Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

17.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4940 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

390 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

образуют возрастающие последовательности, а поскольку <рѵ ^ ^ Уѵ, tv ^ Уѵ, то это будут монотонные последовательности

Коши. Последовательность (срѵ)		сходится почти всюду к fi е S ,
(tv) — к /2 «=	и
	f ‘ п т г . х * ^	(х п + і ~ х п ) + >
	оо
	f2 пТ^. Х~	+І ~ Х„) >
	п. в.
Следовательно, всякая функция из S			есть разность функций,
являющихся	пределами возрастающих		последовательностей
функций из Е.		почти всюду возрастающей по
Обратно,	пусть f\ — предел	почти всюду возрастающей по
следовательности Коши функций хп ^ Е ,			f2— предел почти всю

ду такой же последовательности функций уп. Тогда последова тельность хп — Уп сходится почти всюду к fii — f2, а так как

\ Хр Ур	(Хд	Уд) I ==
ТО		I (Хр	Хд)	(Ур	‘ Уд) I	I Хр “ “ Хд I “1 I Ур	Уд ],
	Хр— Ур — (Хд — Уд) К				Хр — Хд I) + Ц (I Ур — Уд \|),
И (I				Ц (I
чем доказано, что (хп — уп)				есть последовательность Коши в Е
и следовательно, /у —- f2 е			S ’.
Итак, получено характеристическое свойство элементов из S ,
выражаемое следующей теоремой.						принадлежала S ,	не
Т ео р ем а .		Для того чтобы функция f

обходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде разности двух функций из S , являющихся почти всюду преде лами возрастающих последовательностей Коши элементов из Е.

Важность этой теоремы станет ясна в дальнейшем: в боль шинстве случаев свойство функции f е S будет получено путем доказательства того, что оно верно для любого х ^ Е и для пре дела монотонной последовательности Коши функций из Е.

Теперь мы рассмотрим пополнение Ё пространства Е и опре

делим отображение ё на SE. Читатель будет				(по мере надобно
сти) отсылаться к главе VII, раздел 2, § 1.				сходящаяся	почти
Если (Хп) — последовательность			Коши,
всюду к f е і ? , то поскольку		(1х„\|) — тоже последовательность
‘Коши, (\|хп\|) определяет \|f\|		и сходится к \f\		почти всюду. Сле
довательно, f <= S	^ S .	Но,	кроме того, х+ есть		после

довательность Коши, сходящаяся почти всюду к f+, и, точно так же, Хп есть последовательность Коши, сходящаяся почти

всюду к

2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА S t	391

Пусть X — элемент из Е; это есть множество последователь ностей Коши из Е, эквивалентных одной из них. Выберем неко

торую последовательность Коши (хп) е і ; выделим из нее под последовательность (хпк), сходящуюся почти всюду (предложе

ние из п. 4, § 1) и, значит, определяющую некоторый элемент f s 2 .

Пусть, далее, имеется другая последовательность ( 4 ) е 1 сходящаяся почти всюду; и пусть f ' — элемент из 2 , который она определяет. Так как (хП/і) и (хЬ) эквивалентны, или

(Xnk — x'itj эквивалентна нулю, то можно выделить подпоследо вательность (xnk — 4 Ѵ), сходящуюся почти всюду к нулю (там же). Но X и x'k уже сходятся к f и f' почти всюду; поэтому

f ~ шf'. Иными словами, / и f' е f — одному и тому же элементу

из S ’.

Таким образом, каждому X е Е ^соответствует некоторое/е

е і ? , и очевидно, что любое f ^ . 2	является образом некото
рого X. Тем самым определено отображение Е на 2 .
Это отображение переносит с Е	на 2 отношения сложения
и порядка.

Более того, можно продолжить на 2 положительную линей ную форму р. Действительно, если (хп) ~ последовательность Коши, сходящаяся почти всюду к f, то р(х„) имеет конечный предел, поскольку

	lim \|\|(„) — ц ( х ,)\|=	lim	\v.{xp — xq)\
и	оо, q->oo	oo, q->oo
	1М* (Хр Xq) 1 Р (1 Хр	Хд) 1	!1 Хр Xq [\|.

Если	— последовательность Коши, эквивалентная			т. е.

