книги из ГПНТБ / Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях

Уравнение линий равных откликов имеет вид

*2 = - j ( y — 165,5 — 4,5х,),

и их угловой коэффициент равен —4,5/4. Двигаясь в направлении, перпендикулярном этим контурам, можно ожидать появления боль­ ших значений отклика.

Чтобы принять решение о возможном наборе переменных для по­ следующего эксперимента, определим направление нормали к кон­

факторный эксперимент можно планировать вокруг точки с коорди­ натами х х = 1/2, л:2 = 4/9, что получается при пересчете по формулам кодирования переменных (II.5). Теперь эксперимент ставится в точ­ ках а, Ь, с, d (рис. 7), и после анализа снова выбирается направление крутого восхождения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не достигается оптимум.

Рассмотренный план позволяет определить направление после­ дующих экспериментов, но из-за малого числа степеней свободы не

40

дает хорошей оценки для ошибки эксперимента, позволяющей про­ верить значимость оценок коэффициентов, и, кроме того, здесь отсут­ ствует какая-либо возможность проверить адекватность принятой плоской модели. Одним из способов улучшения этого плана является

выбор двух или более точек в центре плана (ац, /ц). Повторение экс­ перимента в той же точке дает оценку ошибки эксперимента, а сред­ нее значение откликов в центральной точке — возможность проверить гипотезу линейного приближения.

При большем числе факторов модель поверхности отклика ста­ новится более сложной, однако, найдено несколько полезных планов для оценки коэффициентов этих поверхностей [89], [93].

Метод линейного приближения не позволяет описать поверхность отклика в широком интервале варьирования независимых перемен­ ных, поэтому оптимизация объектов производится путем «шагового» описания поверхности отклика. Вначале ставится небольшая серия опытов для описания исходного участка поверхности отклика поли­ номом первой степени, далее движением в направлении градиента опыты переносятся в новую область поверхности, и такой шаговый процесс продолжается до тех пор, пока не определится «почти ста­ ционарная область», где линейное приближение оказывается не­ достаточным; здесь ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго, а иногда и третьего порядка. Таким путем достигается высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая содержит искомый оптимум.

В настоящее время имеется достаточно технической литературы, посвященной методам планирования экспериментов (см. библио­ графию в книгах [89] и [133]), что позволяет подбирать подходящие планы при решении новых технических задач.

41

условий подобия моделируемых процессов; разработка плана необ­

ляется возможностью достижения соглашения между сторонами, заинтересованными в результатах исследований. Необходимо опре­ делить физические особенности процессов в объекте исследования, выбрать выходные параметры, входные воздействия, варьируемые величины, сформулировать свойства образцового процесса, устано­ вить вид оценки совершенства основного процесса.

Предварительная оценка задачи облегчается разработкой исход­ ной математической модели изучаемого процесса. Построение мате­ матической модели начинается с формализованного описания объекта, в которое включаются элементарные процессы, наиболее существен­ ные для объекта. Среди них могут быть уравнения, отражающие основные физические законы, теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами про­ цессов и т. д. Полезно (а во многих случаях просто необходимо) преобразовать размерные переменные уравнений в безразмерные относительные формы. Относительные величины могут вводиться по разным правилам, например:

Любое из этих правил приводит к безразмерным величинам. Абсо­

лютные значения хг, получаемые по приведенным формулам, отли­ чаются друг от друга, но достаточно использовать лишь одно какоелибо правило при составлении уравнений математической модели, чтобы при осмысливании результатов был возможен обратный пере­ ход к размерным величинам. На практике чаще всего используются

два первых выражения для x t.

Последующее объединение уравнений в систему приводит к полу­ чению общего математического описания объекта. Даже качественный анализ приближенной математической модели позволяет обоснованно подойти к постановке задачи исследования и одновременно служит основой осуществления последующих этапов.

