книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

2. Теорема Фату. Пусть (/п) — последовательность положи­ тельных функций из ST, сходящаяся почти всюду к функции f и такая, что р(/п) ограничена. Тогда f ^ S ’ и р(/) ^ sup p(f„).

В самом деле, пусть

gn = inf fr,

І>П

g r i d s ’ при любом п, последовательность gn возрастает и схо­ дится почти всюду к /, как и последовательность fn. Кроме того, g n < / n ; значит, p(g'n) < р(/п); а поскольку p(fn) ограничена, то отсюда следует, что (gn) есть монотонная последователь­ ность Коши в ЗТ. Стало быть, / е З " , и

ций из 3?, сходящаяся почти всюду к функции f. Предположим,

С другой стороны, возьмем точку < е Л , в которой fn(t) имеет конечный предел Я; каково бы ни было е > 0, для любого до­ статочно большого п имеем

Согласно теореме Б. Леви ф„ и фп сходятся почти всюду к функ­ ции из 3?, которая, таким образом, почти всюду равна f , откуда

А так как р,(ф„) и р(фп) сходятся к одному и тому же пре­ делу, то

Р (Фр — Ф9) + Р (Фр — ФР)

стремится к нулю, и значит, (fn) есть последовательность Коши в 3 . Стало быть условия, наложенные на (/„) в теореме Ле­ бега, позволяют заключить, что (/„) есть последовательность Коши в 3 .

2) Приведенные выше теоремы, очевидно, могут быть сфор­ мулированы и для того случая, когда речь идет о рядах функ­ ций из 3 . Например, если uh е 3 , если

оо

Sw*

сходится почти всюду и если последовательность

странства Е. Мы же попытаемся здесь выяснить, какую роль играет простая сходимость почти всюду.

Пусть f е S \ функция f является пределом почти всюду по­ следовательности Коши (хп) элементов из Е, и кроме того, мы можем предположить, что \\хт — хп\\ < 1/2П для любого т ^ п . Положим снова

У т , п == S lip {Х{), Zт , п == inf {Х().

Известно (см. там же), что

ций из Е, минорированная элементом хт, который является ко­

(ут ) убывает, (zm) возрастает, и эти две последовательности являются последовательностями Коши, эквивалентными после­ довательности (хт), которая сходится почти всюду к функции /. Значит, ути Zm сходятся почти всюду к f. Стало быть мы полу­ чили следующий результат.

П р е д л о ж е н и е 3. Для любой интегрируемой функции f существуют убывающая последовательность (ут) и возрастаю­ щая последовательность (zm), состоящие из конечных интегри­ руемых функций и такие, что:

1) для любого m функция ут является простым пределом воз­ растающей последовательности элементов из Е, а zm— простым пределом убывающей последовательности элементов из Е\

2) zm < f < ym\

п. В . п. в.

3) f == lim zm = lim ym)

4) р if) = lim ц (zm) = lim ц (ут).

Это предложение приводит к характеристическому свойству интегрируемых функций, которое долгое время служило для по­ строения пространства S , но которое менее гибко, чем приводи­ мое выше (раздел 2, § 2, теорема) и чем то, которое содер­ жится в определении (там же).

Стало быть, последовательность 2 „m, сходящаяся почти всюду к /, мажорируется некоторой функцией ynj, и значит, по теореме Лебега, f е 3 . Теперь можно, следовательно, вывести из

z < f < у,

что p ,(z)^ ц ( И ^ р(г/), а так как ц(уп — zn) стремится к нулю, то

р if) = lim ц іуп) = lim р (z„).

Отсюда и получаем искомое предложение.

П р е д л о ж е н и е 4. Для того чтобы положительная число­ вая функция f была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого s > 0 существовали конечная положительная интегрируемая функция z — предел убывающей последователь­ ности функций из Е, и конечная интегрируемая функция у — предел возрастающей последовательности функций из Е, удо­

следовательно, оно может служить определением интегрируемых функций. В этом случае поступают следующим образом: рас­ сматривают функции из Е, затем монотонные последовательно­ сти функций из Е, интегралы которых сходятся к некоторому конечному значению; указанное предложение служит для опре­ деления интегрируемых функций, но затем необходимо доказы­

Допустим, однако, что характеристическая функция qu мно­ жества А принадлежит 3 (что сводится к предположению об

интегрируемости постоянных функций). Если, при этих условиях, fn равномерно сходится к /, то (fn) есть последовательность Коши в топологии равномерной сходимости, и значит, для лю­ бого е > 0 имеем: \fp(t) — fg(t) | < е для р ^ Р ( е ) и q ^ P ( e ) ,

где Р — надлежащим образом выбранное целое число, не зави­ сящее от t. Но неравенство \fP(t)— fq(t) | < е при любом t экви­ валентно неравенству |/Р — /д|< еф л , которое влечет

ц(.І fp — fq \ ) < W (Фл)-

Поэтому (/„). является последовательностью Коши также и в 9?.