если (хп) и (x') принадлежат одному и тому же X из Е, то р(х') имеет конечный предел, равно как и и(х„), и р(х') —р(л:п) стремится к нулю; стало быть, р(х') имеет тот же предел, что и р (хп). Следовательно, предел последовательности р (х„) зависит лишь от класса X, и мы можем записать

p(f) = lim р(х„).

Таким образом, 2 тоже является группой Рисса, и тогда р

продолжается до линейной формы на 2 .

Теперь речь идет о том, чтобы выяснить, можно ли отожде ствить Е и 2 . Определенное выше отображение есть отображе ние È на 2 , сохраняющее отношения сложения и порядка.

392	ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Но оно может не быть взаимно однозначным, ибо может ока заться, что функция f е SS будет пределом почти всюду двух последовательностей Коши^(л:„)^и (уп), не принадлежащих од

ному и тому же элементу X из Е, или, иными словами, не экви валентных. Все сводится к рассмотрению последовательности хп — Уп, так что остается доказать, что если последовательность Коши (х„) сходится почти всюду к 0, то ее полунорма р (|х „|) сходится к нулю.

§3. Теорема об интегрировании

Те о р е м а о б и н т е г р и р о в а н и и . Пусть Е — пространство Рисса числовых функций на множестве А, полунормированное посредством положительной меры. Для того, чтобы сходящаяся

почти всюду последовательность Коши была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась почти всюду к нулю.

Необходимость вытекает из предложения п. 4, § 1. Для до казательства достаточности, очевидно, достаточно рассмотреть

положительные	последовательности.	Пусть (хп) — последова
тельность Коши,	сходящаяся почти всюду к нулю, и пусть X =
— limp(x„), е >	0. Выделим из (х„)	такую подпоследователь

ность (гл. VII, раздел 2, § 1, п. 4), что

P (|* „ ,+ i- x „ ft|)< e /2 fe.

Чтобы не перегружать обозначения, мы будем эту подпоследо вательность снова обозначать через (хп), и стало быть, отныне это будет такая последовательность, что

р(І хп+І — хп {) < г/2п

для любого п. Пусть

Ут, п== SUp (хт, • . ., Х п), Z m = inf (t/i, nl, • • • > Ут, «„,)•

Имеем

о < р {Ут, пт) — Р [хт) < ае/2т,

0 < Р (іУт.пт ) — Р (Zm) < ßö,

где а, ß — абсолютные константы. Итак,

Х = lim у (ут,пт)•

т->оо

Но так как, по условию, (хт ) стремится к нулю почти всюду, то это верно и для ут,пт>поскольку

Ут, пт == SU p (хт, . . • , Х„т^,

2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА 2

393

следовательно,

== inf (УI, /ij, • • • > Ут, пт)

тоже стремится к нулю почти всюду.

Но тогда последовательность (zm) убывает, и в силу аксиомы

(«9") (ц(гт)) стремится к нулю,	и окончательно,
О < Я = lim ц (ит, „	) = Н т ц (*„) < ße.
т-><х>

Итак, lim ц (хп) — 0.

Мы придадим этой фундаментальной теореме другой вид, ко торый сделает более выпуклым отношение между двумя совер шенно различными понятиями предела. Пусть (Е, ZTи) — про странство Рисса Е, наделенное топологией полунормы, опреде ленной посредством р. Не существует никакой естественной топологии в множестве измеримых функций, в которой сходи мость последовательностей была бы равносильна сходимости почти всюду; однако можно рассматривать сходимость почти всюду как сходимость в некотором индуктивном пределе топо логических векторных пространств.

В теореме об интегрировании рассматриваются последова тельности, которые будут последовательностями Коши одновре менно в (Е, £Гц) и в смысле простой сходимости почти всюду. Итак, мы придадим ей следующую форму.

Т е о р е м а об и н т е г р и р о в а н и и . Пусть Е — простран ство Рисса числовых функций, ^ — топология, определенная посредством положительной меры р. Во множестве последова тельностей, являющихся последовательностями Коши, одно временно в (Е, £Гд) и относительно сходимости почти всюду, сходимость последовательности к нулю почти всюду равносильна сходимости последовательности к нулю в (Е,ёГф).

З а м е ч а н и я . 1) Ясно, что теорема верна, если предполо жить только, что Е есть группа Рисса.

2)Пространство 9? зависит от А, Е, р.

