книги из ГПНТБ / Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях

Учитывая, что по условиям задачи Р — зависимая величина, получаем окончательно критериальную связь в виде

Если бы задача ставилась иначе, например, если бы исследовалось изменение напора Ар в зависимости от скорости вращения и расхода при постоянной вход­ ной мощности, то зависимым критерием был бы комплекс АрР/pQ2 и связь между критериями подобия записывалась бы как

легкость получения безразмерных комплексов (отметим попутно, что приведенный способ составления комбинаций далеко не единственный; в работах [48 ] и [63 ] рассматриваются иные, не менее простые, способы). Использование при этом я- теоремы дает возможность оценить по предварительным данным сложность резуль­ тата анализа. К недостаткам метода следует отнести прежде всего некоторую неопре­ деленность в составе критериев подобия (в примере произвольно выбраны незави­ симыми mlt т 2 и тп4) и полное отсутствие сведений об аналитическом виде функ­ циональной зависимости между критериями. Кроме того, от интуиции исследователя зависит перечень физических параметров, принимаемых во внимание. Последнее обстоятельство наглядно поясняется на рассмотренном примере. Полученные урав­ нения выражают подобие процессов при установившемся движении через конкрет­ ный насос различных жидкостей, отличающихся значениями плотности. При этом не учтено влияние вязкости жидкости. Если включить в перечень исходных пара­ метров величину р, (динамическая вязкость жидкости), то число определяющих кри­ териев подобия увеличится на единицу за счет числа Re, характеризующего режимы течения жидкости. В данном примере допустимо этого не делать, так как в центро­ бежном насосе реализуется лишь турбулентное течение, при котором коэффициент вязкого трения практически постоянен. Поэтому учет числа Re приведет лишь к мас­ штабному изменению экспериментальных графиков. При желании распространить полученные условия подобия на серию насосов в число исходных величин должны

Большей полнотой обладает метод получения критериальных свя­ зей путем анализа системы уравнений, описывающих изучаемый про­ цесс. Каждое уравнение, обладающее свойствами гомогенности, мо­ жет быть представлено в виде зависимости между безразмерными ком­ плексами и симплексами, составленными из размерных величин, вошедших в это уравнение. Число критериев подобия, получаемых

20

в результате анализа уравнений, равно числу членов исходных урав­ нений (если они не приводят частично к тождественным критериям), уменьшенному на единицу. К этому добавляются число безразмерных аргументов трансцендентных функций, если таковые содержатся в членах уравнений, и число критериев — симплексов.

Предположим, что рассматривается замкнутая система уравнений процесса, приведенная к форме

2 n i (ХУ) =

га

где П j — некоторые операторы, каждый из которых определяет какой-либо физический эффект, существенный для исследуемого процесса. Делением всех членов суммы на один из членов, выбранный произвольно, получаем

Относительные операторы Kj содержат в своем составе критерии подобия Яу, характеризующие эффекты, описываемые операторами Я у и Пк, и могут быть представлены в виде

Kj = fljTij,

где rij — вещественное число (масштабный множитель). Выделение критериев я ;- проще всего осуществлять путем предварительного перехода под знаком операторов Яу к относительной форме перемен­ ных. Например, основные дифференциальные уравнения теплопереноса и гидродинамики состоят обычно из операторов вида

где а — некоторый размерный параметр (например, физическое свой­ ство); Ь, с — натуральные числа. Вводя безразмерные переменные

(здесь величина с индексом принята за масштаб), подставим выраже­ ние для Я в (1.8), полагая k — 1, получаем

т—1

21

тождественности безразмерных полей параметров в подобных си­ стемах сохраняют свое значение (все п/ = 1), и, следовательно, ве­ личины л,/ являются критериями подобия.

Из сказанного очевидно главное достоинство метода анализа уравнений — получение не только структуры критериев подобия, но и в какой-то мере сведений о виде функциональной связи между критериями. Достоверность результатов в этом случае также опре­ деляется полнотой исходного материала, т. е. полнотой анализируе­ мой системы уравнений.

