 3?2{со). Стало					быть, существует (раздел 5,
§	3) такая функция g e j ? 2(co), .что							для любой		функции f <=
е	i? 2(co) имеем				у (/) — ® (!§)■

	Функция g положительна (кроме как, быть может, на мно
жестве со-нулевой меры);					в самом деле, поскольку ѵ(/) =						®(fe)
для любого f е i? 2(co) (и в частности, если взять / = фА),											то по
лучаем ѵ(фл) =			co(g) ^ 0 ;		если В =		{t: g(i) <		0}, то 0<ѵ(фВ) —
=	co(grpB) sg 0,		а следовательно, ѵ(фв) = со(§фВ) = 0; так как
£Фл <		0 и co(g4pB) =		0, то g-фв == 0 почти всюду относительно со
(см. раздел 3, §			1),	и g > 0 .

,П . В .

Пусть теперь * e i ? 2(co); так как

'	V (х) = со (xg) — р (xg) + V (xg),

то ß (xg) = v ( x ( l — g)).

6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

431


g ^	Заменяя функцию g		на (1 — cpB)g, мы		можем считать, что
	0 для всех t <= А.		В самом деле,	пусть X — подмноже
	Покажем, что g < l .
ство А, на котором		П . В .		X	ѵ-измеримо и р-из-
		g ( 0 > l ; множество
меримо (раздел 4,		§ 1,	п. 2: так как мера ограничена и
g e	i 2(со), то g ^ L 1(со);		поэтому g ^ L l(n)		и g е L1(ѵ)). Кроме

того, (рх <= Ѵ°(а>), поэтому ф^ е і 2(и)> откуда следует равенство

ц (Фх£) = ѵ (Фх О — £))•

Но (pxg ^ 0, поэтому р(фxg)^0> а Фа: О — £) ^ О, поэтому ѵ(ф*(1 — g ) X 0 ; отсюда следует, что р(флг£) =ѵ(фх(1 — g )) = = 0. Но, как нам известно, из равенства р (фа£ ) = 0 для неотри

цательной	функции	фxg		следует,		что	множество	X ==
= {t\ ф ^ ( 0 я ( 0 > ° }		имеет	р-меру нуль; так				как ѵ абсолютно
непрерывна	относительно		р,	то	X имеет также ѵ-меру нуль,
т. е. и «»-меру нуль. Заменяя g					на (1— Фx)g, мы можем			счи
тать, что g ■< 1 для всех t е				А.	любой	функции x ^ L 2(a) и
Так как g<=L°°(со), то				для
любого натурального k имеем xghе= L2(tt>); поатому xgh интег

рируема относительно со, р, ѵ.	Подставим xg вместо х в ра
венство v ( x ) = n(xg) + v(xg); тогда
V (xg) = со (xg2) =	р (xg2) + V(xg2),
откуда последовательно выводим

Относительно меры ѵ имеем g	1, и следовательно, если
	п. в.

X ^ 0, то xgn убывает и стремится почти всюду к нулю, а стало быть, v(xgn) стремится к нулю.

Итак, для любого х е і ? 2(ѵ) и для х ^ 0 можно записать

Последовательность функций

возрастает,

432 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ограничена, и значит, по теореме Беппо Леви, предельная
функция				оо
				оо
				1		(ц)
				1
(принадлежит 3?1(ц))				при любом х ^ 0 и					Положим
					00
				f o = 2 g ‘
и возьмем X = фа. Тогда					1
и возьмем X = фа. Тогда						(ц).
Итак,	теорема			Фл/о = /о е		(ц).				р(//0)
в качестве /			доказана, если взять в формуле ѵ(/) =							р(//0)
в качестве /		положительную			функцию		х,	принадлежащую
і? 2(ѵ).	Для	неположительной			функции		х,	принадлежащей
і? 2(ѵ), достаточно представить х в виде х = х+—лг.
Остается показать, что теорема верна для произвольной
функции						которое	бралось		как	исход
Пусть Е — множество функций,						которое	бралось		как	исход
ное для	построения различных				пространств 2 ’ѵ{\і)				или	і?т(ѵ)

