книги из ГПНТБ / Теория стрельбы из танков учебник

■явление данного события. Показателем того, что все гипотезы учтены, является равенство

S

Рх + Р, + . . . + P S = V , P , = 1.

где s — число всех гипотез.

В общем случае формула полной вероятности события может ■быть записана в таком виде

б ыт и я р а в н а с у м м е п а р н ы х п р о и з в е д е н и й ве­ р о я т н о с т е й г и п о т е з на у с л о в н ы е в е р о я т н о с т и с о б ы т и я по э т им г и п о т е з а м .

Теорема гипотез

Исследуя условия, в которых может появиться интересующее нас событие, можно сделать ряд предположений или гипотез, опре­ делить их вероятности и рассчитать вероятности события по этим гипотезам. Так, например, вследствие наличия ошибок подготовки

•стрельбы до выстрела можно предположить, что средняя траекто­ рия пройдет по дальности перед целью, через цель или за целью. Каждой из этих гипотез отвечает своя вероятность.

Допустим, что при первом выстреле наблюдался недолет. По­ лученный результат уточнил представления о положении центра рассеивания снарядов (ЦРС) относительно цели. Уменьшилась вероятность нахождения средней траектории за целью. Более ве­ роятной стала гипотеза, что ЦРС находится перед целью. На осно­ ве этого, применяя теорему гипотез, можно определить, как изме­ нились вероятности нахождения ЦРС относительно цели после не­ долета.

Таким образом, к определению вероятностей по теореме гипо­ тез прибегают тогда, когда по существу вопроса о появлении собы­ тия можно сделать несколько различных предположений и вероят­ ности этих предположений меняются в зависимости от результатов проведенных испытаний.

Формула теоремы гипотез в общем виде записывается следую­ щим образом

(1.35)

или

€0

где Qi — вероятность г-той гипотезы после испытания; Pt — вероятность г-той гипотезы до испытания;

Pi — вероятность события по данной гипотезе; s — число всех возможных гипотез.

Теорема гипотез формулируется следующим образом: в е р о я т ­

т а н и я на в е р о я т н о с т ь с о б ы т и я по д а н н о й г и п о ­ т е з е , д е л е н н о м у на п о л н у ю в е р о я т н о с т ь э т о г о с обыт ия .

Пример. Экипаж танка готовится к стрельбе по цели, располо­ женной на дальности 1800 м. Вследствие ошибок подготовки мо­ жет быть назначена одна из следующих установок прицела: 16, 18 или 20. Допустим, что вероятности назначения каждой из указан­ ных установок составляют Р\ъ = 0,5; Р\ъ = 0,3 и Р%а = 0,2.

Известно также, что вероятности попадания в цель на каждой из этих установок прицела соответственно равны рш = 0,3; р\ъ — 0,7 и рго = 0,4. Пусть будет произведен выстрел и получено попадание в цель. Какова вероятность того, что выстрел произведен с уста­ новкой прицела 18?

Решение. По формуле (1.35) определяем

п— Р ,8^ 1 8 _________

ЧГ18

Р1бРы “Ь Р l$PlS~\~ P ‘10 Ръо

0,3-0,7

= 0,48.

0,5-0,3 + 0,3-0,7+0,2-0,4

Из примера видно, что полученный результат стрельбы уточнил наши гипотезы: до опыта (выстрела) P\s = 0,3, а стала после опы­ та Qi8=>0,48. Соответственно изменились вероятности и других

составить распределение вероятностей, из анализа которого мож­

ис п ы т а н и й

Втеории вероятностей совокупности событий, полученные при повторении испытаний, принято называть вариантами и комбина­ циями.

Вариантом (последовательностью) называют совокупность со­ бытий, появляющихся в строго определенной очередности. Так, на­ пример, при двух выстрелах возможны следующие четыре вариан­ та сложных событий: попадание, попадание; попадание, промах; промах, попадание; промах, промах.

61

ность расчета вероятностей комбинаций рассмотрим на примере. Пусть при одном выстреле вероятность попадания в цель равна р, а вероятность промаха — q (при этом р + q — 1, как сумма веро­

ятностей противоположных событий). Если значения р и q неиз­ менны, то при трех выстрелах возможны варианты и комбинации,

Из рассмотренного примера видно, что сумма вероятностей всех возможных комбинаций представляет собой сумму членов раз­ ложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний.