Отметим еще один прикладной смысл критериев подобия. В прин­ цип построения структуры критериев вложена глубокая и важная идея, заключающаяся в том, что в самой группировке размерных величин, образующих комплекс я,-, отражается физическая модель процесса. Во многих случаях критерии подобия легко могут быть интерпретированы как отношение энергий, сил или однородных физи­ ческих величин. Чисто «механический» подход к пониманию явлений как исключительно результатов действия сил, действующих в рас­ сматриваемой системе, широко использовался учеными прошлого века и нашел отражение в несколько ограниченном понимании по­ добия двух систем, как «. . .двух геометрически подобных систем, в которых отношения всех существенных для данного процесса сил одинаковы в сходственных точках. . .» [51 ]. Такой подход не охва­ тывает особенностей многих физических явлений и не подтверждается современными концепциями термодинамики. Однако метод подобия чрезвычайно нагляден, особенно при решении задач из области ме­ ханики жидкости.

В механике жидкости обычно рассматриваются шесть сил, исполь­ зуя которые можно образовать пятнадцать независимых безразмер­ ных отношений из двух сил (табл. 1). Из таблицы видно, что шесть безразмерных чисел являются наиболее распространенными в меха­ нике жидкости критериями подобия. Среди них отсутствует только число Маха, но легко видеть, что оно представляет собой корень квадратный из числа Коши Ch. Таблица составлялась для стацио­ нарных течений без учета тепловых явлений, поэтому отсутствуют: отношение теплоемкостей к = cjcv\ число Пекле Ре = wlla, являю­ щееся мерой отношения молекулярного и конвективного переносов тепла в потоке; число Прандтля Pr = Pe/Re = via, являющееся мерой подобия температурных и скоростных полей в потоке; число Нуссельта Nu = а ИХ, характеризующее связь между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое потока; критерий гидродинамической гомохронности Но = wtll, характе­ ризующий скорость изменения поля скорости потока во времени, и некоторые другие специальные критерии.

22

Метод подобия построен на допущении существования системы таких уравнений, члены которых могут быть выражены лишь через силы. Однако при решении теплотехнических задач в число фунда­ ментальных связей могут быть включены следующие принципиаль­ ные положения, которые позволяют вывести рабочие уравнения: закон сохранения массы, стехиометрический принцип (законы сохра­ нения атомов, молекул и т. д.); второй закон Ньютона; принцип состояния (уравнение состояния); первый закон термодинамики; второй закон термодинамики; закон тяготения. Этот список может быть продолжен, если к рассмотрению теплотехнических задач при­ соединить задачи электромагнетизма, явлений упругости и т. п.

Рассмотрим качественно приложение первого закона термодина­ мики к типичной теплотехнической установке (незамкнутая система). На рис. 4 изображена структура уравнения, откуда наглядно сле­ дует, что энергия системы может изменяться за счет переноса тепла, выполнения работы и переноса массы. Механическая работа, совер­ шенная в системе, является, очевидно, результатом действия сил, перечисленных в табл. 1. Следовательно, необходимо связать выраже-

23

ния форм механической энергии с остальными формами запаса энер­ гии, которые определяются другими типами действия. Это позволит определить наряду с отношением сил отношения количеств энергии, необходимые для обеспечения полноты подобия. В самом общем по­ нимании подобия процессов можно выразить все критерии подобия, из какого бы принципа они ни вытекали, как отношения сил, энер­ гий, физических свойств, имеющих место в системе или действующих на нее.

В качестве примера сформулированного утверждения рассмотрим таблицу, составленную для случая теплопередачи между твердым телом и потоком жидкости (табл. 2) [63]. Известны три способа пере­ дачи тепла: теплопроводностью, радиацией и конвекцией. К тому же

Запас внутренней энергии

Количество тепла, вносимого в систему

Количество полезной работы, за исключением обратимой работы

Количество энергии, входящей с массой рабочего тела, включая обратимую работу

Количество энергии, уносимой массой, покидающей систему, включая обратимую работу

Рис. 4. Структура уравнения баланса энергии теплотехнической установки

в некоторых задачах теплопередачи имеют значения еще два энерге­ тических фактора: внутренняя энергия твердого тела и потока жидкости.

Табл. 2 содержит наиболее общие из зависимых критериев по­ добия процессов теплопередачи, однако некоторые, обычно исполь­ зуемые при рассмотрении конвективного теплообмена критерии здесь все же отсутствуют. Система таких критериев должна состоять не только из некоторых критериев табл. 1 и 2, но и из отноше­ ний физических свойств, определяемых конкретными особенностями задач исследования. Отметим также, что поскольку радиация и кон­ векция, как правило, действуют параллельно, то можно путем сложения двух критериев а р1/Х и aJIX получить число Нуссельта; кроме того, критерий a Kl2/pwcp не является числом Стентона в обще­ принятой форме, но может быть к ней приведен.