42

Р а з р а б о т к а у с л о в и й п о д о б и я изучаемых про­ цессов, т. е. представление связи изучаемых переменных в виде связи между безразмерными комплексами — критериями подобия, может производиться как по математической модели процессов в объекте (анализ уравнений), так и путем анализа размерностей величин, существенных для рассматриваемого процесса.

Разработка условий подобия позволяет проводить физические исследования на моделях уменьшенных масштабов, что весьма жела­ тельно с экономической точки зрения, однако следует иметь в виду, что использование моделей малых размеров может привести к появ­ лению у модели свойств, не присущих объекту моделирования. И, наоборот, некоторые свойства объекта при переходе к модели могут оказаться настолько ослабленными, что их проявление уже нельзя будет зарегистрировать. Типичным примером такого изменения свойств является изменение удельного влияния пристеночных эф­ фектов в различных тепловых и смесительных аппаратах. Степень влияния этих эффектов на процессы, происходящие в объеме аппарата, пропорциональна отношению поверхности аппарата к его объему, т. е. обратно пропорциональна его размерам. С уменьшением разме­ ров возможно существенное возрастание пристеночных эффектов и как следствие — изменение общих свойств аппарата.

Вопрос о том, как в опыте на модели может быть осуществлён

Рассмотрим простой пример. Допустим, что метод модели применяется для исследования стационарного движения несжимаемой жидкости, причем эксперимент ставится с целью изучения кинематической картины и динамического взаимодей­ ствия потока с твердыми телами. Отмечая величины, относящиеся к образцу индек­ сом «о», а к модели — индексом «м», запишем условия, ограничивающие свободу выбора параметров модели, в виде

Разумеется, ускорение силы тяжести остается неизменным (Pg = 1). Таким образом, три параметра (w, I, v) связаны двумя ограничениями; это значит, что при осуще­ ствлении модели можно независимо назначить только один параметр. Если фикси­ рована жидкость (Pv), то этим полностью определены все параметры модели, так

процессов при исследованиях за счет того, что вместо варьирования

43

размерных параметров происходит варьирование комплексов, вклю­ чающих в себя по нескольку размерных величин. Кроме того, в ряде случаев возможно использование не натурных (агрессивных, токсич­ ных) рабочих тел, а моделирующих их свойства заменителей. При­ мером того могут служить гидравлические исследования в диапазоне заданных чисел Рейнольдса.

Наконец, использование критериальных связей для описания явлений в теплотехнических объектах приводит на стадии обработки результатов измерений к получению более простых полуэмпирических или эмпирических формул, действительных для широкого диа­ пазона изменения размерных величин. В инженерной практике ши­ рокое распространение получили критериальные формулы степен­

ного вида: п г — Ап 22яз3 . . . п°п. Применение таких формул следует рассматривать как чисто расчетный прием использования простых выражений. В случаях рекомендаций этих формул необходимо ука­ зывать границы диапазонов зависимых критериев, в которых прово­ дилась проверка постоянства констант А и а 17 . . ., ап.

Р а з р а б о т к а п л а н о в экспериментов позволяет избежать искажений результатов исследований, вызванных неконтролируе­ мыми факторами, и построить стратегию исследования, основанную на последовательности четких, логически осмысленных операций. При использовании планирования искомые параметры определяются со значительно меньшей ошибкой, чем при традиционных методах; дисперсии оцениваемых коэффициентов регрессии уменьшаются с ро­ стом числа переменных.

Т е х н и ч е с к а я п о д г о т о в к а к проведению эксперимен­ тов заключается в создании испытательного оборудования и под­ боре измерительных приборов. Испытательное оборудование должно обеспечивать осуществление требуемых режимов исследуемых про­ цессов в назначенных диапазонах варьирования парамедров с такой степенью воспроизведения, которая не вносила бы дополнительных погрешностей в измерения. Так, если по условиям задачи исследова­ ния должны осуществляться режимы постоянной подачи рабочего тела (например, сжатого газа), то в схеме испытательного оборудова­ ния должны быть предусмотрены стабилизаторы режима подачи — редукторы сжатого газа. В других случаях (при изучении динами­ ческих режимов) требуются специальные устройства, формирующие входное воздействие заданного вида. Отклонения от требуемых ре­ жимов сказываются на работе приборов и плохо выявляются на этапе анализа результатов измерений.