(в двух основных случаях Е является пространством ступенча тых функций или непрерывных функций с компактным носи телем). Обозначим буквой х (с индексом или без него) эле мент из Е. И пусть функция / e L ‘(v) определена посредством последовательности Коши хп. Так как теорема верна для лю бого элемента из Е и так как

V {\хп — хт I) =	р (] xnfo — xmf01),
то последовательность (x„f0)	есть последовательность	Коши
в і?1(ц). Значит, существует	последовательность xnJ 0,	сходя-

дящаяся ц-почти всюду; но так как ѵ абсолютно непрерывна относительно ц, то последовательность xnJ 0 сходится ѵ-почти

всюду, и то же самое имеет место для последовательности хПк. Последовательность хПк, а стало быть, и последовательность Коши хп, определяет элемент f е ЗЕХ(ѵ) (к которому хПк схо дится ѵ-почти всюду). Следовательно, имеем

lim Хпк = f (ѵ-п. в.), Ymxnjo — ffo(^'П- в.),

а так как ѵ (х) = р (xf0) нри х <= Е, то

v(xnk) = v(x„Jo),

и значит’, в пределе

ѵ(/)==р(//о).

				6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ						433
Докажем		единственность			fo-	Пусть		f'0— другая функция
из L'(p)	такая,		что v(f) = n(ffl			Для		всех	/ е	(ѵ). Тогда
ц (/(fo — / о ) ) =		0	для	всех f <= Ü (ѵ), где			f0 — fo		с	Z.1(р). В част
ности, р ( f (fo — f'o)) =				0 для всех / е= Е,			откуда			помощью не
сложного	рассуждения следует, что /0							f'0	О-
§ 2 . Р а з л о ж е н и е м е р ы
Теперь	можно,			пользуясь	теоремой			Лебега — Никодима,

дать ответ на вопрос о проблеме соотношения между двумя

мерами р и ѵ.	Мы будем рассуждать в предположении, что р
и V — положительные		ограниченные	меры, определенные отно
сительно одного и того же клана 1			подмножеств одного и того
же множества А.		меру со = р	ѵ. Если некоторое под
Рассмотрим	снова
множество из	А имеет ©-нулевую		меру, то оно имеет также

р- и ѵ-нулевую меру. Значит, р и ѵ абсолютно непрерывны от

носительно со =

р + V.

<£?(©),

то feizf(p)

и / e S ’fv).

С другой стороны, если f =

Согласно

теореме

Лебега — Никодима существует

такая функ

ция

g e

’ ( c o ) ,

что для любой

функции

f e S

’ ( v )

имеем

V if) = со (gf) =

р (gf) + V(gf).

Для множества X, ©-измеримого, а значит, р- и ѵ-измери-

мого, имеем

V (X) =

V (фх) =

р (gcpx) +

V(йф*)-

Покажем, что 0 ^

g <

1 (ѵ-почти

всюду).

Возьмем

в каче

стве X подмножество из А, на котором

g(t)7> 1.

Тогда

gcp^ >

> cpjf, и мы имеем

ѵ(Х) — ц (gcpx) + v (g<Px) ^ V (Фх) + v (Фх) =

ß (X) + V(X):

значит,

р(Я) =

0, и следовательно, p(grpx) = 0.

Далее,

равенства

дают

V(X) = V(gq>x) — ѵ (Фх)

v((g — 1)фх) =

Функция

(g — 1)qjjsr обращается

в нуль

вне

положительна

на

значит,

положительна на

Л,

стало

быть, равенство

v ( ( g -L 1)фА-) =

влечет

( g — 1)фх =

(ѵ-почти

всюду).

Так

как

на

X, по

условию,

имеем

g(t)— 1 > 0

ф ^ (/)^ 0 ,

то

= 0 (ѵ-почти

всюду).

Следовательно, ѵ-почти

всюду

имеем

g ^ l .