3)В разделе 3 мы покажем, что продолженная положитель ная линейная форма р снова является мерой на 3?, т. е. удов

летворяет аксиоме (9)-, после этого станут оправданными вы

ражения «интегрируемые	функции,	интеграл	от f e S ’	есть
р(/) = Пт р ( Х п ) » , которыми мы, однако, пользуемся уже				те
перь (ср. раздел 3, § 3, теорема Б. Леви и предложение 2).
Ре з юме . Подытожим первые результаты,			полученные в по
строении пространства &.
На множестве А рассматривается пространство Рисса число
вых функций, определенных на А.
Выбирается положительная мера ц, т. е. такая положитель
ная линейная форма на Е,	что для	любой последовательности

394	ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
(хп)	функций из Е, убывающей и сходящейся	просто к нулю,
(А(л:«) сходится к нулю.		ц(\|л:\|).
Пространство Е наделяется полунормой \|\|*\|\| =

Пренебрежимым множеством называется подмножество или объединение подмножеств из А, на которых монотонная после довательность Коши из Е не сходится в R.

Пусть SB — множество функций со значениями в R, которые являются почти всюду (т. е. кроме, быть может, пренебрежи-

мого множества)	пределами	последовательностей Коши из Е
в смысле простой сходимости. Элементы из SB называются ин
тегрируемыми функциями.
Для любого f е	SB интеграл от f есть ц(/) = 1 іш ц (а:п), где
	f „ т і. Hm Хп-
Этот интеграл обозначается также
v ( f ) = j f d p		или ц ( / ) = \| / г і ц .
		А

Положительная линейная форма ц также продолжима с Е на SB, и ц(| Л) есть полунорма на ЗВ, продолжающая полунорму на Е.

Наконец, через L или SB обозначается факторпространство пространства ЗВ по отношению эквивалентности:

/ ~ Ш = £•

Проводится отождествление пространства L и пополнения пространства Е (теорема об интегрировании).

Часто уславливаются не различать ЗВ и L, рассматривая как равные две функции, равные почти всюду, или, что то же самое, считая, что всякий элемент f е ЗВ определен лишь с точностью до значений, принимаемых на пренебрежимом множестве из А.

Два основных свойства пространства ЗВ не нуждаются в до казательстве; они взяты из теоремы о пополнении метрического пространства:

1) ЗВ полно (L есть банахово пространство): для того чтобы

последовательность	(fn) элементов из ЗВ сходилась к некото
рому элементу f е	SB (в топологии пространства ЗВ), необхо
димо и достаточно,	чтобы она была последовательностью Коши,

т. е. чтобы величина

стремилась к нулю для р-* оо и q-*oо.

3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА se	395

2) Е плотно в S \			для любого [ е й ’ и любого в >		0 найдется
такое х<=Е, что			р (I / — X I) = J I f — X \d\i < 8.
	II / — X\|\| =
Р А З Д Е Л		3
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА '•£-*
§ 1.	Пренебрежимые функции
Если g — функция, определенная на А,				принимающая значе
ния в R и равная почти всюду некоторой				функции f из S , то
g ^ S .	В самом деле, так как /, по определению, является пре
делом	почти	всюду	некоторой последовательности		Коши (хп)

из Е, то это будет верно и для g.

Говорят также: произвольное изменение значений в R инте грируемой функции в точках множества А, образующих пренебрежимое множество, снова приводит к интегрируемой функции,

иинтеграл, равный lim р(хп), не изменяется.

Вчастности, всякая функция, равная нулю почти всюду, ин тегрируема, и ее интеграл равен нулю. Это верно и для функции,

равной нулю почти всюду и принимающей в остальных точках значения ±°о.

Определение. Пренебрежимой функцией называется любая Функция, равная нулю почти всюду.

Однако, если |і(/) == 0, то, вообще говоря, не будет

			f п = іЛ
Но	если f ^	0 и если	(хп) есть	последовательность Коши
из Е, сходящаяся почти всюду к /, то				х+ сходится почти всюду
к /+ (раздел 2, § 2), и
X- сходится почти всюду к
Следовательно, х~ есть последовательность Коши, сходя
щаяся	почти всюду к нулю. По теореме об интегрировании,
р(х~)	стремится к нулю. Стало быть,			ц(*+) стремится к p(f).
Предположим		теперь, что	\x(f) — 0. Отсюда вытекает, что
ц(л:+)	стремится к нулю; но (х+) есть последовательность Коши,

сходящаяся почти всюду. По теореме от интегрировании, она сходится почти всюду к нулю, и / =_0. Отсюда получаем

396	ГЛ. X.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ
П р е д л о ж е н и е .	Для	того чтобы интегрируемая положи

тельная почти всюду функция была пренебрежима, необходимо и достаточно, чтобы ее интеграл был равен нулю.

