книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ
.pdf380 |
ГЛ . X. И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е |
|
Напротив, если А локально компактно, но не компактно, то |
||
подпространство &к(А), вообще |
говоря, не содержит cpK, ибо |
|
фк не будет непрерывна на А. |
|
|
2) Положительная мера на 'ё’(А), вообще говоря, не будет |
||
непрерывной, если |
наделить ^(Л ) |
нормой равномерной сходи |
мости, поскольку неравенство ||х(х)| |
г£Г М||х|| верно не для всех |
непрерывных функций с компактным носителем. |
|
Пр и м е р ы . 1) Считая (как это |
делается в элементарных |
курсах), что на R определен интеграл от непрерывных функций на компактном интервале [а, Ь], полагаем для любой непрерыв
ной функции с компактным носителем рі (лг) = J x(t)dt. Тем са
мым определена положительная линейная форма на простран стве непрерывных числовых функций с компактным носителем в R, и если носитель функции х содержится в [а, Ь], то, в соот
ветствии |
с элементарными свойствами, получаем неравенство |
м * ) | < |
(Ь — а)\\х\\, где ' |
|
II X1= sup \х (t) |. |
|
t |
Таким образом, один из методов определения этой меры состоит в том, чтобы рассмотреть вначале элементарную меру на интер валах [а, Ь[, положив ц([а, b[) — b — а, а затем определить р(х), заметив, что х есть равномерный предел ступенчатых функций.
Это мера Лебега.
Эта мера не ограничена на' R, независимо от того, какую из двух точек зрения мы принимаем; ибо если взять клан Г, поро жденный интервалами [а, Ь[, где а и b конечны, то R ф Г, и когда мы строим интеграл от непрерывных функций, функция, рав ная 1 на R, оказывается неинтегрируемой; если же предполо жить известным интеграл от непрерывных функций, то, рассмат
ривая |
функции |
х„, |
определяемые |
как |
xn(t) = xn(—/), xn(t) = |
||
= 1 — t/n, если |
0 ^ |
t sg: п, xn(t) |
= 0, |
если |
t ^ n , |
получаем |
|
ix(x„) = |
п I U J , и, следовательно, неравенство |
| ц(*) | ^ |
М ||л:|| не |
||||
может выполняться для всех х с константой М, не зависящей
от X. |
Пусть f — непрерывная |
положительная функция с ком |
|
2) |
|||
пактным носителем на R (например, |
f ( t ) — t(l — t) на [0,1], |
||
f(i) = |
0, если /^[0 ,1 ]). Для |
любой |
непрерывной функции х |
рассмотрим |
|
|
|
И- (х) =
в соответствии с предыдущим понятием интеграла. Имеем l n W K I U l l J f(t)dt.
Тем самым определена ограниченная мера.
|
|
I. |
Ч И С Л О В Ы Е М ЕРЫ |
381 |
|||
3) |
Пусть / — такая |
непрерывная |
положительная функция |
||||
на R, |
что если [<| |
достаточно |
велико, то |
f{t) ;g: М /|/|а+>, где |
|||
а > 0 |
(например, |
f (^) = |
|
1/(1 + |
^2) ). |
Для |
любой непрерывной |
функции X с компактным носителем полагаем |
|||||||
|
|
[і (х)= j x(t)f(t)dt. |
|
||||
Снова имеем такую меру, |
что |
|
|
|
|||
|
|
\ц(х) |
K I U I I J f(t)dt\ |
|
|||
при этом интеграл берется от —с» до Ч-°°-
§ 5. Обобщение понятия меры
.До сих пор мы рассматривали лишь положительные меры на пространстве Рисса, т. е. положительные линейные формы, удов летворяющие аксиоме (У). Мы видели, что в случае непрерыв ных функций с компактным носителем эта аксиома (У) вы текает из теоремы Дини. Можно, следовательно, пытаться рассматривать на пространстве Рисса не обязательно положи тельные линейные формы, но удовлетворяющие условию непре рывности, которое заменит аксиому (У). Для этого требуется, чтобы пространство Рисса было наделено некоторой топологией.