другой

стороны, доказательство теоремы Лебега —

Никодима

(см.

свойства функции g и определение функции

f o )

показывает,

что ѵ-почти всюду имеем 0 < g.

•/214 И. Заманский

434	ГЛ	X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Таким	образом,		(ѵ-почти всюду).
Изменим надлежащим образом значения функции g на
множестве ѵ-нулевой меры так, чтобы 0 ^					g ^	1 .
Пусть теперь
Л0 — множество		тех І е Д		где	0 <	g (t) <	1;
A i — множество		тех t е	А,	где		g(^) =	i.
Имеем	A = A0UAh		Ао(]Аі =		0 ,
	A = A0UAh		Ао(]Аі =		0 ,

т. е. Aq и А і составляют разбиение множества А. Кроме того, р,(Лі) = 0. В самом деле,

ѵ(л 0 = й (етЛі) + ѵ(етДі);

но

sva' ^ va,;

следовательно, ѵ(ЛЛ =

р,(Лі) +

ѵ(Лі), и

р(Л,) =

Из

этого

для любого подмножества X следует

н и п л , )

о.

Рассмотрим теперь две меры, ѵо и ѵь определяемые

как

ѵ0 (X) = V(X П Ло),

V! (X) =

V (X П Аі).

Имеем прежде всего

V, (Л0) =

V(Л0 П Аі) == V(0 ) = 0,

ѵ0(Л|) = 0.

Если X есть ѵ-измеримое подмножество, то

ѵо(ХПЛІ) =

ѵ(ХПЛоПЛ1) =

ѵ( ХП0) = ѵ(0) =

О>

ѵ1(ХПЛо) =

ѵ(ХПЛоПЛ1) =

ѵ( ХП0)==ѵ(0) =

О,

ѵ(Х) = ѵ((^ЛЛ0) и( ХПЛ1)) =

— ѵ {X Л Л0) +

V(X Л Аі) =

ѵ0 (X) +

V, (X).

Итак,

найдено

такое разбиение

Л =

Л01)Л1 множества А

такое

разложение

меры ѵ

на

ѵ — ѵо + ѵц

что

ѵо(Л[) —

Ѵі(Л0) = 0 и что мера р(Л])

равна нулю.

Наконец, покажем, что мера ѵо абсолютно непрерывна от

носительно (X. Пусть подмножество X из Л таково, что р(Х) =

0; покажем, что ѵо(Х) = 0.

В самом деле, имеем

•

ѵ0 (X) =

V(X Л Л0) =

ц (бч>*пЛо) + ѵ ( ^ x п л,);

так как p.(A') = 0, то

М(*ЛА,) = °

м(£Ф*пЛо) = 0;

е. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

435

следовательно,

ѵ (* Л Л ) =

ѵ(£ЧРхпл.)’

или

ѵ((1 - g

)

n J

° -

Но на Ао,

а значит, и

на

X Л Ао

имеем 1— g > 0;

следова

тельно,

ѵ(Фхпл») =

ѵ(;':Пі4о)==0>

т.

е. ѵ0( Х) = 0.

задано разложение

меры

ѵ такое,

что ѵ =

Обратно, если

v0-fv,,

ѵ0 (Л,) =

V, (Л0) =

р(Л,) = 0,

то

из

формулы

ѵ(/) = p(g/) + v(gf), примененной для f =

qpß ,

Е с А,, получаем,

что ѵ (Фг) =

р (£Фя) + ѵ(^ф£) =

ѵ(^ф£), откуда следует,

что g = l

почти всюду на А,. Если,

напротив, g — 1

на множестве F c

Л0,

то V(фР) =

[X(<fP) +

V(фД

т. е. ц(ф/0 =

О,

и так как Fez А0,

то

(F) = 0,

а ввиду абсолютной непрерывности ѵ0

по

имеем

ѵ0 (F) — 0; поэтому v(F) =

и поэтому Ах (с точностью до мно

жества меры нуль)

есть

множество,

на

котором

g принимает

значение 1; поэтому единственность g влечет единственность разложения меры ѵ.

