
книги из ГПНТБ / Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие
.pdfизменяет само уравнение, иначе уравнение неинвариантно относительно знака у переменной. Направление процесса теплопереноса определяется вторым началом термодина
мики, которое для теплопроводности записывается |
в ви |
|||
де неравенства |
Ц-^ъао1Ь< |
<?, т .е . угол между |
векто |
|
рами ^ и Cjtad ~Ь находится |
в интервале |
< у < |
||
Нледовательно, |
вектор Cj, |
всегда направлен в |
сторону |
менее нагретых частей тела. Второе начало термодинами ки, указывая направление процесса, не дает дополни тельного уравнения. Дифференциальное уравнение конвек тивного теплообмена включает вектор скорости иГ . Это означает, что нахождение поля температур в потоке свя зано с полем скоростей жидкости. Процесс теплоотдачи, как показывают опыты, существенно зависит от гидродина мических характеристик потока. Коли скорость теплоноси теля равна нулю, то конвективный перенос тепла не про
исходит |
=о),и уравнение -Турье-Остроградского |
|||
(Т.2Я) превращается в |
|
дифференциальное уравнение те |
||
плопроводности |
,турье |
(1 |
.26) в неподвижной среде. |
|
величина |
& [ |
ы2/ч |
] |
является Физическим парамет |
ром среды, который характеризует ее способность вырав нивать температуру. Нохно показать, что коэффициент
температуропроводности |
Си прямо |
пропорционален ско |
рости распространения |
изотермы: |
|
ои= |
V t |
(1 .2 °) |
|
v zt |
|
где uft - скорость распространения изотермической поверхности, величина Си изменяется от 0,7 м2/ч дл.г серебра до 5 * l6 V /4 для масел. Пели процесс распро странения тепла установился во времени (стационарный процесс), то температурное поле в неподвижной среде с постоянными Физическими свойствами и без внутрен-
2 0
них источников тепла описывается уравнением Лапласа
|
V H = О, |
(1.30) |
которое является частным случаем уравнения (1 .28) с |
||
учетом того, |
что физический параметр |
а -сугубо поло |
жительная величина, а полная производная по времени |
||
равна нулю. |
|
|
Уравнение |
(1.30) является однородным линейным урав |
нением второго порядка в частных производных эллипти
ческого типа. Как |
следует из |
(1 .30), |
стационарное |
тем |
|||||
пературное поле |
в |
неподвижной |
среде |
при с|/у, = о не |
за |
||||
висит |
от физических |
свойств среды, |
а |
определяется |
|
||||
только граничными условиями, т .е . геометрией тела и |
|||||||||
температурами его |
границ. |
|
|
|
|
||||
^сли в твердом теле действуют внутренние источники |
|||||||||
тепла ( с^у Ф 0 ) |
, |
|
то |
стационарное |
температурное |
поле |
|||
определяется решением еле,дующего уравнения: |
|
||||||||
|
Л v |
l t |
+ |
о , |
|
(I.3T ) |
|||
т . е . |
в этом случае |
|
температурное поле |
зависит еще |
от |
мощности источников тепла и коэффициента теплопровод ности среды.
Б случае стационарного конвективного теплообмена температурное поле в потоке среды зависит от тепло проводности среды, ее плотности и теплоемкости, как это видно из следующего уравнения:
Нахождение общего решения уравнений эллиптичес кого или параболического типа связано с большими трудностями. Методы решения таких уравнений состав ляют содержание раздела классической математики -
2 1
математической физики.
§ 3. Уравнение сплошности потока жидкости
Для решения гидродинамической задачи о распределе нии скоростей в потоке вязкой жидкости используются законы сохранения массы (уравнение сплошности).
Выделим в потоке жидкости произвольный объем У |
, |
|||
ограниченный замкнутой поверхностью |
F |
. |
Для вы |
|
деленного объема уравнение закона сохранения массы |
|
|||
имеет вид |
|
|
|
|
d M vt d M F = 0, |
|
|
(1.33) |
|
где сСМу - изменение массы жидкости |
в объеме |
у |
за |
единицу времени в результате неодинакового расхода жидкости через различные участки контрольной поверх
ности |
clMF . |
|
|
|
|
|
|
Изменение массы происходит за счет изменения плот |
|||||||
ности жидкости во времени. Следовательно, изменение |
|||||||
массы в объеме |
У |
будет равно |
|
||||
|
|
|
dM v = J | £ : d y . |
(1.34) |
|||
С другой стороны, это |
изменение массы можно подсчи |
||||||
тать, |
суммируя |
расход |
жидкости через |
контрольную по |
|||
верхность |
F |
, т .е . |
|
|
|
||
|
|
|
d M ^ J p d r d F , |
(1.35) |
|||
|
—► |
|
|
|
F |
скорости. |
|
где рчжг - |
вектор массовой |
||||||
Величины |
Мр |
и |
Му |
имеют |
разные |
знаки, т .к . в слу |
чае сжимаемой жидкости плотность жидкости в данной точке пространства может возрастать или уменьшаться в единицу времени со скоростью Эр/Эт; в зависимости
2 2
от уменьшения или увеличения расхода вдоль координат.
