книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

ских векторных пространств.

3. Пространство (с). Пространство (с) есть пространство сходящихся последовательностей, наделенное нормой простран­ ства L°°(N)\ стало быть, это есть подпространство пространства

L°°(N).

Так как для любого 1 ^ р < + °° из того, что x ^ L p (N), следует

lim I и 1=0.

оо

то

L”(N) cz (с) cz L°° (JV).

Легко видеть, что (с) тоже является банаховым простран­ ством.

Пусть для X = (ifc) е (с) справедливо равенство

П

Если xn = ^1i l kek, то

IU — Хп 1 1 =sup \lk I

k > t l

не стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности, кроме

Следовательно,

оо

x = le + 2i(lk — t)ek, fe=i

и если f — непрерывная линейная форма на (с), то

определяет непрерывную линейную форму, и мы можем запи­ сать:

ществует, так как (afe) s L ‘ (N)). Взяв теперь £ft=sign (aÄ) при k ^ .n ,

352 ГЛ. IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

f W K S la fc[ lull,

и стало быть,

If 1= Si ak

при помощи линейных отображений в сходящуюся последова­ тельность, т. е. в элемент из (с), то очевидным будет условие, состоящее в том, что если дсе (с), то преобразованная последо­ вательность должна принадлежать (с), и предел (в R) преоб­ разованной последовательности должен быть равен lim £а.

Так мы приходим к рассмотрению чисел ап,и и последова­ тельности с общим членом

. оо

Говорят, что числа (ап, к) определяют метод суммирования.

Найдем 'необходимые и достаточные условия для того, чтобы метод (аПін) был регулярным.

2k 1V k I < + 00

для любого п.

В предположении, что это условие выполнено, пусть

fra (х) 2 О/і, kik’

к

Эта последовательность непрерывных линейных форм на (с) сходится просто для любого х е (с), и

II fra II = 21 «га, * I-

к

Стало быть, по теореме 3, § 3 последовательность (||/„||) огра­ ничена.

Получено второе необходимое условие:

существует такое не зависящее от п число М, что

2kl an,k К м -

для любого х е (с); тогда, взяв элементы е*, получим, что для любого k должно выполняться равенство

lim (a„ift) = 0,

ОО

а взяв элемент е , получим, что

lim ( 2 а*. ^ = 1.

Итак, имеем три необходимых условия:

1) 2кl а« к I < + 00 Для любого л;

2) 2ft 1On к К М для любого п\

3) lim аПі k = 0 для любого k и lim (2««, а] — Ь

Обратно, предположим, что условия эти выполнены. Тогда

fn {х) = 2 &п, k

определяет на (с) непрерывную линейную форму, и ||fnll < М.

сходится для любого X , принадлежащего некоторому множеству, плотному в (с). Таким плотным в (с) множеством является под­ пространство, порожденное еь и е (ср. п. 3). Условия 3) именно это и утверждают.

Таким образом, приведенные три условия необходимы и до­ статочны для того, чтобы метод суммирования, определяемый числами (an,k), был регулярен (теорема Теплица).

Г Л А В А X

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Теория интегрирования, предложенная А. Лебегом в 1902 г., увенчала усилия, предпринимавшиеся с целью сделать интегри­ руемыми самые общие функции. Свойства, которые были откры­ ты начиная с этого времени, иногда способствовали изменению точки зрения, но не изменяли основных результатов. Разли­ чие между проблемой интегрирования и проблемой нахождения примитивной для заданной функции (относительно которой из­ вестно, что она является дифференцируемой функцией) стало еще более четким после работ А. Данжуа, теория которого ис­ пользовала интеграл Лебега, но в этой теории числовая функ­ ция, интегрируемая в смысле Данжуа, могла иметь абсолютное значение, уже не обладающее этим свойством.

В настоящей главе будет упоминаться лишь интеграл по Лебегу.

Среди открытий, последовавших за введением интеграла Ле­ бега, имеются две важные теоремы, принадлежащие Ф. Риссу

ном нормой равномерной сходимости, имеет вид

Ь

f~* I M g -

где g имеет ограниченную вариацию.