нечна (или что мера р ограничена). Таким образом, можно сформулировать предыдущий результат следующим образом:

если мера ограничена, то равномерно сходящуюся последова­ тельность функций из 9? можно почленно интегрировать.

Р А З Д Е Л 4 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА

Для любого подмножества X множества А через фх обозна­ чается характеристическая функция, т. е. функция от t, равная 1, если ( е І, и 0, если t ф X.

По отношению к операциям алгебры множеств характеристи­ ческие функции обладают следующими свойствами:

§I. Общие определения

1.Определение измеримого множества. Говорят, что подмно­ жество X множества А измеримо (или интегрируемо) относи­

Отметим, что А измеримо в том и только том случае, если ненулевая постоянная функция на А принадлежит £ .

2. Измеримые множества, определяемые при помощи инте­ грируемой функции. В самых общих случаях измеримые множе­ ства получают путем рассмотрения подмножеств из А, на кото­ рых интегрируемая функция / принимает значения, превосходя­ щие заданное число а. Иными словами, если Ха — подмножество из А, на котором, скажем, / ( / ) > а, то показывается, что харак­ теристическая функция Фха принадлежит £ , когда [ е й 1.

Если это так, то можно показать, что множество точек t, в

f„ = inf(n(f — inf (/, <Хфл)), фл).

Так как inf (/, афл) ^ f, то

f — inf (/, афл) > 0;

значит, функции

n ( f — inf (/, афл))

образуют возрастающую последовательность, и то же самое бу­ дет верно для fn- Если в некоторой точке t будет f(t) > а, то

inf (f (t), афл (t)) = inf (f (t), a) = a;

но /(£) — a > 0, и значит, n(f(t)— a) стремится к бесконечности вместе с п, а стало быть, начиная с некоторого значения п, имеем

МО—Фл(0 —1.

Когда мера не ограничена, тот же результат получают, пред­ положив, что если / e S 1, то inf(f, фА)е.£?.

Для того чтобы выполнялось последнее условие, можно вве­ сти на множестве Е рассматриваемых первоначально функций следующее условие: пространство Рисса обладает тем свойством,

вающая последовательность измеримых множеств и если мно­ жество П Хі пренебрежимо, то p(Kj) стремится к нулю.

3) Множество измеримых подмножеств образует клан, и век­ торное пространство, порожденное характеристическими функ­ циями, есть пространство ступенчатых функций на этом клане.

§ 2. Случай меры на клане

Когда задается множество Е ступенчатых функций на А "от­ носительно клана Г, то для построения пространства 3? доста­ точно наделить пространство Рисса Е положительной мерой ц. Но положительная мера р удовлетворяет аксиоме (3), которая эквивалентна аксиоме (З'), и пренебрежимое множество опре­ деляется при помощи монотонных последовательностей из Е.

Но понятие пренебрежимого множества, котрое было введено в первых же современных изложениях теории интегрирования и которое является понятием множества меры нуль, использует покрытие элементами, рассматриваемыми как измеримые. На­ пример, если элементам клана Г приписать меру в элементарном смысле, то множество е меры нуль будет определяться следую­ щим свойством: для любого е > 0 существует покрытие множе­ ства е не более чем счетным числом множеств Хіу для которого

2 Ц № ) < е. После этого можно определить выражение «почти всюду» относительно этого понятия множества меры нуль, а за­ тем построить 2?. Цель настоящего параграфа — уточнить связи, существующие ме^кду этими понятиями.

1. Свойства пренебрежимых множеств. Пусть Г — клан на А,

Е — пространство Рисса ступенчатых функций на А относитель­ но Г и (X— положительная мера, т. е. положительная линейнаң

форма, удовлетворяющая аксиоме (£/): если хп убывает и схо­ дится просто к нулю, то р(хп) стремится к нулю. Для любого элемента J e Г полагаем ц(фх) = p (J). Докажем следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е . £слн е — пренебрежимое множество, то для любого е > 0 можно покрыть е конечным или счетным се­

чатых функций (которые можно предполагать положительными),

U*»(а),

П

ибо в такой точке t начиная с некоторого значения л, имеет ме­ сто неравенство xn{ t ) ^ a . Так как J n(a)ci J n+i (а), то рассма­

тривая, например,

Yn = Xn+l(a)-Xn(a),

получаем семейство элементов клана Г, покрывающих е\ а так как

І р ( П ) = ц(Х„+І(а))<М/а,