Подставляя (Т.34) |
и (1.35) в (1 .33), |
получим |
|
clV '+ J’p a ? c lF = 0 . |
(1.35) |
v |
F |
|
Используем пространственное преобразование Остроград- ского-Гаусса
Тогда уравнение сохранения массы в интегральной форме имеет вид
(1.37)
Из полученного уравнения следует, что
— |
+ d u ir ( р vf) = 0 |
(1 .38) |
|
Этт |
^ |
> |
|
Уравнение (1.38) называется дифференциальным уравнени ем сплошности (неразрывности). Для течения несжимае мой жидкости р = corts-L , и уравнение сплошности переходит в уравнение несжимаемости
o U tr u r = О |
(1 .39) |
или, в прямоугольных координатах,
д-uJL |
Ъ щ |
(1 .40)
OX OUr од,
Уравнение (1 .40) |
содержит |
три компонента вектора ско |
рости -цг^, -ur |
» ixr% |
. Следовательно, этого урав- |
* |
|
23 |
нения недостаточно для нахождения поля скоростей в по токе вязкой жидкости.
§ 4. Уравнения движения вязкой жидкости*)
Рассмотрим вывод уравнений движения реальной жид кости. Эти уравнения позволяют определить поле скоро стей и перепады давлений при ламинарном движении, а с некоторыми изменениями и при турбулентном движении.
Принцип причинности движения сформулирован вторым
законом Ньютона, лежащим |
в основе уравнений движения |
и отражающим закон сохранения количества движения. |
|
Выделим в движущейся |
вязкой жидкости фиксирован |
ный элементарный объем в виде параллелепипеда с ребра
ми d x |
, |
dy- |
, |
d x |
и рассмотрим динамическое |
равновесие |
|||
этого |
|
объема. |
Действующими на объем |
силами будут: |
|||||
I) объемные силы тяжести, проекции |
которых на оси ко |
||||||||
ординат, |
отнесенные |
к единице массы, обозначим через |
|||||||
X |
, |
d |
|
, |
Z |
» |
2) даламберовы силы инерции, |
||
проекции |
которых на |
оси координат, |
отнесенные к еди |
||||||
нице |
массы, |
равны |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d игх |
|
d - u ^ . |
d-urz |
|
|
|
|
<1*"~ |
d t |
> |
4 ~ ~ ~ d / b |
’ |
3) поверхностные силы, обусловленные действующими нор мальными и касательными напряжениями. На каждой из шести граней рассматриваемого элемента действуют меха нические напряжения со стороны окружающей жидкости. Нормальные напряжения обусловлены силами давления. Касательные напряжения, или напряжения сдвига, вызыва ются трением между слоями жидкости, двигающимися с
х ) В § 4.5 через i,T обозначено время.
24
различной скоростью. Таким образом, каждое напряжение на грани можно разложить на три составляющие, параллель ные трем осям (одно нормальное напряжение и два каса тельных!
Z
На рис. Г .I показаны |
компоненты напряжений, дейст |
вующих в направлении оси |
х . Система индексации |
напряжений следующая. Первый индекс обозначает направ ление нормали к той грани, на которую действует напряже ние. Второй индекс указывает направление действия са мого напряжения. Нормальные напряжения имеют два оди наковых индекса. При стремлении размеров элементарного объема, к нулю напряжения на противоположных гранях становятся равными по величине и противоположными по знаку, т .е .
^ ' х7 °зс2' ^'iX/’ |
(1.41) |
25
Напряженное состояние в точке может быть полностью оха рактеризовано заданием шести компонентов касательных напряжений и трех компонентов нормальных напряжений
Спроектируем все силы на ось х :
d x ciij cU.+ |
doc |
Эос |
|
clx cU+- Xpdcc |
oLur |
d c cUj, dji = |
После сокращений и аналогичных выкладок для других осей окончательно получим уравнения движения жидкости в напряжениях:
duf*_ у |
|
8Р ^ |
|
|
|
|
3dz x . |
|
d i |
Р |
Эх |
Р |
|
Р |
|
д% |
|
|
■1 |
д Р& |
1 |
|
1 |
|
Зх 7 |
> |
dA> |
Р |
дя |
Р |
д г |
Р |
|
(1.42) |
|
|
Н |
|
|
|
|
i |
|
|
|
~~р |
дг |
р |
Эх |
|
Р |
а ч |
' |
|
|
|
|
|
|
|
Если внешние объемные силы заданы, то система (1.42) содержит двенадцать неизвестных: три компонента векто ра скорости и девять компонентов напряжений. С учетом уравнения сплошности, равенств ( I .4 I ) имеем семь урав нений. Таким образом, система уравнений, описывающих динамику вязкой жидкости, является незамкнутой, и для ее замыкания необходимо привлекать феноменологические
гипотезы или законы о дополнительных связях между пере менными. В данном случае на помочь приходит закон Нью тона о внутреннем трении в двииущейся жидкости. Этот закон положен в основу механики вязких жидкостей.