Мы предположим, что пространство Рисса Е числовых функ ций наделено некоторой нормой (или полунормой), обладающей тем свойством, что если х ^ 0 и \у\ ^ х, то ||г/|| ^ ||х||. Мы по кажем, что если ц — непрерывная линейная форма на Е, то она представима в виде разности двух положительных линейных форм.
Прежде всего мы установим несколько лемм.
Для первой леммы не требуется, чтобы Е было простран ством Рисса, а требуется только, чтобы оно было упорядоченным векторным пространством, т. е. нужна прежде всего упорядочен ная группа по сложению (гл. II, раздел 2, § 6) и притом такая, чтобы внешний закон согласовывался с порядком, т. е. чтобы
для любого скаляра а > 0 выполнялось х |
0 ф ах |
0. |
|
|
|||
Л е м м а 1. Пусть Е — упорядоченное действительное вектор |
|||||||
ное |
пространство и |
f — такая |
числовая |
функция |
на |
Е, |
что |
f(x + |
y ) = f(x) + f ( y ) |
и что X ^ |
0 #>/(*) |
0; joeda |
f |
есть |
по |
ложительная линейная форма на Е. |
|
|
|
|
|||
Достаточно показать, что если а —действительное число, то |
|||||||
/(ах) |
= а/(х). Но для любых х и у имеем |
|
|
|
|
||
/(* + y) = f(x) + f(y).
Значит,
/(х + 0) = /(*) = /(х) + /(0),
1. |
ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ |
383 |
||
|
|
|
|
|
Ясно, что если 2 ^ 0, то f(z) = |
f(z) ^ |
0, и |
|
|
f(* + |
2') = |
f(z) + |
f(z'). |
|
Следовательно, по лемме 1, f — линейна.
Единственность формы f вытекает из того, что Е порождается своими положительными элементами (т. е. если известны поло жительные элементы из Я и если для х > 0 и у > 0 sup (х, у) е
то |
остальные элементы z e £ получаются, если |
рассмот |
реть г = у — х). |
|
|
Теперь докажем теорему. Рассмотрим пространство Рисса |
||
числовых функций, наделенное такой нормой, что если |
\у \ ^ х, |
|
то \\у\\ ^ |
ІМІ; и пусть / — непрерывная линейная форма. |
|
Если найдется такая положительная линейная форма g, что g(x) > / ( х ) для любого xjJsO, то h = g — f будет также поло жительной линейной формой, и тогда f = g — h.
Так как / непрерывна, то
\ Ну ) \ < Щу \ \ ,
а если I у |^ х , то
|/(г/)|<У И ||х||.
Стало быть, можно рассматривать верхнюю грань чисел f(y) для всех тех у, для которых 0 ^ у ^ х. Пусть теперь
g(x) = sup f(y).
Так как /(0) = 0, то g(x), как верхняя грань чисел, содержащих нуль, положительно или равно нулю.
Следовательно, g (х) ^ 0 для любого х ^ 0. В силу леммы 2 остается доказать, что для х ^ 0, х' ^ 0
g (* + *') = £(*) + g(x').
Но
g(x) + g(x' )= sup f (y)+ |
sup f (y') = s u p |
f (у + y') |
|
(для |
0 < y < x , |
0 < г /'< х '); |
|
а так как |
|
|
|
sup f (г/+ |
*/')< sup |
/(*/") = £(* + |
*'), |
TO
?W + g M < g ( x + A
С другой стороны,
g ( x - f x ' ) — sup f ( у ) ~ sup (/(inf (x, у)) + f(y — in!(x, {/)))<
384 |
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
Но inf (*, г / Х X, а поскольку у — inf {х, у) = sup (*, у) — х, то
О < у' — inf (х, у') ^ х'.
Отсюда
g (х + * 'Х g (х) + g (x'),
и окончательно,
8 (х + x') = g (х) + g (x').
