вать, будет ли последовательность х„ функций из Е сходиться каким-либо образом к f; но при этом требуется, чтобы интеграл р(хп) имел предел и если другая последовательность уп схо дится тем же способом к /, то чтобы р(г/п) имел тот же предел, что и р(хп); тогда полагаем
р ( / ) = limp(x„).
Но для того, чтобы все функции f снова составляли простран ство Рисса, необходимо, чтобы функция |/| тоже была интегри руемой.
На компакте такая сходимость, как равномерная, оказы вается слишком грубым понятием, ибо известно, что если исхо дить из интеграла от непрерывных функций, то мы не придем к множеству всех интегрируемых функций; если же исходить из ступенчатых функций на интервале [а, Ь] из R, то получим ярус ные функции, которые содержат непрерывные функции, но не содержат функций, о которых известно, что они интегрируются
элементарным способом.
Стало быть, следует обратиться к простой сходимости. Она также может показаться слишком грубой, поскольку интеграл от ступенчатой функции на [а, Ь] не меняется при замене значе ний функции в конечном числе точек. Однако, как мы увидим, этой сходимости достаточно. Итак, естественно сделать допу щение, что если хп сходится просто (а в этом случае и \хп \ схо дится просто), то р(хп) сходится, равно как и p(|x„|), к конеч ному значению. В частности, если х„ возрастает и сходится к функции /, предполагаемой интегрируемой, то, рассмотрев хп — / или f — хп, мы приходим к предположению, что если последо вательность хп функций из Е убывает и сходится просто к нулю,
то р.(Хп) стремится к нулю.
Этого условия достаточно для построения интегрируемых функций исходя из Е. В самом деле, из леммы Фату будет вы текать, что если последовательность положительных функций хп сходится (почти всюду) к функции f и если р(хп) имеет конеч ный предел, то f интегрируема. Предыдущее условие, обозна чаемое как аксиома (Д), будет формулироваться различным об разом, в зависимости от условий, налагаемых на пространство
Рисса Е.
Так, когда Е будет множеством непрерывных функций на компакте, аксиома (Д) будет эквивалентна, по теореме Дини, непрерывности р, если наделить Е топологией равномерной схо димости; это будет мера Радона. В том случае, когда Е будет
множеством ступенчатых функций
на
клане Г подмножеств
X, У, ... множества А, задание р
будет
равносильно заданию
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
371
меры в элементарном и интуитивном смысле, и аксиома (Д) будет эквивалентна счетной аддитивности, т. е.
с о
с »
X (JX„, Хі ПХ/ = 0
при іф ]= $ \і(Х )= '2 ,\і(Х я).
I
Это введение обосновывает принятые исходные условия; в последнем параграфе этого раздела будет дано более общее понятие меры, не обязательно положительной.
§ 2. Положительная мера на пространстве Рисса числовых функций. Аксиома ( Д)
Пусть А — множество, элемент которого обозначается через t, и пусть X, у, z, ... — (конечные) числовые функции, определен ные на Л и образующие пространство Рисса Е.
Определение. Положительной мерой на пространстве Рисса Е числовых функций называется положительная линейная форма р, удовлетворяющая аксиоме:
(П) Для любой убывающей последовательности (хп) поло жительных функций из Е, сходящейся просто к 0, последователь ность р (хп) сходится к нулю.
Это определение нуждается в следующих замечаниях:
1) Так как р — положительная линейная форма, то для воз растающей (соответственно убывающей) последовательности (хп) элементов из Е последовательность (р(хп)) действительных чисел возрастает (соответственно убывает).
2) Если хп — возрастающая последовательность, сходящаяся просто к некоторому х е Е, то х — хп есть убывающая последо вательность, сходящаяся к нулю, и
р (х — хп) = р (*) — р (хп)
стремится к нулю; это замечание позволяет иногда заменять аксиому ( Д ) ее эквивалентом: из того, что х п возрастает и схо дится просто к X <= Е, следует, что р(х„) сходится к р(х).
Обозначения и терминология. Значение формы р для эле мента х ^ Е называется интегралом от х относительно меры р,
или ß-интегралом,или, если нет опасности путаницы, просто интегралом. Говорят, что всякая функция из Е интегрируема.