Из второй теоремы можно получить понятие интеграла, или меры, называемой мерой Радона. Первая же (к которой сле­ дует добавить ее обобщение: Lp п о л н о ) показывает, что множе­ ство интегрируемых функций, превращенное в нормированное (или полунормированное) пространство, обладает двумя основ­ ными свойствами числовой прямой R:

1) некоторое множество функций плотно в этом пространстве (непрерывные функции, многочлены, ступенчатые функции);

2) пространство полно.

366 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Эти свойства соответствуют тому, что Q плотно в R и R полно. Встает вопрос о том, какими методами определяются инте­

грал и интегрируемые функции.

Все методы прежде всего предполагают известным понятие интеграла относительно функций некоторого семейства, рас­ сматриваемого как «простое» или «естественное». Можно, как это делает Лебег, рассматривать вначале меру интервалов на прямой, пользуясь понятием меры, совпадающим с обычным по­ нятием длины, а затем распространить это понятие на множе­ ства более общие, которые называются измеримыми; исходя из измеримых множеств, переходом к пределу определяется за­ тем интеграл от числовых функций, уже весьма общих. В этом методе априори задается интеграл от характеристических функ­ ций интервалов, который распространяется на характеристиче­ ские функции более общих множеств.

Можно также предполагать известным интеграл от любой непрерывной функции, либо используя элементарное построение, либо определяя его как непрерывную линейную форму на не­ котором функциональном пространстве (мера Радона); задача заключается снова в распространении этого понятия на более общие функции.

Во всех методах необходимо выделить основные свойства, позволяющие использовать тот инструмент, каким является ин­ теграл. Эти свойства можно разбить на три группы:

1)простое определение интегрируемых функций и все, что можно назвать способом вычисления: приближение интегрируе­ мых функций «простыми» функциями, переход к пределу, свой­ ство банахова пространства;

2)вычисление «двойных» интегралов;

3)сравнение двух методов интегрирования.

Ко второй группе относится теорема Лебега — Фубини, а к третьей •— теорема Лебега — Никодима.

Но все задачи тесно связаны со свойствами первой группы. Все методы строят, более или менее быстро, множество 9? ин­ тегрируемых функций, превращают 9 ’ в полунормированное пространство, а затем показывают, что множество непрерывных функций или множество ступенчатых функций плотно в &, что 9? полно, что при достаточно общих условиях можно инте­ грировать почленно последовательность интегрируемых функций (признаки Б. Леви, Фату, Лебега).

Метод, который используется здесь, позволяет сразу полу­ чить два основных свойства: множество исходных функций (на­ пример, непрерывных функций с компактным носителем) плотно в 3?, и 9? полно. Приведем схему для числовых функций. Пред­ полагается, что задано векторное пространство Е таких число­ вых функций X , что X ^ Е \ х \ < = Е и определен интеграл p,(x)

ние, а затем отделимое пространство Ё, ассоциированное с этим пополнением, которое является банаховым пространством. За­ тем Ё при помощи биективного отображения ставится в со­ ответствие пространству L, элементами которого являются множества эквивалентных между собой интегрируемых функ­ ций, причем эта эквивалентность определяется при помощи пренебрежимых множеств (называемых также множествами меры

нуль).

Предварительные замечания о терминологии. Терминология в теории меры и интегрирования не всегда согласована ввиду необходимости сохранения некоторых традиционных терминов и их интуитивного смысла.

Термин «интеграл» имеет смысл лишь при уточнении: инте­ грал от функции; если рассматривать числовые функции, то ин­ тегралом от числовой функции будет число; если рассматривать функции со значениями в некотором пространстве F, то инте­ гралом от функций будет элемент пространства F.

Мы ограничимся числовыми функциями (рассмотрение ко­ торых в качестве исходных необходимо для построения теории меры).

Термины интеграл и мера с полным основанием различаются между собой. Мера р есть линейная форма, определенная на векторном пространстве Е числовых функций (эта форма и это пространство обладают притом некоторыми свойствами, нала­ гаемыми определением). Интеграл от функции х ^ Е есть зна­ чение p(x) формы р для х. Иными словами, р есть отображение множества Е функций в числовую прямую R, а интеграл от х е е Е есть значение этого отображения р.

