книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

значит, ф возрастает для t ^ 1; а поскольку ф(1) = 0 , то ф(^) ^ 0

n->oo, m->oo

ичто, следовательно, fn есть последовательность Коши в g p. Итак, получаем результат, аналогичный теореме Б. Леви.

следовательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы после­ довательность (f„)P была последовательностью Коши в g x.

В отношении теоремы Лебега, (раздел 3, § 3) заметим сле­ дующее: поскольку

f e = 2 p = $ \ f \ t = & p,-

то можно снова использовать оболочки семейств функций из g p. Тогда доказательство проходит, и мы получаем теорему.

Т е о р е м а Л е б е г а . Пусть (fn)— последовательность функ­ ций из gP, сходящаяся почти всюду к функции /; предположим,

к нулю.

§ 3. Соотношения между пространствами j £ p ( \ < + °°)

В этом параграфе будут найдены свойства пространств gp, выраженные посредством пространства g x, а также два случая

вательность (fn) положительных функций из 9?ѵ была последо­ вательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы последова­ тельность ((fn)p)n была последовательностью Коши в S 1.

Пусть теперь имеется положительная функция f е 3?т>. Так как / определяется при помощи двойного перехода к пределу через монотонные последовательности (ср. функции ym,n, zm>n из раздела 2, § 2), то применение последнего предложения вле­ чет, что р б І ’1. Обратное доказывается тем же способом. От­ сюда получаем предложение.

П р е д л о ж е н и е 2. Для того чтобы положительная чис­ ловая функция f принадлежала S p,необходимо и достаточно,

и у е £ , имеем ху е Е. (Это условие снова выполняется в двух основных и наиболее употребительных случаях: ступенчатых функций на клане и непрерывных функций с компактным но­ сителем.)

Наибольшую важность представляет следующий результат.

/, а (уп) —последовательность Коши в Eq, определяющая g. Имеем

(/І/)ѵ*.

З а м е ч а н и е . Приведенная теорема справедлива в пред­ положении, что р и q конечны и отличны от 1. Ниже (§ 4) бу­ дет дано ее расширение на случай, когда р — 1, q — -f-oo.

С другой стороны, неравенство Гёльдера, очевидно, расши­ ряется посредством перехода к пределу, и стало быть, мы имеем для / е S p, g < ^ S q

следовательно,

Стало быть, последовательность / = (фй) — это последователь­ ность, удовлетворяющая условию

2 1 Фа Ір < + ° о .

ляет /.

Таким образом, это пространство 3?р есть пространство та­

дать символу і? 00. Но 3?р наделено полунормой, которая имеет

Иными словами, в пределе норма (или полунорма) в 9?р дает норму равномерной сходимости. А поскольку функции на 3?р определен^ почти всюду, то получаем более общее определе­ ние, которому и будет посвящен этот параграф.

мера. Говорят, что числовая функция х, определенная почти

Можно было бы рассматривать p-максимум и р-минимум функции *. Например, p-минимум функции *, обозначаемый иногда гпоо(х), есть верхняя грань действительных чисел Ъ, удовлетворяющих условию

b ^ X (t).

П . В .

Вместо p-максимума функции \х\ употребляются также названия истинный максимум или существенная верхняя грань.

Если * — непрерывная функция на компактном множе­

стве К, то

II * IL = sup I * (t) I,

IW L определена (и конечна).

Таким образом, ||*IU определяет на пространстве Рисса Е полунорму. Проведя факторизацию по отношению эквивалент­ ности * п==у, получим на £ норму ЦіЦ«,, причем ||*IU является

значением ||*IL, когда * — элемент из Е, определяющий класс эквивалентности *.

(наделенного положительной мерой р, и полунормой ||x|U, ко­ торая предполагается конечной для всех х ^ Е ) .

предел последовательности (хп). Тогда каждой последователь­ ности Коши (хп) соответствует некоторая числовая функция f.

g — f.

Ь П. В. 1

Обратно, если (хп) и (г/п)—две последовательности Коши, определяющие /, то \\хп'— г/nlU—►О, ибо если е, е' — пренебрежимые множества, отнесенные последовательностям (хп), (уп), то на А — е имеем

I хп(і) — y(t)\^e/2, если п ^ п 0\

на А — е' имеем

I Unit) — у(і) |< е /2 , если « > « 5 ;

*) Это определение совпадает с общепринятым в случае, если Е — про­ странство Рисса, образованное ступенчатыми функциями на клане всех р.-измеримых множеств, где ц — конечная мера; в этом случае 2 ’°° = = {х е 2 : lUlloo < °°}. Если мера бесконечная, или если Е образовано сту­ пенчатыми функциями на,клане общего вида, или непрерывными функциями на локально компактном (в частности, компактном) пространстве, то данное определение неприемлемо.

См. также сноску на стр. 438.

значит, на А — е\]е' имеем

Iхп (0 — Уп (О I< е, если п > шах («о, «о).

Итак, пространство S°° состоит из числовых функций, опре­ деленных почти всюду и являющихся пределами почти всюду последовательностей Коши в пространстве Е, наделенном по­ лунормой ЦлгЦоо (короче: равномерные пределы почти всюду последовательностей Коши функций из Е).

Пространство Ь°° есть факторпространетво пространства S°° по отношению эквивалентности

fп Г в . S '

Сдругой стороны, на А — е, где е — пренебрежимое мно­ жество, имеем

\xn(t)\ — e < \ f ( t ) K \ x n{t)\ + e,

Следовательно, полунорма ||я||«,, определенная на Е, про­ должается в 9?°°.

функций, наделенное положительной мерой ц и полунормой, определяемой при помощи у-максимума. Пространство S x , состоящее из числовых функций, являющихся почти всюду рав­ номерными пределами функций из Е, есть пополнение про­

странства Е.

З а м е ч а н и е . Мера р, вообще говоря, не продолжается в S ’00-, в самом деле, если Е — пространство непрерывных функ­ ций с компактным носителем, определенных на локально ком­ пактном пространстве, и S°° введено по определению стр. 426, то (см. стр. 404) равномерный предел последовательности не­ прерывных функций в общем случае не будет интегрируемым.