Записывается
р (х )= [ xdß,
или p(x) = j" x(t)dp(t).
А
А
Вместо того, чтобы говорить о мере на Е, говорят также о мере на множестве А.
372
ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е
П р и м е р ы .
В двух последующих параграфах будут изло
жены два важных теоретических примера; те же примеры, ко торые приводятся здесь, являются их частными случаями, но могут быть определены уже теперь.
1)
Пусть
Е — пространство Рисса числовых
функций, опре
деленных
на
множестве А, и а — точка из
А.
Если каждому
х ^ Е
поставить в соответствие р(х) — х{а), т. е. значение функ
ции X
в точке а, то в силу того, что Е — векторное пространство,
р будет линейной формой на Е\ если х ^ 0,
то х(а) ^ 0, и зна
чит, p(x)
^ 0. Если последовательность (хп)
убывает и сходится
просто к
нулю, то хп (а) убывает и сходится к нулю, и стало
быть, то же самое имеет место для р(х„) = хп (а) ; следова тельно, аксиома (У) выполняется.
Говорят, что эта мера определена посредством единичной массы, помещенной в точке а.
2) Пусть L1(N) — множество таких последовательностей х = = (Iи) действительных чисел, что
00
S1i l k К + 00.
Каждая последовательность х есть числовая функция, опреде ленная на множестве А — N, и Ll(N) есть пространство Рисса. Пусть р —линейная форма, определяемая равенством
о о
ц (*) = 2 U\ I
она положительна. С другой стороны, если (хп) — убывающая последовательность, сходящаяся к нулю, то это означает, что для любого k последовательность чисел (£„,*)„ убывает и стре мится к нулю; выбрав достаточно большое ш, так, чтобы
5 \ 1 п л \ < ф k=m-¥\
при любом п (что возможно в силу того, что хп убывает), по лучаем для достаточно больших п
m
2 I ln, k I < e / 2 k= i
и, следовательно,
| ц ( дс ) Кр ( | дс | ) < в
для достаточно больших n.
Итак, на Ll(N) определена положительная мера. Ограниченная мера. Если характеристическая функция с р А
множества А принадлежит Е, то мера р называется ограни ченной.
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
373
Сужение меры. Пусть
Е — пространство
Рисса числовых
функций, определенных на
множестве А, и р — положительная
мера; и пусть А' — подмножество множества
А. Сужёния х'
Функций л: из £ на множество/!' образуют пространство Рисса Е'
Сопоставим
каждой функции
/ е £ ' функцию } на А,
полагая
f ~ f на А',
/ = 0 на А — А'.
Полученное множество
функций
обозначим снова Е'. Предположим, что Е' есть подпространство пространства Е. Тогда можно рассматривать сужёние р' меры р на £', положив p'(x') = p(xr'); тем самым, очевидно, определена мера, называемая индуцированной мерой.
§ 3. Положительная мера на пространстве ступенчатых
функций
Пуёть
А — заданное множество, Г — клан подмножеств X,
Y, Z, ...
множества А (гл. VIII, раздел 2, § 1); и пусть Е — мно
жество ступенчатых числовых функций на А относительно Г. Множество Е является пространством Рисса и содержит харак
теристические функции фх множеств Х б Г .
на £; так как
Пусть р — положительная линейная
форма
каждое х е Е может быть записано в виде
где Хі [) Xj — 0 , если і ф
j, и где все а,- равны нулю, кроме ко
нечного числа (или нуля)
из них, то, положив
р(фхг) =
р(Х()
для любого Хі е Г, получим
Р (х) — 2
а , р ( ф х £) = 2
а / p (ХА.
Те о р е ма . Для того
чтобы положительная
линейная
фор
ма р на пространстве Е ступенчатых функций на множестве А относительно клана Г была мерой, необходимо и достаточно, чтобы из условий
00
Я„е=Г,
*„=>*„+„ Г \Х п= 0
следовало равенство
Нт р (Хп) = 0.
оо
Иными словами, аксиома (У)
Хп 4 0 ф р (хп) { О
эквивалентна утверждению:
00
Хпе э Хп+1>
Хп= 0 Ф р ( Хп) I 0 .