Отсюда очевидным образом следует, что

и(І/() = о=#/ = о.

§ 2. Последовательности Коши в <5?

Чтобы распространить результаты предыдущего раздела на последовательности Коши элементов из & (а не только элемен тов из Е), необходимо, в частности, выяснить, должно ли быть изменено понятие пренебрежимого множества. Иными словами, будет ли достаточно того понятия пренебрежимого множества, которое определено при помощи последовательностей Коши эле ментов из Е, когда будет идти речь о последовательностях элементов из SB, без того, чтобы возникла необходимость об ращения к монотонным последовательностям Коши в 2Е? От вет утвердителен. Результат дает первое из приводимых ниже предложений.

П р е д л о ж е н и е 1. Из любой последовательности Коши в 3? можно выбрать подпоследовательность, мажорированную почти всюду (т. е. всюду, кроме, быть может, пренебрежимого множе ства, определяемого монотонными последовательностями Коши элементов из Е).

Пусть еп — последовательность положительных чисел, удов

летворяющих условию 2 б л < + 00• Выделим из последователь ности Коши в S? такую подпоследовательность (f„), что

II fn+i — fn| | < е Л,

Каждой функции fn поставим в соответствие такую последо вательность (х„, fc)ft<=jv Функций из Е, что

II fn— хП' k II < е„/2k

для любого k, и рассмотрим	последовательность (у „) функций
из Е следующего вида:
Занумеруем функции хц, j	для і ^ п, / ^ п следующим об
разом:
и запишем

II Уп— х1, 1 l l ^ l lх1,2— х1, 1 II + II * 1 ,3 — Х П 2 II + • • • + II х 2 , 1— х\,пII І " • • •

3. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА Я

397

(гл. VII,

раздел 2, § 1, пп. 3 и 4). Имеем

II х т, к—

I K

II X m , k — fm II +

II fm — Xm , k + l I K em (1/2* +

l/2*+I),

x m + 1, 1 —* «X, m<+„i II ^

II X m , n — f m

f m + 1II +

II fm +

— X m + Il , ||

—

em/2" +l

em +

e/n+l/2-

Отсюда

l a . -

* l l l | | < 3 2 e fcf

II У п 11=^11 ^ i,

1 11+ 3 2

e fe.

Итак, (yn) есть возрастающая последовательность функций из Е; а поскольку \\уп\\ ограничена, то (у„) есть и монотонная последовательность Коши, значит, сходится почти всюду к неко

торой функции F е 2 ,			и
			У п	<
				п. В .	хг-, ,• ^ Уп, следовательно, для
Но для i sg: я		и / ^	п имеем		хг-, ,• ^ Уп, следовательно, для
k	п имеем
			x k, п ^	У п	Е •
Если зафиксировать k,			то
			X k ,	п	F
				п. в.
а так как (хи,п)п сходится почти всюду к /*, то
			f k < P ,
что и требовалось доказать.
Сл е д с т в и е .		Всякая монотонная последовательность Коши
из S	сходится почти всюду.
В самом деле		(для определенности предположим, что после

довательность возрастает), из нее можно выделить мажориро ванную почти всюду последовательность; а так как последова тельность возрастает, то она сходится почти всюду.

Из этого предложения мы получаем распространение на по следовательности Коши из S результатов, полученных в преды дущем разделе для последовательностей Коши из Е.

П р е д л о ж е н и е 2. Из любой последовательности Коши в S можно выделить сходящуюся почти всюду подпоследователь ность. Из любой эквивалентной нулю последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к 0.