Когда хотят построить теорию, определяя меру подмножеств множества А, то рассматривают подмножества X, У, ... этого множества А, подчиненные некоторым условиям, и определяют не меру подмножества X, а меру любого подмножества X семей­ ства Г подмножеств множества А. Таким образом, р — отобра­ жение множества Г подмножеств множества А в R. И мы при­ шли к тому, чтобы назвать мерой подмножества X значение р(Х) меры р для Х е Г . Но благодаря условиям, налагаемым на Г и на р, мера р выступает также как линейная форма на векторном пространстве числовых функций фх, которые яв­ ляются характеристическими функциями подмножеств Х е Г , если условиться записывать р(фх) = р(Х); таким образом, обе изложенные выше концепции идентичны.

С другой стороны, выражение: «функция х интегрируема» означает, что х принадлежит множеству Е, на котором опреде­ лена мера р, или, иными словами, что можно рассматривать

368 ГЛ. X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

p(x). В этом случае не говорят, что х измерима, в силу интуи­ тивной неприемлемости выражения «измерять» функцию. Если, исходя из понятия меры, определенной на семействе Г подмно­ жеств X множества А, положить р(Х) = р,(ф х), то мы придем к утверждению, терминологически незаконному, что подмноже­ ство X интегрируемо (вместо утверждения, что характеристиче­ ская функция фх множества X интегрируема). Но, в соот­ ветствии с интуитивным стремлением называть p (j) мерой множества X, говорят, что X измеримо.

На самом же деле понятие измеримой функции или измери­ мого множества имеет более общий смысл, чем понятие инте­ грируемой функции или интегрируемого множества.

Итак, отметим следующие несоответствия:

—мера есть линейная форма, однако говорят и о мере мно­ жества:

—говорят об интегрируемых функциях и множествах, тогда

как следовало бы говорить об измеримых функциях и множе­ ствах;

— интегрируемое множество имеет (конечную) меру, но из­ меримое множество может не быть интегрируемым, и значит, может не иметь (конечной) меры.

Первое несоответствие не порождает трудностей, поскольку выражение «мера множества X» означает интеграл от функ­ ции фА-

Остальные несоответствия проистекают из различия между измеримостью и интегрируемостью. Одной из причин является та, что вначале Лебег определил меру весьма общих множеств на числовой прямой; затем он рассмотрел числовую функцию х действительного переменного t и меру множества тех t, для

(которые суть не что иное как интегралы от ступенчатых функ­ ций, определенных на клане измеримых множеств из /?). Следо­ вательно, для того чтобы выписать эти суммы, необходимо было предположить, что числа т* существуют, что и привело к опре­ делению измеримой функции как функции, для которой при лю­

тегрируемых функций будет входить понятие простой сходимо­ сти почти всюду и понятие сходимости по норме. Понятие же измеримой функции связано только с простой сходимостью почти всюду.

Мы подчиняем наше изложение вопросам интегрирования. Критерии, позволяющие выяснить, будет ли функция интегрируе­ мой, приводятся достатсчно общие (ср. раздел 2, § 2, п. 1); из­ ложение понятия измеримой функции не требуется. Мы сме­ шиваем понятия интегрируемого множества (т. е. имеющего конечную меру) и измеримого множества, ибо практически измеримое не интегрируемое множество есть множество бес­ конечной меры.

Р А З Д Е Л I

ЧИСЛОВЫЕ МЕРЫ НА ПРОСТРАНСТВЕ РИССА

§ 1. Введение и отыскание исходных условий

Проблема интегрирования числовых функций ставится сле­ дующим образом. Задается множество £ числовых функций X, г/, ... переменного t, принадлежащего множеству А, и пред­ полагается, что интеграл определен для любого х е Е. Обозна­ чим этот интеграл через (лс); этот интеграл представляет ин­ терес только теми своими свойствами, которые выявляются уже в простейших случаях: например, в случае ступенчатых функ­ ций на R или непрерывных функций, обращающихся в нуль вне компактного множества (или компактного интервала). Алгеб­ раические свойства прежде всего предполагают, что Е — вектор­ ное пространство, и, кроме того, что р(х) есть значение линей­ ной формы ц на Е. Но, с другой стороны, на Е существует отно­ шение порядка, т. е. практически имеет смысл выражение х^О ; поэтому появляется еще одно свойство формы р: х ^ О ^ ф =$>р(х)^0; иными словами, р есть положительная линейная форма. Наконец, функция х интегрируема только в том случае,

о переходе к пределу. Это условие требуется тогда, когда хотят распространить понятие интеграла на числовые функции, не принадлежащие £. Пусть ставится задача определить интеграл