В прикладных технических задачах не обязательно использова­ ние именно таких форм критериев подобия, которые получаются при анализе фундаментальных уравнений физики. Возможность комби­ нирования критериями позволяет в каждом конкретном случае ис­ пользовать такие структуры безразмерных комплексов, которые наилучшим образом отражают характерные особенности задачи в це­ лом. Так, для измерительных преобразователей, создающихся ради выполнения одного основного преобразования измеряемой вели­ чины х х в выходной сигнал у х и обладающих при правильном кон-

24

струировании свойствами, близкими к линейным, весьма эффектив­ ной является следующая процедура определения критериев подобия.

Понятие о функции преобразования, рассмотренное ранее, яв­ ляется удобной формализацией представлений о связи величин, существенных для процессов в объекте исследования. Однако для непосредственных вычислений преобразования X в Y могут быть использованы лишь коэффициенты преобразования Xj в у (, полу­ чаемые аналитически только для линейных моделей систем уравне­ ний процессов.

Реальные физические явления в достаточном диапазоне изменения переменных нелинейны* т. е. описываются нелинейными уравне­ ниями. Те линейные зависимости, к которым прибегают для описания действительных процессов (например, закон Гука), представляют собой приближения, идеализацию реальных соотношений. Вопрос о допустимости такой идеализации решается обычно по количествен­ ным оценкам расхождения между вычисленными по линейным уравнениям и полученными из опыта реальными зависимостями между переменными. Как и всякая задача, включающая обработку опытных

25

данных, оценка качества линеаризации получает эффективное пред­ ставление при использовании обобщенных переменных — критериев подобия процессов.

Пусть выходы измерительного преобразователя независимы;

числа внутренних параметров объекта гп, т. е. п » I- Допуская возможность разложения функции f в степенной ряд в окрестности

ществу, помехами и их влияние на г/х всячески снижается с по­ мощью конструктивных мер. Значительно хуже поддаются исклю­ чению воздействия х ъ х 2, . . ., xt на z lt z 2, . . ., zn.

Выделим в (1.10) коэффициент преобразования основного входного воздействия, для чего перепишем это выражение следующим образом:

Ук= « Л + /i-

Приведем полученное выражение к безразмерной форме путем де­ ления всех членов уравнения на первый член в правой части; имеем

безразмерную форму основного коэффициента преобразования; сумма

i-i

1

во + a/+ix/+i = 6

/=1

характеризует общий относительный вклад неисключенных внешних воздействий х 2, х 3, . . ., xt в уровень выхода у и а функция F x яв­

23

ляется относительной мерой существенности нелинейных эффектов в изучаемом объекте по сравнению с линейными связями переменных.

Используя метод анализа размерностей, перейдем под знаком функции F к безразмерным переменным — комплексам, составленным

где я 1; . . ., л г — определяющие критерии подобия, число которых равно г = (/ -f- п) — i (здесь i — число основных размерностей).

В левой части (1.12) комплекс П и (1 + б)-1 = Л*4 включает в себя

единственный определяемый критерий подобия Я и .

Обработка экспериментальных данных в форме (1.12) дает весьма наглядное представление о близости реальных зависимостей к ли­ нейной идеализации процессов, так как по мере уменьшения нели­ нейных эффектов функция /у (и, следовательно, F х) стремится к нулю, а численное значение F приближается к единице. Как будет показано в третьем разделе, представление результатов экспериментов в форме (1.12) позволяет самым простым образом определять области автомо­ дельности процессов в приборах, т. е. находить такие режимы ра­ боты, на которых процессы преобразования нечувствительны к зна­ чительному изменению внутренних параметров z u z2, . . . , г„.

К сказанному следует добавить (см. также табл. 8), что для энер­ гетических преобразователей характерной особенностью является четность или нечетность функциональной зависимости, описывающей данный процесс. Если некоторая функция обладает такими свой­ ствами, что / (х) = —/ (—х), то f (х) = у может быть представлена сте­ пенным рядом по нечетным степеням х

у = ахХ + я3х3 + аъхъ + • ■•

и первым приближением этой функции будет линейная зависимость у <=* а хх. Если же f (х) = f (—х), то функция может быть представ­ лена рядом по четным степеням х

а 2х 2 (постоянная составляющая а0 здесь может быть отброшена как не представляющая интереса с точки зрения применений; в даль­ нейшем она лишь изменяет величину свободного члена уравнения).