Таким образом, получаем следующий результат.

Т е о р е м а . Пусть р и ѵ — положительные ограниченные меры, определенные на одном и том же множестве А относи тельно одного и того же клана. Можно единственным образом выбрать такие две положительные меры ѵо и ѵі и такое раз

биение А = Ао U А х множества А				(где Л0, А х определены с точ
ностью до множества меры нуль),				что
1)	ѵ = ѵ0 +	V,;
2)	ѵІ(Л0) =	ѵ0(ЛІ)==0 и	р(Л,) = 0;
3)	для любого ѵ-измеримого подмножества X
		Л А , ) =	V , ( Х П Л 0) = 0 ;

4) ѵо абсолютно непрерывна относительно р.

Этот результат может быть сформулирован следующим об разом: пусть р и V— заданные меры на Л; ѵ есть сумма двух мер ѵо и ѵь мера ѵо абсолютно непрерывна относительно р;

подмножество А\ из	А, на котором сосредоточена мера ѵі,
имеет p-нулевую меру,	хотя вообще ѵх(Ах) ^ 0.

Можно еще сказать, что если в качестве исходной выбрана каким-либо образом мера р, то другая мера ѵ не будет, во обще говоря, абсолютно непрерывна относительно р, т. е. мно жество p-нулевой меры будет вообще говоря, иметь строго

7214*

436	ГЛ X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

положительную меру ѵ; но мера ѵ будет представлять собой сумму двух мер ѵо + ѵь множество p-нулевой меры будет иметь ѵо-нулевую меру, а подмножество, на котором сосредо точена мера ѵь будет иметь р-нулевуго меру (но не нулевую ѵ-меру).

§	3. Непрерывные линейные формы на	пространствах £ £ р
В этом параграфе приводится выражение любой непрерыв
ной	линейной форіѵы на пространстве	S v ( І ^ р с + о о ) .

Предположим, что все пространства S p построены исходя из

одного и того же	пространства	Рисса Е	числовых функций
(удовлетворяющего,	в частности,	условию	х <= Е ==>\х \р ^ Е) и

положительной меры р, которая предполагается ограниченной,

что влечет S p го S'*

при р ^ q.

если r e S ’f', y ^ S P и

Для

всех этих пространств S p имеем:

0 ^

у sg: X, то \\у\\р ^

\\х\\р.

(Это верно также

и для S ’00.)

Пусть F — непрерывная

линейная форма

на

S°°; имеем

I т (х )!< ||Т ||||х ||р

для любых x ^

S p, причем

||Т|| есть норма формы

F. Согласно

теореме из §

раздел 1,

форма

F является разностью

двух

непрерывных положительных линейных форм G и Я; пусть,

стало быть, F =

G — Н (где

G(x)—

sup

F (у)).

Пусть х„ — последовательность

0<!/< X

убывающая

функций из S

и сходящаяся к нулю; то же самое имеет место и для

(чтор

значит,

\\хп\\р

убывает и стремится к нулю

при

п-*оо

Г1| ;

не выполняется,

если р — -foo). Так как

G (x„)<|G (xn)|< ||G |||| х„ ||р,

то G(xn) стремится к нулю.

Следовательно,

хп I 0 =# G (хп) I 0

(аксиома 3).

Таким

образом,

G есть положительная

мера

на

S p,

равно

как

Н. Если х — функция, равная

нулю почти

всюду относи

тельно

меры р,

то

||хЦр = О, а значит, F ( x ) ~ 0,

и стало

быть,

G(х) = 0, ибо

1G(x) | < G ( | X |) =

supF(*/),

где 0 < г / < | х | ,

II у ІКІІ х|| = 0.