Доказательство ничем не отличается от доказательства предложения из § 1 (п. 4), раздел 2. Наконец, можно уточнить следующий пункт: если (fn) — последовательность Коши в S ’,

то в силу полноты	пространства	S ’ существует такая	функция
f е S ’, что \|\|/ п — fll	стремится к	нулю. Стало быть,	применяя

398			ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е		(f„ — f), заключаем,
вторую часть предыдущего предложения к					(f„ — f), заключаем,
что существует подпоследовательность последовательности						(/п),
сходящаяся почти всюду к f.
Эти результаты подытоживаются следующей теоремой.						Су
Те о р е ма . Пусть			(fn) — последовательность Коши в 3 .			Су
ществует такая функция f е 3 ,				что
			üm \|\|/ „ - f \|\| = 0,
			П - » о о
где Ц/Il = p(\|f\|),		и такая подпоследовательность (f„A) последо
вательности (fn),		что:
	со
а)	2\|[/nft+1— fnk I		есть сходящийся ряд-,
	оо
б)	S (fns+I(0 — fnk (t)) есть			абсолютно	сходящийся почти

всюду ряд, и его сумма равна почти всюду функции f.

§ 3. Интегрирование последовательности функций из Jg

Одним из важнейших вопросов является вопрос о так назы ваемом переходе к пределу. Если (fn) — последовательность функций из 3? и если fn сходится в каком-либо смысле к некото рой функции f, то возникает вопрос: будет ли f принадлежать 3?

и будет	ли p(f)	= lim p(fn), или,		иными словами, при каких
условиях	можно	почленно	интегрировать		последовательность?
1. Теорема Беппо Леви.			Если	(fn) — возрастающая почти
всюду последовательность			функций	из 3 ,	интегралы которых

мажорированы, то она сходится почти всюду к некоторой функ ции f из 3 , и

р ( /) = lim p(fn).

П-+оо

В самом деле, условия теоремы означают, что (f„) есть по следовательность Коши в и значит, найдется такая функция f e . 3 , что р(|/ — fn I) стремится к нулю. Но так как существует последовательность fnk, сходящаяся почти всюду к /, и так как

fn возрастает, то fn сходится почти всюду к /. А так как, кроме того, f — fn&z 0, то

следовательно,

р ( / ) = 1 і т р ( / „ ) .

Из теоремы Б. Леви вытекают следующие три предложения.

П р е д л о ж е н и е 1. Если (fi)— счетное семейство элемен тов из 3 , мажорированное (соответственно минорированное)

3. С В О Й С Т В А П Р О С Т Р А Н С Т В А St

399

элементом g <= 3 , то верхняя оболочка sup / і (соответственно нижняя оболочка inf /г) принадлежит 3 .

Достаточно заметить, что последовательность, образованная Функциями

g ^ s u p / , ,

возрастает, мажорирована функцией g, и значит, p(gn) ^ p(g),

и sup f i = sup g i \	после	этого предложение следует из теоремы
Б- Леви.		Положительная линейная форма ц, про
П р е д л о ж е н и е 2.		Положительная линейная форма ц, про
долженная с Е на S ’, есть положительная мера на 3 .
Действительно,	если	(fn) — убывающая последовательность

положительных функций из 3 , то fn сходится к функции f е 3 (предложение 1). Так как последовательность ц(/„) положи тельна и убывает, а значит, имеет предел, то (fn) есть последо вательность Коши; следовательно, предел f принадлежит 3 , и


H(f) =	lim n(f„). В частности, если /„	стремится к нулю почти
всюду,	то ц(/„) имеет пределом ц(0) =	0, так что аксиома (3)
выполнена для формы ц, продолженной на 3 .			пренебрежимых
П р е д л о ж е н и е 3. Счетное объединение
множеств есть пренебрежимое множество.			пренебрежимых
В самом деле, пусть et — счетное семейство

множеств, ц>е<— их характеристические функции и

Поо

e'n= [Jeh	е = []е {.
1	1

Последовательность множеств е'п возрастает, последовательность

Функций <ре' тоже возрастает и сходится (просто) к сре. Так как

то ^qpg/j есть последовательность Коши. Стало быть, она схо

дится (просто, в данном случае в каждой точке) к интегрируе мой функции, каковой будет <ре, причем ц(фе) = 0, так как ц ^<pe/j = 0; тогда

ЧѴ-ГТ.0-

Таким образом, множество, на котором cpe(t) Ф 0, пренебре жимо; но множество точек, где <ре(0 ф 0, есть множество, на котором cpe{t) = 1, т. е. представляет собой множество

оо

e = \Jei.

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4940 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