По закону Ньютона в случае плоского течения вязкой жидкости касательное напряжение трения пропорционально производной от скорости по нормали к направлению потока*
|
V = —J* d ^ T ’ |
(1 .4 3 ) |
|
|
|
||
где |
JU - коэффициент пропорциональности, |
называе |
|
мый коэффициентом |
динамической вязкости жидкости. Эта |
||
величина является |
физическим параметром, т .к . |
для дан |
ной жидкости она зависит только от давления и темпера туры .
В системе единиц МКГСС, часто используемой в техни
ке, |
jvj |
измеряется в т а ,сек/м2, |
а в |
системе |
СИ |
- |
|||
в кг/м-сек |
или в Н-сек/м2 * |
В таблицах |
обычно |
вязкость |
|||||
указывается |
в сантипуазах |
(сп э); |
I сантипуаз |
равен |
|
||||
I/IOO |
пуаза |
(п э ). Пуаз - единица |
системы СГС; |
I |
пз |
- |
|||
I г/си*сек. |
Для перевода вязкости, измеренной |
в |
сан |
||||||
типуазах, |
в кг/и*сек ее значение |
нужно умножить |
на К Г 3, |
||||||
а в к г «сек/u 2 - на 1,02*10“\ |
|
|
|
|
|
||||
Динамическая вязкость капельных жидкостей обычно |
|
||||||||
уменьшается с ростом температуры, а вязкость газов |
|
||||||||
возрастает. |
Жидкости, подчиняющиеся закону (1 .4 3 ), |
на |
|||||||
зываются |
ньютоновскими. |
|
|
|
|
|
|
Обобщенный закон Ньютона для трехмерного течения выражает линейную зависимость касательных напряжений от скорости деформации жидкого элемента и записывает ся следующим образом*
27
I
!jXX |
|
^2oc |
durx |
_du£). |
|
dz |
d x J ’ |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
(1.44) |
|
|
|
dur |
|
|
|
z4 |
т г ^ - Ь |
ж у |
где |
У ( Г х ? у У |
- вектор угловой скорости |
||
сдвига. |
1 |
‘ ' |
|
|
Термодинамическое |
давление р |
в данной точке пото |
ка равно средней арифметической величине нормальных напряжений, взятых по любым, но взаимно перпендикуляр ным направлениям, т .е .
р = К (рлх Рэд+ Ргг) = ^ егтъ(в данной то ч к е ;.(1 .45)
Как |
видно из (1.45), |
р является скалярной величи |
ной |
и не зависит от |
направления, т .е . р = Д х , а ;^,ЪУ |
Для несжимаемой жидкости нормальные напряжения связа ны с давлением линейными зависимостями:
р. > |
р _ |
2 j 4 |
oij |
, |
ЧУ' |
1 |
J |
|
|
П |
|
|
Ъигг |
(1.45) |
|
|
|
||
Ра - |
Р - |
Ч |
|
|
дъ |
|
28
Вторые члены в правой части являются добавками, обуслов ленными вязкостью жидкости и характеризуемыми деформа цией растяжения и сжатия частиц жидкости. Эти члены существенны только при очень высоких продольных гради
ентах скорости. |
Выражения (1.44) |
и (1.46), как и закон |
Ньютона (1 .43), |
справедливы для |
ламинарного движения |
жидкости. |
|
|
Если выражения для трех компонентов напряжений, на
правленных по оси |
ас |
, подставить |
в первое уравне |
|
ние системы (1 .42), |
то |
получим в |
законченной форме |
|
уравнение движения |
в направлении |
оси |
х |
(1.47)
Последний член в полученном выражении равен нулю в си лу уравнения несжимаемости (1 .40).
Обозначим величину -jj- , которая называется кинематическим коэффициентом вязкости жидкости, через 9:
S* 0 |
,, |
(1.48) |
— = V |
лл“/ сек . |
?
Если внешней массовой силой является сила тяжести, то ее проекции на оси координат, отнесенные к единице
29