Имеем

также И (х) = 0. Следовательно, положительные

меры

G и Н абсолютно непрерывны относительно р. Кроме того, они

ограничены, так как

| G( x ) | <

sup

Т (г/)<||Е ||||х||р< ||Е ||аі(Л ))'//'||х||м,

			6 РАЗЛОЖЕНИЕ MEPbt							43?
и если	x = q>A, то		G{vA) <t\\FU\i{A))4P.

По	теореме	Лебега — Никодима			найдется			такая		функция
/o E ^ (\|j.), что		F(x) = n(xfo)		для любой		функции			*,	интегри
руемой одновременно относительно G и Н. Функция										fo опре
деляется единственным образом (с точностью								до	множества
меры нуль).							Коши		в	Е, наде
Наконец, если (хп) — последовательность
ленном нормой пространства 3?р, то поскольку G есть непре
рывная линейная форма на				то
		G(1 хп— xm I) ^		II G II •	II хп	хт\|\|р;
значит,	G(]x„ — хт\| )		стремится к нулю; если				при этом хп схо
дится	p-почти	всюду	к функции f 6= 3?р,			то	в	силу		того, что

любое множество p-нулевой меры является множеством (/-ну левой меры (абсолютная непрерывность), хп сходится G-почти всюду к функции /, которая, стало быть, интегрируема отно сительно меры G. Таким образом, равенство F(х) — р(х/0), справедливое для любой функции х, интегрируемой одновре менно относительно G и Н, тем более справедливо для любой

функции Xез £?р.	теперь,	что р > 1,		и рассмотрим	такие	функ
Предположим
ции	что Ose; х		/0(.	если f o(t )^0,	и —1,	если
Пусть фо — функция,		равная	1,

Ш < 0 .

Имеем

р (*<?) = р (х*-1- * )< р (х?_11/о I) = Д (^"'Фо ' fo) =

= F(x*-' •ФоХИ/НІіи*-1Up.

Но равенство (1/р) + (1/<7) == 1 Дает p( q — \) = q. Отсюда р ( ^ х і і л і ( р (х<)ур

( р ( х ^ = |и ^ < ||К ||.

Наконец,		пусть	(х„)^~ последовательность						функций,	опре
деленных как				fo (t),			] fo(t) I <	n,
		Хп (0 =			если
		xn (t) =		«Фо,	если		I fQ(t) I >	n.
Последовательность xn сходится p-почти всюду к f0 (х+										воз
растает к fo,		Хп убывает к / Д				функция х п		ограничена, и зна
чит, принадлежит 3?°° и					É 4	(поскольку		мера ограничена),
и „ \| < І Ы >	и значит,			нормы \|\|х„\|\|?			ограничены;		следовательно,
по теореме	Б. Леви,		f0 е

438

ГЛ. X.

ИНТЕГРИРОВАНИЙ

Кроме того,

имеем

ІІ/оІІ? ^ IIЛІ, поскольку

для

х е S ’*1 и

0 < x < | f o| получаем

IU||4< ||F||.

Но так как, а силу

неравен

ства Гёльдера,

имеем

|^(^) | = |р(^/о) | ^

Mlpllfollg.

то ИЛІ ^

< ІІ/оІІqi Истало быть,

НЛІ = ||/0||g-

ц-максимум

функции

При

р = 1

обозначим

через

ll/olL

|/0|, конечный

или бесконечный,

и предположим,

что

ll/olU ^

^Н Л І + е, где

е > 0 — действительное число. Пусть

X — мно

жество

точек

в которых

\fo{i)\^ \ \ F \ \ г/2

ер* — его

ха

рактеристическая функция.

Имеем

Р(ІФ*/оІ)>МХ)-(|| К|| + е/2).

Но р (I cpxf0\) =

F(q>x • фоХИ К|| •

ІІФхИі =

|ІЛІ •

р(Х).

Так

как

ц(Л') >

0, то

||F|| + e/2<[|F||,

что невозможно. Следовательно,

предположение

том,

что

ІІ/оІІоо ^

!|/г|| +

е,

было

ложно, и

стало быть, ll/olL ^

l|f II.