Наконец, форма g непрерывна, ибо определение формы g влечет
Іг (* )І< |
sup | /(#) Х М || х\\. |
|
|
||
|
|
о < г / < * |
|
|
|
Сформулируем результат. |
|
|
|
функ |
|
Т ео р ем а . Пусть Е — пространство Рисса числовых |
|||||
ций, наделенное такой нормой, что если 0 sg; |
\у\ ^ х , |
то |
\\у\\ ^ |
||
^ ||х||. Тогда всякая непрерывная линейная |
форма |
на Е есть |
|||
разность двух положительных непрерывных линейных форм. |
|||||
Таким образом, |
если |
Е — пространство непрерывных |
функ |
||
ций, определенных |
на компактном пространстве, и если |
взять |
|||
||*|| = sup| x(t)\
tf = А
(норма равномерной сходимости), то непрерывная линейная форма ц на Е является разностью двух положительных линей ных форм, и значит, двух положительных мер.
Поэтому в этом случае мерой (или мерой Радона) назы вается любая непрерывная линейная форма на этом простран стве, наделенном нормой равномерной сходимости.
Р А З Д Е Л 2
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА 2
Пусть Е — пространство Рисса числовых функций, опреде ленных на множестве А, и ц — положительная мера на Е.
Каждому х ^ Е поставим в соответствие ||*|| = ц( \х \); тем самым на Е определена полунорма, так как ц есть положитель ная линейная форма. Пополнение пространства Е по этой полу норме является пополнением полунормированного пространства Рисса при помощи положительной линейной формы; оно обла дает свойством, доказанным в главе VIII. Для построения по полнения требуется лишь свойство формы ц быть положительной линейной формой: Но, как мы уже объясняли во введении, чтобы отождествить пополнение пространства Е с пространством 9? числовых функций, необходимо использовать аксиому 3. (Мож но даже в процессе доказательства заметить, что аксиома (3)
386 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
условие |
lim |
[х (| хр— xq D== 0 влечет для монотонной после- |
|||
|
р->°О, ?->00 |
|
|
|
|
довательности |
Нт |
(и, (хр) — [г (Хд)) = 0; |
|
||
|
|
|
|||
|
|
р - > о о , q->°o |
|
|
|
таким образом, |
(|х(*п)) |
есть последовательность Коши в Ü и |
|||
значит, |
сходится. Обратно, если |
(х„) — такая возрастающая по |
|||
следовательность, что |х (хп) имеет конечный |
предел (или, что |
||||
то же |
самое, такая, что ц(х„) |
ограничена, |
поскольку \і{хп) |
||
возрастает вместе с п, если возрастает хп), |
то [х(|хр — xq\) |
||||
стремится к нулю. |
|
|
|
||
Итак, монотонная последовательность Коши в Е есть моно тонная последовательность, все интегралы которой ограничены.
Обозначим для такой последовательности через е множество (которое может быть пустым) тех і е Л , в которых последо вательность хп не сходится (в смысле простой сходимости), т. е. для любого і е е с Л имеем
lim \x n{f) 1= + оо. п-»°°
Определение. Пренебрежимым множеством называется лю бое подмножество множества е, обладающего тем свойством, что существует монотонная последовательность Коши из Е, не схо дящаяся на этом подмножестве в смысле простой сходимости.
2. Выражение «почти всюду». Когда некоторое свойство или соотношение, относящееся к функциям со значениями в R, будет иметь место для любого і ^ А , кроме, быть может, пренебрежимого множества, то мы будем говорить, что свойство или соот ношение справедливо почти всюду. Если требуется уточнить, что речь идет о мере |х (например, в случае, когда в рассмот рение входят несколько мер), то мы будем писать р-почти
всюду или почти всюду относительно |
|
|
собой |
всюду, |
||
Так, |
если |
две функции f a g равны между |
||||
кроме, |
быть |
может, пренебрежимого |
|Хмножества. |
, |
то мы |
будем |
говорить, что они равны почти всюду, и записывать
Это отношение есть отношение эквивалентности между функ циями со значениями в R. Точно так же вводятся отношения
f < g, |
f = h + g, и т. д. |
п. в. |
п> в- |
Что касается суммы h -f g, то мы предположим, что эта сумма имеет смысл всюду, кроме, быть может, пренебрежимого мно жества е; если же для і е е сумма h(t) + g ( 0 не определена (скажем^ h (t)'= +°°> g(t) = —оо), то мы придадим ей по со глашению любое значение.