Таким образом, в случае нечетных явлений преобразования пер­ вым приближением является линейная зависимость и формула (1.12) верна непосредственно, тогда как в случаях четных эффектов для использования (1.12) необходимо предварительно перейти к новой переменной %= х 2. В этом случае (1.13) принимает вид

у = а 2% + ш 2 + а д 3 Н—

и первым приближением такой функции опять оказывается линей­ ная зависимость у ^ а2%.

27

С учетом сказанного формула (1.11) может быть распространена как на случаи нечетных, так и на случаи четных эффектов следующим образом:

Такой подход к пониманию критериев подобия позволяет рассма­ тривать безразмерные формы оценок совершенства процессов в целом как главные определяемые критерии при изучении и совершенство­ вании измерительных приборов. Результаты исследований рацио­ нально представлять в форме зависимостей

Пи — Г (я<1, JT2, ..., Л/-),

где . . ., я г — критерии подобия элементарных физических про­ цессов преобразования вход—выход прибора.

Г Л А В А II

ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

1. Задачи исследований и пути их решения

Необходимость проведения исследований создаваемых теплотех­ нических установок вызвана тем, что осуществление целевого пре­ образования входного воздействия в выходной эффект в реальных системах возможно многими путями. Процесс основного преобразо­ вания зависит от сопровождающих его проявлений внешних воздей­ ствий, внутренних свойств объекта и свойств используемых рабочих тел. Варианты целевого преобразования, характеризуемые величи­

ной Л БХ_БЫХ, отличаются друг от друга уровнями побочных процес­ сов, снижающих эффективность использования располагаемой энергии.

Цель технических исследований заключается в изучении элемен­ тарных процессов, происходящих в системе, их свойств и степени влияния на основной процесс преобразования. Цель такого изуче­ ния — оптимизация значений X и Y при учете ограничений, нала­ гаемых условиями технического осуществления системы, и обеспе­ чение инвариантности целевого преобразования относительно воз­ действий, являющихся помехами.

Оптимизация технического объекта может производиться путем математического или физического моделирования. Математическое моделирование основано на использовании системы уравнений мате­ матического описания, отражающего сущность протекающих в объек­ те явлений, для которой задан алгоритм моделирования. Математи­ ческая формулировка задачи оптимизации представляется как за-

28

дача отыскания наибольшего (или наименьшего) значения функции нескольких переменных

качества оцениваемого преобразования. Здесь величины я у- — опре­ деляющие критерии подобия, составленные из независимых пере­ менных Xj, которые представляют собой не только действующие внеш­ ние воздействия, но и характеристики свойств объекта и рабочих тел. На независимые переменные в общем случае налагаются огра­ ничения (вызванные физическими или экономическими причинами)

Отыскание оптимума функции П в большинстве случаев чрезвы­ чайно сложная вычислительная задача, требующая привлечения вычислительных машин и разработки специальной «стратегии» поиска оптимума. Математические модели, как правило, являются моделями неполной аналогии, так как описывают только наиболее существенные свойства процессов, поэтому к чисто математическим исследованиям прибегают лишь на ранних стадиях разработки тепло­ технических объектов.

В табл. 3 приведена характеристика областей применения раз­ личных математических методов оптимизации, при этом в основу положена сравнительная оценка эффективности использования каж­ дого метода для решения различных типов задач. Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим, мень­ шим или равным трем, как характеристика размерности задач с боль­ шим или малым числом переменных, разумеется, условна и в данном случае выбрана из соображений наглядности графического изобра­ жения пространства изменения переменных. Тем не менее такая клас­ сификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех.

Создание систем с высокими характеристиками совершенства почти всегда связано с проведением исследований физическими ме­ тодами. Только при изучении физических моделей возможен учет всех реальных особенностей процессов в объекте. Физическое ис­ следование может проводиться как на моделях с уменьшением мас­ штаба объекта (что позволяет снизить расходы на выполнение экс­ периментов и организацию измерений), так и на натурных, путем моделирования различных режимов процессов или различных гео­ метрических параметров, влияющих на процесс. Физическое моде­ лирование с целью оптимизации свойств объектов требует больших затрат средств и времени и значительно уступает математическим исследованиям по объему получаемой информации. Поэтому и здесь большое значение имеет разработка алгоритма поиска — стратегии проведения экспериментов.

29