книги из ГПНТБ / Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие
.pdf(4. к )
- средняя безразмерная температура цилиндра
Fo- |
|
i |
57 г 2 . 7 * 3» е* р ( л рт . и ) |
||
8\ |
В |
n*iJ п |
Рассмотренные в настоящем параграфе решения могут быть использованы для исследования температурных по лей в элементах АЗУ без внутренних источников тепла в режимах разогрева и расхолаживания. При расчете тем пературных полей в трубопроводах в тех случаях, когда
к |
it5 , можно использовать формулы, |
полученные |
Rz |
неограниченной пластины (здесь R |
и R& - co- |
для |
ответственно наружный и внутренний радиусы трубопро вода).
§ 23. Температурное поле в телах с непрерывно действушими внутренними источникам^
тепла
Характерной особенность!) отдельных элементов конст рукций АЗУ(ТВЭЛ, корпус реактора, тепловые экраны и д р .) является наличие в них постоянно действующих внутрен них источников тепла. В общем случае аналитическое ре шение задач нестационарной теплопроводности для тел с внутренними источниками тепла, изменяющимися как во
времени, так и по пространственным координатам, пред-
140
ставляет большие трудности. Поэтому эти задачи решают только для случаев, когда удельная мощность внутренних источников тепла изменяется только во времени или толь ко по пространственннм координатам.
Неограниченная пластина
Ф о р м у л и р о в к а |
з а д а ч и . |
Дана неогра |
|
ниченная пластина толщиной 2 £ |
при температуре t0 . |
||
В начальный момент времени температура окружающей сре
ды изменяется скачком до величины |
tc > ~t |
. Между |
окружающей средой и пластиной происходит теплообмен |
||
с коэффициентом теплоотдачи ос . |
Внутри пластины дей |
|
ствуют источники тепла с удельной мощностью |
^ [вт/м^]. |
|
Требуется найти распределение температуры по |
толщине |
|
пластины и среднюю температуру пластины в любой момент времени.
Дифференциальное уравнение теплопроводности, началь ные и граничные условия записываются в виде:
dt(x/t) |
дйЬ(хЛ) |
д Т = а |
docs |
t(*,0)= t0 ,
at ю л ) 3
в ОС
т
Р е ш е н и е |
з а д а ч и |
п р и |
п о с т о я н |
|||
н о й |
у д е л ь н о й |
м о щ н о с т и |
в н у т |
|||
р е н н и х |
и |
с т о ч н и к о в |
т е п л а (ау = const). |
|||
Безразмерная |
температура в |
пластине |
|
|||
t ( x , T ) - t 0
6 ~
(4.18)
где |
р - |
9т* |
^ j |
- критерий Померанцева. |
При отсут |
||
|
* о = |
|
|||||
ствии внутренних источников тепла |
Р о |
- О |
, и реше |
||||
ние |
(4 .18) |
сводится |
к решению (4 .8 ) |
Для пластины без |
|||
внутренних |
источников тепла. |
|
|
|
|||
|
Средняя безразмерная температура |
пластины |
|||||
Р е ш е н и е |
з а д а ч и |
п р и |
и з м е н е |
||||
н и и |
у д е л ь н о й |
м о щ н о с т и |
в н у т |
||||
р е н н и х |
и с т о ч н и к о в |
т е п л а |
п о |
||||
э к с п о н е н ц и а л ь н о м у |
з а к о н у |
||||||
yv ^fVoe _к |
m З д е с ь ^ , - |
удельная |
мощность источников |
||||
тепла |
в начальный момент |
времени. |
Величина Л |
характе |
|||
ризует скорость изменения удельной мощности источни ков тепла во времени и численно равна максимальной относительной скорости изменения удельной мощности ис точников .
к |
= |
J |
|
|
d ff- |
max |
|||
|
|
142
Решение |
зад ач и приводит к следующей формуле для оп |
ределен и я |
безразм ерн ой тем пературы : |
0 = |
t(x ,< i)-t0 |
Р о |
exp(-PdR})- |
||
*Ь-*о |
= / - Рс/ 1- cosW -ik |
||||
- I |
i |
1- |
Po |
\kn COi{ f n j ) e x p ( - J Un l:‘° )’ 0>.2O) |
|
|
|||||
n*i |
Ро!~Гп |
||||
гд е |
|
Pol = |
|
- критерий П редводителева; х ар ак тер и |
|
зу ет |
ск о р о сть изменения удельной |
мощности внутренних |
|||
источников |
т е п л а . |
|
|||
|
|
|
|
Неограниченный пилиндо |
|
|
Для неограниченного цилиндра |
дифференциальное у р ав |
|||
нение теплопроводности при наличии внутренних источни
ков теп л а запиш ется к а к :
Щ гЯ ) |
гдЧ(гЯ) + ± |
difat) |
(rP>0;0^z<R). |
|
д Г |
~а [ д г 3 г |
дг . |
||
|
Формулировка начальных и граничных условий ан алоги чн а предыдущей за д а ч е .
