книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

щая положительная последовательность Коши, интеграл кото­ рой стремится к нулю, и значит, по теореме об интегрировании,

является подмножеством пренебрежимого множества е', и зна­ чит, само пренебрежимо. Итак, резюмируем.

Те о р е ма . Если пространство Рисса ступенчатых функций на А относительно заданного клана Г наделено положительной мерой (положительной линейной формой, удовлетворяющей ак­ сиоме (У)), то имеется тождественное совпадение между пренебрежимыми множествами и множествами меры нуль.

§ 3. Случай меры Радона

В этом параграфе А — локально компактное пространство, а Е — множество непрерывных функций с компактным носителем. Как только построено пространство 5?, то мы приходим, в силу того, что А — топологическое пространство, с одной стороны,— к формулированию некоторых результатов на языке непрерыв­ ных функций, или полунепрерывных, или любых других, а с дру­ гой,— к исследованию вопроса о том, будут ли измеримы эле­ ментарные топологические множества (открытые, замкнутые, компактные...).

Таким образом, во второй части функции х, хп, ... являются непрерывными функциями; значит, пренебрежимое множество есть множество точек t, в которых монотонная последователь­ ность хп непрерывных функций с компактным носителем, имею­ щих ограниченные интегралы р(хп), не сходится просто в /?; а так как предел монотонной последовательности непрерывных функций есть полунепрерывная функция, то предложения 3 и 4 (раздел 3, § 3, п. 4) могут быть сформулированы на языке полу­ непрерывных функций. В частности, заметим, что функции гп из

412 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

предложения 3 и г из предложения 4 являются полунепрерыв­ ными сверху и имеют компактный носитель, поскольку каждая из функций zm и z положительна и является пределом убываю­ щей последовательности непрерывных функций с компактным носителем.

Однако, когда хотят исследовать, будет ли любое открытое или любое компактное множество измеримо, сталкиваются с той трудностью, которую мы изложим, прежде чем накладывать упрощающее условие на локально компактное пространство А. Остановим наше внимание на компактных множествах. Пусть К — компактное множество и фя — его характеристическая функ­ ция; если фя ^ &, т. е. если К измеримо, то поскольку каждая непрерывная функция с компактным носителем может быть рав­ номерно приближена ступенчатыми функциями на некотором клане, содержащем компактные подмножества (гл. VIII, раз­ дел 2, § 2), можно также определить пространство і?, исходя из меры на клане, содержащем компактные подмножества. Условие для подмножества из А быть открытым или замкнутым выра­ жается при помощи полунепрерывности его характеристической функции (гл. VIII, раздел 4, § 2).

Таким образом, мы пришли к исследованию вопроса о том, интегрируема ли полунепрерывная функция (которая здесь при­ нимает только значения 0 и 1). Если К компактно в локально

держащимся в К, подмножества Ха из Л, на которых x ( t ) > а или x ( t ) < а, измеримы. Отсюда следует, что если

К = fU a>

а

то К является также пересечением счетного семейства измери­ мых открытых множеств, и стало быть, измеримо.

Для простоты мы ограничимся здесь случаем, когда А — ло­ кально компактное метрическое пространство (пример: Rn).

В этом случае всякая полунепрерывная функция служит оболоч­ кой счетной последовательности непрерывных функций, и зна­ чит, всякое компактное множество измеримо, равно как и всякое открытие множество, замыкание которого компактно (т. е. от­ крытое множество, которое содержится в компакте) .

Тогда предложение 4 (раздел 3, § 3, п. 4) получает важную формулировку (относительно которой доказывается, что она вер­ на в случае, когда А локально компактно).

Те о р е ма . Для того чтобы множество X было интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовали интегрируемое открытое множество О и компактное множество К, удовлетворяющие условиям:

K c z X c z O и р ( 0 — К ) - р ( О ) — м (Ю < е.

Р А З Д Е Л 5

ПРОСТРАНСТВА & р

В этом разделе речь идет о числовых функциях, для которых интегрируема p-я степень их абсолютной величины, где р — ко­ нечное действительное число, р ^ 1. Простые примеры показы­

произведение fg принадлежит S , хотя может оказаться, что сами функции / и g не принадлежат S . Построение и изучение пространств S v основано на неравенствах Гёльдера и Минков­ ского, изложению которых и будет посвящен первый параграф.

С другой стороны, в этом разделе излагаются лишь новые факты, поскольку построение пространства S p (точно так же как и построение пространства S p для функций со значениями в банаховом пространстве) могло бы быть изложено без изме­ нений во втором разделе; и только важность интегрирования чис­ ловых функций влечет повторения.

Один параграф отводится пространствам S°° и Ь°°. Отметим, что в этом разделе буквы р и q будут всегда изо­

бражать числа удовлетворяющие условию (l/p)-f (\fq) = 1, и никогда не будут использоваться в качестве индексов для элементов множества. Наконец, мы будем иногда вместо S писать S 1.

§ 1. Неравенства Гёльдера и Минковского

Неравенства Гёльдера и Минковского принадлежат к катего­ рии неравенств, называемых неравенствами выпуклости, по­ скольку при их получении рассматриваются выпуклые функции. Мы докажем неравенство Гёльдера, а затем выведем из него

р— 1 = plq. Когда одно из чисел р, q может принимать значение

+°о, другое принимает значение 1, и это может быть указано,

есть полунорма, а неравенство Гёльдера позволяет доказать, что

или, положив ß = 1— а, а значит, a + ß = 1, получаем

ta< at + ß.

Если а и 6 — положительные действительные числа и b Ф 0, то замена t на а/b дает

Последнее неравенство верно и при 6 = 0.

Если х,у — положительные числовые функции произвольного

.ставляющее собой такое упорядоченное действительное вектор­ ное пространство, что если х <= Е и у <= Е, то ху е Е, и такое, что

5. ПРОСТРАНСТВА g P

415

Из неравенства

хР

+ *ч-

выводим

Пусть ц(хр) фО, р(уч) ф 0. Заменяя х на

X

~(р(*р))1/р~'

а у — на

у

(1* (у)4)114 ’

получаем неравенство Гёльдера:

Іі ( х у ) ^ ^ ( х р))1,р-(ц (y4))l,q.

Если p(xP) = 0, то множество е — {t: xP(t) ф 0} — {t: x(t) ФО}

есть множество меры нуль. Действительно, монотонная последо­

сходится при І е е , то е — пренебрежимое множество. Тогда мно­ жество е\ = [t : x(t)y(t) Ф 0} содержится в пренебрежимом мно­

З а м е ч а н и я . 1) Это неравенство можно применять к абсо­ лютным значениям числовых функций, когда эти абсолютные значения принадлежат Е.

2) Неравенству Гёльдера можно придать несколько более об­ щий вид, поступив следующим образом: пусть р, q — конечные числа 5* 1, и г таково, что 1/г = (1/р) + (1 /<7). Следовательно

(r/p) + (r/q) = 1, и

р ( ^ ^ ) < ( р ( х ) ) г/р(р(г/))^;

418 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

2. Построение и основные свойства пространства Sßp• Доказа­ тельство, позволяющее построить SE исходя из Е, годится без

fr s .8 .

Пространство Lp отождествляется, при помощи теоремы об ин­

и такая подпоследовательность (f„k) последовательности (fn), что:

а) Ii\\fnk+1- f 4 \\p < + °°;

оо

б) ряд 2 (/n fe+1(0 — fnk Щ абсолютно сходится почти всюду,