62

В общем случае при двух противоположных событиях и при 5-кратном повторении испытаний получаем:

—число вариантов, равным 2s ;

—число комбинаций, равным 5 + 1 ;

—вероятность каждой комбинации равна соответствующему

члену разложения бинома Ньютона.

Известно, что любой член разложения бинома, а следовательно,

Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,7 и остается постояннойпри каждом выстреле. Определить вероятности воз­ можных комбинаций попаданий и промахов при четырех выстре­ лах.

Решение. 1. Определяем q = 1 — р — 1 — 0,7 = 0,3. 2. Применяя формулу (1.36), получаем

= 0,74+ 4 • 0,73 • 0,3+ 6 • 0,7* • 0,32+ 4 ■0,7 • 0,3*+0,3* =

=0,2401 +0,4116+0,2646+0,0756+0,0081 = 1,0.

Из решенного примера видно, что в данных условиях может по­ лучиться пять комбинаций: первая — четыре попадания, вероят­ ность ее равна 0,2401; вторая — три попадания и один промах (в четырех вариантах), вероятность ее — 0,4116; третья — два попада­ ния и два промаха (в шести вариантах), вероятность ее — 0,2646; четвертая — одно попадание и три промаха (в четырех вариантах), вероятность ее — 0,0756; пятая — четыре промаха, вероятность ее —

63

0,0081. Сумма вероятностей всех комбинаций равна единице. Наи­ большую вероятность имеет комбинация, состоящая из трех попа­ даний и одного промаха.

Вероятности всех возможных комбинаций можно представить графически (рис. 29). Для этого по оси абсцисс в произвольном

масштабе откладывают номера комбинаций, а по оси ординат — отвечающие им вероятности. На полученных отрезках строят пря­ моугольники, площади которых пропорциональны вероятностям комбинаций.

Совокупность вероятностей всех возможных комбинаций при данном числе испытаний называется распределением вероятностей комбинаций.

5. В е р о я т н о с т ь п о я в л е н и я с о б ы т и я х о т я бы оди н р аз

При стрельбе из танка для поражения некоторых целей доста­ точно одного попадания. При этом для поражения цели безразлич­ но, будет ли одно, два, три или более попаданий. В подобных слу­ чаях и возникает необходимость определения вероятности появле­ ния события хотя бы один раз.

В общем случае при повторении испытаний вероятность появле­ ния события хотя бы один раз определяют по формуле

64

Учитывая, что q — 1— р, для случая стрельбы получаем

Пример. Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5.

Решение.

Р>i = l - (1 - Рц) = 1 - (1 - 0,5)4 = 1 - 0,54 -

1 —0,0625 = 0,9375 или около 94%.

Это означает, что на 100 стрельб, при расходе на каждую стрельбу по 4 снаряда, в среднем будем иметь в 94 стрельбах не менее одного попадания в цель, а в 6 стрельбах — промахи. В том случае, когда для поражения цели достаточно одного попадания, вероятность поражения цели численно равна вероятности хотя бы одного попадания и в условиях приведенного примера она будет составлять 94%.

Если вероятность попадания в цель от выстрела к выстрелу изменяется, то для определения вероятности хотя бы одного попа­ дания применяют следующую формулу

р> 1 = 1 - (1 - РчО (1 - Рц*) . . . (1 - Рц») = 1 —П (1 — Рцд-

(1.39)

В теории стрельбы иногда приходится решать обратную задачу: определять норму отпуска боеприпасов (количество выстрелов), при которой достигается заданная вероятность получения хотя бы одного попадания. Для решения этой задачи (в случае постоянной вероятности попадания в цель) воспользуемся формулой (1.38). Из этой формулы имеем

(1 _ Рцу = 1 _ р >и

После логарифмирования получаем

s l g ( 1 — Р ц ) — l g ( 1 — Р > l ) ,

Пример. Определить, какой требуется расход снарядов для по­ лучения вероятности хотя бы одного попадания Р>i = 80%, если вероятность попадания при каждом выстреле Рц = 0,33.

Решение.

Этот результат означает, что, отпуская на каждую стрельбу по 4 снаряда, можно при большом числе стрельб ожидать получения не менее одного попадания в 80% стрельб.

При ведении огня из танка вероятность попадания в цель, как правило, изменяется от выстрела к выстрелу. В этих условиях рас­ ход боеприпасов, необходимый для достижения заданной вероят­ ности хотя бы одного попадания в цель, может быть приближенно определен по формуле

г __ lg П - f j i ) lg (1 - Afcp)’

где Р цср = --------. s

6. В е р о я т н о с т ь п о я в л е н и я с о б ы т и я хот я бы д в а и б о л е е ра з

В ряде случаев для поражения целей, особенно бронированных, требуется не менее двух, трех и более попаданий. В подобных слу­ чаях возникает необходимость определения вероятности появления события хотя бы два и более раз.