|
Р е ш е н и е |
з а д а ч и |
п |
р и |
fyy = const. |
Формулы для р ас ч е т а безразм ерн ой |
и |
средн ей б езр азм ер |
|||
ной |
тем пературы |
неограниченного |
цилиндра |
со о т в ет с т в ен |
|
но |
запиш утся в |
ви д е : |
|
|
|
У ) - 2 |
) Апф п ^ )ейСР (-//° У’^ '2 1 ) |
в ч + ± f h ( i + £ j - 1 { i ^ ) e n e X p ( - J , sn F o ) .
|
|
(4.22) |
Р е ш е н и е |
з а д а ч и |
п р и py = yyoe-к^ |
Безразмерная температура в цилиндре
1 o ( № i r )
escp(-PdFo)~
р Л э, ( Щ & № э,( № )
(4.23)
Ро
^ { f n p j ^ p l - P n F o ) .
В приведенных в настоящем параграфе расчетных фор мулах численные значения Ап •> Вп и п берут ся из таблиц для тел без внутренних источников тепла.
Применение рассмотренных выше решений для исследо вания температурных полей в элементах АЗУ с внутренни ми источниками тепла ограничено, так как эти решения получены только для случая, когда начальное распреде ление температур в теле равномерное и внутренние ис точники тепла начинают действовать одновременно с из менением температуры окружающей среды. В ядерной энер гетике обычно приходится сталкиваться с более сложны ми задачами, когда начальное распределение температу ры в исследуемом элементе не является равномерным, а внутренние источники тепла действуют как до начала, так и после возникновения исследуемого нестационарно го процесса. К подобным задачам относятся, например, нестационарные процессы в тепловыделяющих элементах при изменении мощности реактора, при аварийном пре кращении подачи теплоносителя и др. Подобного рода исследования могут быть с успехом выполнены путем
144
использования численных методов интегрирования диффе ренциальных уравнений на ЭЦВМ.
§ 24. Регулярный режим теплообмена
Регулярный режим теплообмена рассмотрим на примере
неограниченной пластины |
без |
внутренних |
источников теп |
|||||
ла. Как было показано в § 20, безразмерная |
температура |
|||||||
в пластине определяется |
по формуле |
|
|
|
||||
<о_ |
|
СО |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
|
п=/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(x,?)-tc |
4 - |
t(x,t) |
|
|
|||
|
|
|
" |
*с~*0 |
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= £ |
An cas(j*nj ) e x p ( - J " n f o ) . (4.25) |
||||||
Рвиду наличия |
неравенствау*. < J us <:"'<J un Ряд (***25) |
|||||||
быстро сходится, и, начиная с определенного значения |
||||||||
критерия Фурье |
fo f можно ограничиться |
одним первым |
||||||
членом ряда |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tc-t(oc,^) |
|
/ |
рс\ _ju?Fo |
|
||||
-S r— |
/ — |
= A sa?s( A j ) e |
|
> |
(4.26) |
|||
т .е . избыточная температура |
ic~1 |
будет |
изменяться |
|||||
по экспоненте. |
Логарифмируя |
выражение (4 .2 6 ), |
получим |
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
(4.27) |
to , за к . 7д |
145 |
где |
c - M f c *о)А1ш ( Л § ) ] ; |
|
Я |
Таким образом, графическая зависимость логарифма избы точной температуры от времени будет линейной (рис.4 .6 ).
in[tc'faZ}]
//
О
Z
Рис. 4 .6 . Зависимость £n\tc-t(x, f)] от времени:
I - неупорядоченный режим; П - регулярный режим
При рассмотрении вопросов нестационарной теплопро водности весь процесс нагрева (охлаждения) тела можно разделить на три стадии.
Первая стадия (неупорядочный режим) характеризуется тем, что здесь большое значение имеет начальное распре деление температуры в теле, которое отражается на рас пределении температуры в последующие моменты времени (в общем случае начальное распределение температуры может быть произвольным). Зависимость избыточной тем
146
пературы от времени здесь описывается уравнением (4.24) или другими решениями при задании произвольных начальных условий.