При измерениях, связанных с проведением исследований сложных теплотехнических установок, требования, предъявляемые к точности измерительных приборов, должны быть согласованы со свойствами объектов исследования. Причем анализ свойств объекта необходимо проводить как с целью определения необходимой точности измерений, так и с целью оценки предельных уровней систематических погреш­ ностей, на которые придется вводить поправки в значения опреде­ ляемых величин.

44

Такой анализ удобно осуществлять методом расчета коэффициен­ тов преобразования по линеаризованной системе уравнений, описы­ вающих процессы в объекте. Поскольку по постановке задачи тре­ буется определять коэффициенты преобразования, связывающие не параметры вход—выход, а лишь их погрешности — величины малые, то применение линейных моделей уравнений приводит к достаточно точным оценкам.

Рассмотрим наиболее общий случай — осуществление совокупных измерений. Как известно, при таких измерениях значения искомых величин у г, . . ., ут рассчитываются по системе уравнений, связываю­ щих их с величинами, измеряемыми прямыми или косвенными ме­ тодами. Для получения каждого уравнения измеряется одна из ком­ бинаций этих величин. Частным случаем совокупных измерений являются совместные измерения. Различие между этими двумя спо­ собами проведения измерений заключается в том, что при совокуп­ ных измерениях при переходе от одного уравнения к другому ме­ няются условия проведения измерений, а следовательно, и значения величин х ъ . . ., Х[, измеряемых прямыми или косвенными методами. При совокупных измерениях изменяется при этом и вид уравнений системы

Здесь гъ . . ., гп — не измеряемые во время эксперимента значения некоторых величин, известные с определенной погрешностью (на­ пример, характерные геометрические размеры объекта, физические свойства рабочих тел и др.). Для того чтобы определить т значе­ ний yif достаточно иметь г —т уравнений. Тогда при статистической обработке результатов доверительные границы погрешностей всех определяемых величин находятся методами обработки косвенных из­ мерений (см. гл. XIV). Для уменьшения погрешностей обычно де­ лается значительно больше измерений, т. е. практически всегда г > > т.

Представим все переменные, входящие в систему уравнений (II.6),

z„ = Z0u + Azu (и = 1, . . ., n).

Пусть базовые значения переменных соответствуют их точным значениям на режиме осуществления процессов при проведении экс­ перимента, а приращения будем интерпретировать как абсолютные

45

погрешности соответствующих переменных. Производя линеари­ зацию системы уравнений (II.6), т. е. разлагая функции в ряд Тей­ лора и пренебрегая членами высшего порядка малости, получаем

т п

пг I пт

(П.7)

Решение этой системы имеет смысл в следующих случаях. Во-пер­ вых, можно определить предельные погрешности искомых величин при заданных погрешностях параметров; решение запишется в виде

I п

при условии замкнутости системы относительно у , т. е. при выпол­ нении равенства т = г.

Практический интерес также представляет частное решение слу­ чая (II.8) в виде

1

Aiji I = £ | Пи1 Azu I (t = 1, ..., т),

представляющее собой оценку предельного уровня поправок к иско­ мым величинам на погрешности неизмеряемых величин (| Аги | пред­ полагаются известными).

Во-вторых, при условии замкнутости системы относительно х, т. е. (I = г), можно при заданных предельных погрешностях иско­ мых величин однозначно определить допустимые уровни предельных погрешностей измеряемых параметров; решение в этом случае будет иметь вид

т

Ax!\ = ^ i \ n ijAyi \ ( / = ! , . . „ 0- /—1

При этом опускаются из рассмотрения ошибки неизмеряемых пара­ метров (Дzu= 0).