1
374
ГЛ . X . И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Е
Условие необходимо, ибо если р — положительная мера, то условие Хп го Хп+\ эквивалентно тому, что tp^ убывает, а
условие
оо
П1 Хп = &
эквивалентно тому, что
lim фХп(0 = 0
П-> оо
для любого і е Д ; следовательно, р(Хта) стремится к нулю. Покажем, что условие достаточно. Пусть (хп) — такая после
довательность элементов из Е, что хп ^ хп+і для любого п и
lim xn(t) — О
П ~ > с о
для любого
t ^ A .
Пусть
X — подмножество
из А, на котором
Хі(^)>0,
и
Л4 =
тахл:і (t). Для
е > 0
обозначим через Вп
множество
тех і е Д где
xn{t) >
е. Так
как
хп — ступенчатая
функция, то Вп е
Г и X —- Вп — С„ е Г. Тогда
хп < Щ в п + ефс„;
поскольку р есть положительная линейная форма, то
р (хп) < Мр (Вп) + ер (Сп) < Мр (Вп) + ер (X).
Так как хп убывает и стремится к нулю и так как Вп есть множество тех t, для которых xn(t) > е, то П Вп = 0 ; значит,
p
(ß n) стремится
к нулю по предположению; следовательно,
1
ітр (Х п Х ер(Х),
чем доказано, что
lim р (*„) = 0.
П ~ > оо
Теперь мы можем принять следующее определение.
Определение положительной меры на клане. Положительной мерой на клане Г подмножеств множества А называется отобра жение р клана Г в R+, удовлетворяющее следующим условиям:
1)
Если І е Г ,
У е Г и Х()У = 0 ,
то
p (*UT) =
p (*) +
p (T).
2)
Если Хс~Y,
то р (X)s^ р (У) *).
ОО
3)
Если
XnZiXn+ 1
и f ] X n= 0 , то iimp(Xn) = 0.
j
П ~ > о о
) Условие 2) следует из условия 1) и выделено для наглядности.
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
375
Говорят,
что мера р ограничена, если А е
Г, и значит,
если
р(Л) конечна.
подмножество
Х е Г ,
р(2Г) называется
Каково
бы ни было
мерой, или
интегралом
подмножества
X множества А, а
само
множество X называется измеримым, или интегрируемым.
Из предыдущей теоремы вытекает, что если для любой сту
пенчатой функции л: на Л вида
х = 2 аіФл-г (Где
попарно не
пересекаются) положить
Ц О) = 2
ЯгИ №)>
то на пространстве ступенчатых функций будет определена по ложительная мера в смысле § 1.
Приведенное определение' (часто употребляемое) интересно тем, что оно исходит из более интуитивного понятия меры; усло вие 1) есть условие так называемой конечной аддитивности-,условие 2) есть условие возрастания, соответствующее включе нию. Однако важно показать, что условия 1) и 3) эквивалентны полной аддитивности, т. е. если счетное семейства попарно непересекающихся элементов Хп из Г имеет своим объединением некоторый элемент X е Г, то
со
д ( Х ) = 2 ц ( Х „ ) ;
иными словами,
/г=1
оо
Х = и * „ и
ХгПХ/ =
0 (і ^
/ ) 4 р (Х) = 2
й (Х„).
В самом деле, допустим, что
Xnzo Хп+] и
П
= 0
lim р (Хп) =
О,
Если Х = и^Гг^Г,
то,
положив
Zn = X ~ ( ] X t,
1
получим ZnzDZn+l и f)Zn— 0 ; следовательно,
li(Z n) = p ( X ) - J { J X c
' I
стремится к нулю. Если, кроме того, Хі П Xs — 0 для і Ф /, и если допустить конечную аддитивность, то
} х ( и ^ ) = І р № ) .
со
Стало быть, ряд 2 ^ № ) сходится, и его сумма равна р(Х).
376
ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Обратно, допустим, что имеет место полная аддитивность (что влечет конечную аддитивность) и пусть имеется такое счет ное семейство Xit что
оо
Xt =>Xt+i
и
f)X< = 0 .