Вторая стадия называется регулярным режимом. Зави симость для избыточной температуры в этом случае опи сывается экспонентой (прямые линии на рис. 4 .6 ). Рас пределение температуры внутри тела на этой стадии не
зависит |
от начального распределения температуры. |
|
|||||||
|
Третья стадия соответствует стационарному состоя |
||||||||
нию (р0 - сто) |
, при |
котором температура во |
всех |
точ |
|||||
ках тела будет равна температуре окружающей среды. |
|
||||||||
|
Для |
стадии |
регулярного |
режима постоянная |
т |
, |
|||
как |
это |
видно |
из |
формулы |
(4 .27), есть скорость измене |
||||
ния |
логарифма |
избыточной |
температуры во времени, т .е . |
||||||
|
|
|
d € n [tc - t (я,?)] |
(4 .28) |
|||||
|
|
|
|
7 ? |
|
т |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эта величина |
является одинаковой для всех точек тела |
||||||||
и называется |
темпом нагревания (^охлаждения). Для не |
||||||||
ограниченной пластины |
/77 - |
^*4%- , откуда |
видно, |
|
|||||
что |
численное |
значение |
т |
|
сг* |
|
|
||
|
определяется физическими |
||||||||
свойствами и размерами (а в общем случае и формой) |
|||||||||
тела. Зависимость (4.28) |
справедлива и для средней |
||||||||
по |
объему температуры |
тела, |
т .е . |
|
|
||||
|
|
|
|
с/£п ftr - |
t ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
old |
= /7 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ИЛИХ^
d)Рассматривается случай скачкообразного изменения температуры окружающей среды.
откуда
o t t |
|
m ( i c - t |
) . |
cfc |
(4.29) |
Ляя тела любой формы на стадии регулярного режима справедливо следующее равенство:
|
( , . * |
где £ |
- площадь поверхности теплоо&мена тела? |
V |
- объем тела; |
С- теплоемкость.
После подстановки равенства (4.29) в (4.30) получим
c f V m ( t c ~ t ) = c L S ( t c - i n ),
откуда
|
o ( g |
t c - t n |
o L S |
|
|
|
т - |
|
|
<P> |
(4.31) |
|
c / V |
' t ^ |
T |
||
|
Ж |
|
|||
где |
(p - |
- |
коэффициент, характеризующий |
||
неравномерность температурного поля. При равномерном |
|||||
распределении температуры в |
теле <р - / |
. Чем боль |
|||
ше неравномерность распределения температуры, тем мень
ше |
<р . |
|
|
|
Преобразуем выражение |
(4 .3 1 ). |
Обозначив через |
||
о |
= Х |
эквивалентный |
радиус |
тела и учитывая, что |
K v |
$ |
|
|
|
а = |
Л |
получим |
|
|
|
|
|
c f |
У |
|
й |
|
|
|
т = _Д_ |
^ |
|
n , ^ e32) |
||
|
|
л |
^ |
R ^ K |
||
где |
Кп - Biy - критерий |
Кондратьева. |
Этот |
критерий |
||
характеризует |
неравномерность |
температурного |
поля и |
|||
интенсивность теплообмена поверхности тела с окружаю щей средой.
Задачу нагревания тела сложной геометрической формы
можно |
свести к задаче на нагревание тел основной фор |
||||
мы (шар, неограниченный цилиндр, неограниченная пла |
|||||
стина) путем введения критерия приближенного подобия |
|||||
|
£ |
Критерий приближенного |
подобия учитывает |
||
£ = -g- |
|||||
влияние0 формы поверхности |
тела на |
его |
температурное |
||
поле. |
Анализ температурных |
полей |
тел |
различной конфигу |
|
рации показывает, что все многообразие форм можно све сти к трем основным группам.
К первой группе относятся всесторонне нагреваемые
("охлаждаемые) тела, |
имещие |
все три |
измерения |
одного |
и того же порядка. Основным |
телом первой группы яв |
|||
ляется шар. Для тел |
первой группы £ |
и g - |
соответ |
|
ственно полная поверхность данного и основного (экви валентного) тела.
Тела, у которых одно измерение существенно больше Двух других (например, призмы), относятся к телам вто рой группы. Их эквивалентным телом является неограни ченный цилиндр.
Тела, у которых одно измерение существенно меньше Двух других (пластины, стенки), относятся к телам третьей группы. Их эквивалентное тело - неограничен ная пластина.
Для тел второй группы в £ и $ не входят пло
149