Так

как снова имеем

I/=■ (*) 1= 1P(*fo) IK lull, Ifoil«,

то всегда ИЛІ = 11/olL *)•

Теперь сформулируем теорему.

Те о р е ма . Пусть р — положительная ограниченная мера на пространстве Рисса числовых функций. Любая непрерывная

линейная форма F на 2 ”р записывается					в виде	F(x) =	p(xfQ),
где f0(^£?q((l/p)-\-(l/q)= 1			и	1 < / ? <	+оо).	Кроме	того,
норма этой линейной формы равна \|\|ЛІ =					ll/olU-
Все функции /о в этой теореме равны между собой р-почти
всюду.		Эта теорема		довольно легко распростра
О б о б щ е н и е .
няется	на тот случай, когда		р — неограниченная			мера и когда
р >■ 1.	Упрощающее	условие	позволяет распространить				преды
дущий	результат на	случай	неограниченной меры и 1 ^ р <

< + оо: предполагается, что множество А является счетным объединением измеримых множеств (если речь идет о мере на локально компактном пространстве, то предполагается, что это пространство счетно в бесконечности, т. е. является счетным

-объединением компактных множеств).

с о

В самом деле, если	A = \ j A n, причем мера каждого Ап
,	1

конечна и Ап возрастают, то рассмотрим пространства і? р (Лп).

*) Как видно из этого рассуждения, здесь в качестве і? “ рассматрк вается пространство { л е й ’1: ||лсЦсо < +°°). См. сноску на стр. 426.

6. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРЫ

439

Линейная форма F непрерывна на каждом из них, и если означает функцию, принадлежащую ЗБ4 и такую, что для лю

бого	класса	имеем F(x) —	\.i(xfn), то \|\|/nllq ^		11Е\|\|. Един
ственность		функций /„	в Е«(ЛП) влечет,		что на Ап
fnjpI. fn+i't а	так как \| / « \| < \| / я+і\|. то /„			сходится	к	функции
f ozaS’HA).		Предыдущая	теорема	выражается		также в
С л е д с т в и е .
следующей	форме:	для	пространство,		сопряжен

ное к Lp, может быть	отождествлено с	а так	как	(1/р) +
+ (1j q ) ~ 1, то сопряженным к Ьч будет Lp, если 1			s=: q <С + 0 0 .
Следовательно, если 1	< p < - f ° ° , то п р о с т р а н с т в о		L p	рефлек
с и в н о *).	п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й .			Если
П р о с т р а н с т в а

рассмотреть пространства Lp(N), элементами которых яв ляются последовательности х = (|„) действительных чисел и которые определяются при помощи (неограниченной) дискрет ной меры на N, то

					іи и Р =		( 2 і ы	р)1/р.
	При	1 <	р < + 0 0		любая		непрерывная линейная			форма за
писывается			в виде				00
							00
					F{x)—2
							/=I
где	а =	(аг) е Lq (N)		(т. е.		2	I «г \я <	+ °°), и
			II	F II =		11 М	= ( 2	і а г Г0,/Р.
	При	р =	1 любая		непрерывная			линейная	форма	на Ll(N)
записывается в виде
							с о
					Е ( х )= 2 ЩІ і ,
							і=І
где	а =	(а;) <= L00(N)			(т. е.		sup\| а, \| < + оо),		и \|\|^\|\| = \|[а\|(ов =
= sup) at [.
	i

*) Ср. замечание 2 на стр. 359. Пусть £ — нормированное векторное про странство, £*-—множество непрерывных линейных форм на Е. Тогда Е* яв ляется нормированным (и даже банаховым) пространством относительно обычных линейных операций и нормы, введенной в разделе 2, § 2, п. 2. Со поставляя каждому элементу х е Е функционал Fx на Е*, определенный равенством Fx(f )=f(x) для всех f е Е*, получаем отображение Е в про странство £** непрерывных линейных форм па £. Если это отображение есть изоморфизм нормированных пространств £ и £**, то говорят, что £ — ре флексивно. .

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