1
Пусть Yi — Хі — Хі+й имеем
У,
П Yj =
0 , если і ф /, (J У* —
— Хи и значит,
оо
Ряд
1
00
2 и (у<)
сходится, и следовательно,
lim 2 р ( У г) =
0;
но
П~>°о п
2м.(Уг) = Ц.
(J Уі) =
р (Хп),
п
\ „
и стало быть, р(Хп) стремится к нулю. Итак, можем сформулировать результат:
П р е д л о ж е н и е . Положительная мера на клане 1' опреде ляется отображением р клана Г в R+, удовлетворяющим сле дующим условиям:
1) если Л е Г , У е Г и X а К, то р (X) < р (У);
оо
2) если Х„<=Г, J = ( J j „ e r
и Х{(]Х, = 0 (і ф } ), то
p (X) = 2
p (z „).
I
Пр и ме р ы . 1) На множестве А рассматривается клан, по рожденный разбиением множества А на одноэлементные под множества {/}; определяем меру, полагая р (0 ) = 0 и р({0) —
=1 для любого t е А.
Так, в случае A = N ступенчатая функция будет конечной
последовательностью х =
(|&)
(где \ъ. = 0, кроме конечного
числа индексов) и р(*) =
2£*-
Построение пространства L1(N)
по методу, который будет изложен в следующем разделе, при ведет к пространству L '(N) предыдущего параграфа (приме ры, 2)).
1. Ч И С Л О В Ы Е М ЕРЫ
377
2) Рассмотрим на числовой прямой клан, порожденный ин
тервалами [а, Ь[, и определим меру, положив
р([а,Ь[) = Ь — а.
Тем самым мы определили меру Лебега.
определить меру
Вообще, исходя из того же клана,
можно
(которая будет изучаться в этой главе)
посредством непрерыв
ной слева возрастающей числовой функции f, если положить ц([а, b[) = f(b) — f(a).
Сужение меры. Пусть Е' — подпространство ступенчатых функций на множестве А относительно клана Г; можно снова, как и в предыдущем параграфе, рассматривать сужёние меры р, на Е'. Можно также рассматривать элемент І е Г и следы на X других элементов из Г; положим р*(У) = р(У) при Уе Г , У с Х ; тем самым будет определена мера pjr на ступенчатых функциях на X. Она называется индуцированной мерой.
§ 4. Положительная мера Радона
Во всем, что излагалось выше, множество А не предполага лось наделенным топологией. Если А —топологическое простран ство, то множество всех непрерывных числовых функций на А есть пространство Рисса. Но можно также получить простран ство Рисса, состоящее из непрерывных функций, так, что при этом рассматриваются не все непрерывные функции. Например, пространство Рисса образует множество Е непрерывных функ ций на R, обладающих тем свойством, что для любой функции
найдутся такие два числа а > О, М > 0, что при доста точно большом |/| выполняется неравенство \x{t) \ ^ M/ta+1.
Мы рассмотрим тот важный случай, когда А есть локально компактное топологическое пространство.
Пусть f есть функция, определенная на топологическом про странстве А и принимающая значения в векторном простран стве F. Носителем функции f называется замыкание в А множе ства тех t е А, для которых f(t) Ф О.
Если А не только локально компактно, но и компактно, то поскольку замкнутое множество в компактном пространстве компактно, всякая функция со значениями в F имеет компакт ный носитель. Если пространство А локально компактно, но не компактно, то для функции с компактным носителем существует компактное множество К, вне которого функция обращается в нуль. Обратно, если х — функция, равная нулю вне некоторого
компактного множества К, то
ее носитель
содержится
в К‘,
а так как носитель замкнут, то он компактен.
функ
Пусть теперь Ф — множество
непрерывных числовых
ций, определенных на локально
компактном
пространстве А и
378 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
имеющих компактный носитель, или, что то же самое, обращаю щихся в нуль вне некоторого компактного множества (меняюще гося вместе с функцией). Это множество будет пространством
Рисса, ибо если
х е ® 7, г /е ®7, то х + г/е® 7 и Я хе® 7 (Я —
дей
ствительное); а
так как
функция |х|
непрерывна и имеет
тот
же носитель,
что и х, то
|х|
е ® 7.