Для определения вероятности появления события не менее двух, трех и т. д. раз нужно из разложения бинома (р + q), взя­ того в степени, равной числу испытаний, выделить те члены, кото­ рые отвечают заданному условию, и найти их сумму или из еди­ ницы вычесть сумму членов, не отвечающих этому условию.

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6 и не изменяется в ходе стрельбы. Определить вероят­ ность получения не менее двух попаданий при четырех выстрелах.

Решение. При четырех выстрелах могут быть пять различных комбинаций, состоящих из попаданий и промахов. Условию приме­ ра удовлетворяют все комбинации, за исключением комбинаций,

66

4 снаряда, в среднем будет получено в 821 стрельбе не менее двух попаданий в цель, а в остальных 179 стрельбах — промахи или только по одному попаданию.

§ 3. Случайные величины и их характеристики

1. С л у ч а й н а я в е л и ч и н а и з а к о н ее

ра с п р е д е л е н и я

Втех случаях, когда имеем дело со случайным событием, обя­ зательно встречаемся и со случайной величиной.

С л у ч а й н о й в е л и ч и н о й н а з ы в а е т с я т а к а я ве ­

1.Число попаданий в цель при S выстрелах.

2.Число осколков, образовавшихся при разрыве снаряда.

3.Установка прицела (дальность до цели, измеренная разными людьми).

4.Удаление точки падения снаряда от цели.

5.Расход снарядов на поражение цели.

6.Отклонение температуры воздуха в момент стрельбы от таб­ личной.

Случайные величины, принимающие только определенные зна­ чения (примеры 1, 2, 5), называются прерывными (дискретными) величинами. В примерах 3, 4 и 6 случайная величина может при­ нимать любое значение в некоторых пределах.

Случайные величины, возможные значения которых непрерыв­ но заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными

случайными величинами.

Случайная величина (X) проявляется в виде отдельных част­ ных значений (хь х2 ... xs ). Одни частные значения могут появ­ ляться чаще, а другие реже. Более того, появление каждого част­ ного значения обычно обусловлено определенной вероятностью.

Объективно существующую связь между частными значения­ ми случайной величины и вероятностями их появления называют

законом распределения случайной величины.

Закон распределения является наиболее полной и исчерпываю­ щей характеристикой случайной величины. На основе закона рас­ пределения можно определить возможные значения случайной ве­ личины и вероятности появления этих возможных значений.

Закон может быть выражен: в виде формулы (аналитически); в виде таблицы; в виде графика.

Для непрерывной случайной величины аналитическое выраже­

где р' — функция плотности вероятности, или просто плотность вероятности;

х ■—текущее значение случайной величины.

График закона распределения случайной величины непрерыв­ ного типа (график плотности вероятности) имеет вид плавной кри­ вой (рис. 30).

Рис. 30. График распределения случайной величины непрерывного типа

Использование плотности вероятности для определения вероят­

ностей возможных значений случайной величины рассмотрим на примере.

Допустим, что случайная величина х имеет функцию плотности вероятности f(x), показанную на рис. 31. Требуется определить ве­ роятность частных значений xt в пределах от хг = а до х2 = Ь (на­

пример, вероятность появления осколков снаряда весом от 10 до

20 г).

На графике проводим ординаты ас и bd и определяем площадь 5] фигуры acdb. Затем определяем площадь S, заключенную меж­ ду кривой функции плотности и осью абсцисс. Находим отношение

<$

—- . Это и будет искомая вероятность.

S

68

Итак,

р ( а к х < b ) — Sj_

S ‘

Рис. 31. График определения вероятности появления случайной величины в пределах от х, = о до х9 •= Ь

Для удобства расчетов график плотности вероятности строится в таком масштабе, чтобы площадь 5 была равна единице. Тогда площадь 5'i будет непосредственно выражать вероятность получе­ ния случайной величины в заданных пределах, т. е.

р (а < х < b) = Si.

Из курса высшей математики известно, что определение площа­ ди фигуры сводится к решению определенного интеграла вида

S ,= \ f { x ) d x .

а

Таким образом, для определения вероятности, появления слу­ чайной величины в заданных пределах пользуются равенством

69