46

(II.9)

)

Положив для большей наглядности дальнейших выкладок все Дyt, кроме Дy lt равными нулю, получим:

откуда значения коэффициентов преобразования получаются рав­ ными

Здесь Дх — определитель системы уравнений (11.10), который за­ писывается в виде

а Д1;- — определитель, получаемый из Дзаменой в нем столбца, соот­ ветствующего рассматриваемой переменной Axjt коэффициентами правых частей уравнений (11.10).

47

Поскольку величины Ля и Ау размерные, практически удобнее оперировать их относительными значениями

введение которых приводит коэффициенты преобразования к безраз­ мерной форме

Повторяя аналогичные вычисления для остальных Дyt, последова­ тельно получаем /72/, . . Flii, . . ., ПтЬ которые сведены в табл. 4.

Т а б л и ц а 4

Допустимые предельные относительные погрешности измеряемых величин, получаемые суммированием элементарных воздействий вдоль строк табл. II.4, очевидно, должны удовлетворять следующим усло­ виям:

где ct (i = 1 , . . ., т) — заданные допустимые предельные погреш­ ности определяемых величин г/,-.

48

Если система уравнений (II.9) не замкнута относительно х, т. е. г < /, то это означает, что I — г значений кх (или дх) должны быть назначены произвольно до проведения расчета и затем соответствую­ щие члены включены в правые части уравнений (II.9). Условие г = 1 при т 1, очевидно, приводит к случаю косвенных измерений, когда лишь на одну предельную погрешность измеряемой величины можно наложить ограничение по допускаемому значению сг; осталь­ ные измеряемые величины — независимы. Последовательность ре­ шения первой задачи, сформулированной выше, ясна по аналогии с рассмотренным случаем.

Отметим, что использование таблиц коэффициентов преобразова­ ния линейных моделей не ограничивается оценками предельных по­ грешностей при измерениях, не менее часто такие таблицы исполь­ зуются для расчетов систем автоматического регулирования или в более сложных случаях (с учетом законов распределения плотностей вероятностей величин, Axj и Azu) для решения задач первого типа. Табличное представление решений отличается большой наглядностью и позволяет без дополнительных вычислений оценивать относитель­ ный вклад каждого элементарного процесса преобразования в от­ клонения зависимых величин.

На стадии предварительного согласования свойств измеритель­ ных приборов со свойствами изучаемого процесса также необходимо, хотя бы грубо, оценивать требуемые динамические свойства приборов.

Если регистрируется физическая величина с ограниченным по частоте спектром F, то ориентировочное значение верхней частоты пропускания прибора /шах должно быть /тах ^ 2Е; в этом случае правильно воспроизводится амплитуда измеряемой величины. Для высокоточных приборов (в связи с тем, что измерительная цепь не имеет характеристик идеального фильтра), если необходима удовле­ творительная передача формы импульсов, идущих с частотой F, последнее условие должно быть усилено и представлено, например, в виде /тах ^ 5F. Приведенные неравенства выводятся на основе определенной идеализации и дают поэтому только ориентировочные значения /тах, однако они могут оказаться полезными для расчетных оценок при выборе приборов.

Н а э т а п е т е х н и ч е с к о й п о д г о т о в к и к проведе­ нию экспериментов производятся отладка и градуировка измери­ тельных систем. Показания большинства измерительных приборов искажаются дополнительными погрешностями, вызванными особен­ ностями протекания процессов в теплотехнических устройствах: на­ гревом чувствительных элементов, повышенным уровнем вибраций и т. п. Для исключения подобных погрешностей необходимо прово­ дить градуирование в условиях, максимально приближенных к усло­ виям реального использования приборов. А это, в свою очередь, при­ водит к большой сложности градуировочных установок, проектиро­ вание и отладка которых весьма трудоемки.

П р о в е д е н и е э к с п е р и м е н т о в и и з м е р е н и й в процессе эксперимента осложняется, как правило, необходимостью синхронной регистрации больших объемов разнородной информации.