на Й7 положительную
Можно,
следовательно,
определить
меру, как в предыдущем параграфе. Важным является тот факт, что для такой меры аксиома {&) автоматически выполняется. Мы докажем следующую теорему.
Т е о р е м а 1. Любая положительная линейная форма на про странстве Рисса непрерывных числовых функций на локально компактном пространстве, имеющих компактный носитель, яв ляется положительной мерой.
Пусть А — локально компактное пространство, (х„)—убы вающая последовательность непрерывных положительных функ ций с компактным носителем, сходящаяся просто к нулю, и ц — положительная линейная форма на пространстве ®7непрерывных функций с компактным носителем. Надо доказать, что
lim р (х„) = 0.
П-> оо
Так как х„ ^ хп+х ^ 0 для любого п, то все носители функ ций х„ содержатся в носителе функции хх, который мы обозна чим через К.
Теорема Дини в применении к убывающей последовательно сти хп непрерывных функций на компакте К доказывает, что из простой сходимости к нулю последовательности х„ следует ее равномерная сходимость. Пусть для любого х е ® 7
IIXII = supt x(t) I,
т. e. норма равномерной сходимости. Тогда для предыдущей последовательности хп имеем lim ||хп|| = 0 .
С другой стороны, поскольку К — компактное множество в локальном компактном пространстве А, то существует компакт ная окрестность множества К, т. е. компактное множество К', содержащее открытое множество О, содержащее К\ Kcz О с: К'. Множества К и К' — О замкнуты в компактном пространстве К'\ по теореме Урысона найдется непрерывная функция и, прини
мающая свои значения в [0,
1], обращающаяся в нуль на К' — О
и равная 1 на К. Положим
и = 0 вне О; тогда функция и не
прерывна и имеет компактный носитель, а значит, принадле
жит ®\
х„ ^ ||х„||м; а так как р — поло
Таким образом, имеем 0 ^
жительная линейная форма, то
Р (.Хп) ^
II Хп II Р {Ц)>
откуда limp(*n) = 0 .
1. ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ
379
Тем самым теорема доказана. Но, кроме того, если
и
если К — носитель функции х, то найдется компакт / ( 'то К и не прерывная функция и, принимающая значения в [0, 1], равная нулю вне К' и равная 1 на К\ это снова дает нам
— IIX II X^ || XII«;
а поскольку р — положительная линейная форма, то
—IIXII р ( « X р (х) < II л II р (и),
или
I p W К IU IIp W -
Константа р (и), определяемая множествами К к К', а зна чит, множеством К, одна и та же для всех функций х, носитель которых лежит в К. Следовательно, если — подпространство непрерывных функций, носитель которых принадлежит компакт ному множеству К и если Я?к наделено нормой равномерной сходимости, то сужёние р на %?к есть непрерывная линейная форма.
Наконец, отметим, что верно и обратное, ибо если для любого выполняется неравенство | р(х) | ^ MK||x||, где Мк — постоянная, и если хп ^ 0 убывает и стремится к нулю, то ||х„||
стремится к нулю, а стало быть, и p(x„).
Таким образом, мы можем уточнить теорему 1 следующим образом.
Т е о р е м а 2. Пусть А — локально компактное пространство,
& (А )— пространство Рисса непрерывных
функций с
компакт
ным носителем, к (А) — подпространство,
состоящее
из функ
ций, носитель которых содержится в компактном множестве К. Всякая положительная мера на ff(A) есть положительная ли нейная форма, сужёние которой на 'ё’к(А), наделенное нормой
равномерной сходимости, непрерывно.
назы
Определение.
Положительной мерой Радона на (А )
вается любая положительная линейная форма на Ч?{А).
мно
З а м е ч а н и я .
1) Отметим,
что если
А — компактное
жество, то пространство &(А)
содержит
характеристическую
функцию фл множества А, поскольку фл есть непрерывная функ ция на А, имеющая носителем компакт А. Следовательно, если на ^(Л ) задана положительная мера Радона, то в силу компакт
ности множества А для любого
x ^ W ( A ) будут выполняться
неравенства
\ х КII XII • Фа И I
р w К IIх IIР (фД
Говорят также, что мера ограничена, или, еще, что простраң* СТво А имеет ограниченную меру.
