Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4946 47 48 49 > Следующая >>>

ЗАДАЧИ

451

62.

J (х2+

х2) dt *

inf;

фиксировано,

лг (0) = х (0) = О,

х {Т) = |i,

x(T) =

задачу

стандартной

форме задачи

Р е ше н и е .

Приведем

Лагранжа:

( * *

+ xfj dt -> inf,

х%

хг>

х[ —- ^2’

Х[ (0) =0.

/ =

1, 2,

xi (T) =

г = 1 . 2 ;

Г фиксировано.

Напишем уравнения Эйлера — Лагранжа этой задачи

(теорема 1 из

§ 2.3). Лагранжиан задачи имеет вид

1 = Х

+ *<) +

(*i

“

*2) + Р2 (*2 -

*з)-

Уравнения Эйлера— Лагранжа таковы:

° =

- - j r Lx, + Lxl ^

l - XOxl ==0’

о =

- 4 - ^

+ ^ ^ - ^ - Р | = ° ;

<•>

Q==- - J t Lx>JrLx

p2 =

Кх3-

Если Л0 =

О, то р\ =

р2 =

чего не может быть.

Положив Я0 =

и р2— р, * , = х. из уравнений (•)

получаем, что р =

— *, х = дс3 =

р,

откуда

х1У +

* = о.

Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее краевым усло

виям на левом конце,

имеет вид

где

х (/,

С ь С 2) = C,qpi (/)

С 2ф2 (<),

t .

Ф, (/) =

J^2

/ 2

cos

ф2 (0 = ch

sin —тгг

— sh

___

/ 2

y r

V 2 ‘

В задаче имеется единственная допустимая экстремаль, доставляю щая абсолютный минимум, в чем легко убедиться непосредственным сравнением ее с любой другой допустимой кривой.

15*

452 ЗАДАЧИ

63.	J	(х2 — х2) dt -> inf;		Т	фиксировано,		дг (0) = jc (0) = О,
x ( T ) =	l .	х (Г ) =	12.	тому,	как это	было	проделано в	пре
Р е ше н и е .			Аналогично
дыдущей		задаче,	приходим	к уравнению		х1 у — х = 0. Общее		ре

шение этого уравнения с учетом граничных условий на левом конце таково: x(t., Cj, С2) = Ci(sh t — s i n f ) + C 2( chf — cos t). Дальше нужно поступать аналогично тому, как в § 6.3. Для этой задачи аналогом уравнения Якоби является уравнение xIV— х = 0, а со пряженные с точкой нуль точки определяются, как нули определи теля системы

Ci (sh Т — sin Т) +

С2 (ch Т — cos Т) =

Cj (ch Т — cos Т) +

с г (sh Т + sin Т) =

Этот определитель равен

2(cos Т ch Т— 1). Первый нуль

его

обо

значим

t\.

Если t\ >

Т, то существует единственное

решение

си

стемы

(*), приводящее к экстремали, доставляющей абсолютный

минимум;

если

ti <

Г,

то

значение

задачи

равно

—сю. Случай

ti = Т требует дополнительного исследования.

64.

хг dt — ах'2 (Т) -» inf;

Т фиксировано, х (0 )= 0 .

65.

х2 dt + 4хг (0) -

5х2 (1) ->

inf.

66.

(х2 +

х2) dt — х2(1) - * inf;

х (0) = 1.

67.

Jг u2dt->inU

фиксировано,

х== — x +

x(,'(0) =

Xq,

x^l> (Т) = х\, I =

0, 1.

68.

СХ!2(Т)

Нh -jJГи2 dt -> inf; х =

— ах +

Ьи,

х (0) =

бэ. «уп

нь 4 -

и2 dt -> inf; х = — со2х +

и, х (0)= х 0-

70.

(х2 +

с2и2) dt-> inf;

фиксировано,

x =

ax-J-«,

х (0) = Xj.

ЗАДАЧИ	453
т
71. Г(х2+ с2и2) dt -> inf; Т фиксировано,	х + ах + Ьх = и.

x (0) = x0.

72. f

J 0

73. [ J

	Я
x2 dt inf;	J	x cos / dt =	1. x (0) = x (я) = 0.
	0
	n
x2 dt -> inf;	J	x2 dt = \ ,	x (0) — x (я) = 0.
	0

Р е ше н и е .	Применим	теорему 2	из §	2.3.	Составим	лагран
жиан L =Кох2 +	К\хг. Уравнение Эйлера:			—	+ Ktx = 0.	Ясно,
что Ко Ф 0, ибо иначе х =		0. Положив	Ко =	— 1,	решаем уравнение

Эйлера. Все решения этого уравнения, удовлетворяющие краевым

условиям, описываются так: x „ ( t ) = С sin nt, п = 1, 2,		. . . Наимень
шее значение функционалу доставляет функция х\ (t) =		" j / " s i n t.
т	т

74. J х2dt-> inf; j" x2 dt = 1, T фиксировано, * (0 ) = 0 .

о0

75.	J	x2 dt -> inf;	J x dt =		I,	x (0) =	jc(1.) = 0.
	о		о	l
	1			l
76.	J	\|i\|“ d /-» in f;		J \|jc\|p df = l. * (0) =				* (1) =	0. a, P >0.
	о			о
	l
77.	J x2 d /-> in f;		x(tk) = ift.			k — \........n;		tk фиксированы.
78.	J	x dt-> inf;	J	x2 dt =	1,	T	фиксировано,		*(<\|(0) = 0»

x{i)(T)=h. i —0. I-

79. J" x2 d f-* inf; J x2 d /= 1, x (0) = x (0) = x (I) = к (1) = 0.

о0

80. | x2d<->sup; | x2 dt = 1, J x dt = 0, J txdt = 0.

454

ЗАДАЧИ

81•

J (*2 +

У2) dt -> inf;

xy — i j x =

jc(0) = 0,

(/(0) = 1,

I =

cos 1.

sin 1, у (I) =

82.

J x2 dt -> inf;

х (0) =

0, Tx2(T) =

83.

V\ + x 2 dt -> inf;

x (0) = 0,

T2x (T) =

84.

f l + x 2 dt -> inf;

x (0) =

8 5 .

—— dt -> inf;

x (0) =

86.

x2 dt -> inf;

x (0)

0, x ( l )

87.

1 ‘ ^

X | X 2j r

f f - > i n f ;

Xi(0)=|i,

x2 (0) =

|2, X] (1) =

= x2(1) =0.

^ )

88.

J ( x i + x i

Xi (0) =

x2 (0) =

XjX2 1dt -> inf;

89.

Г -> inf;

x =

и,

j u 2dt = l,

x(0) =

gi,

x (0) — g2, x (Г) =

= х(Г)=0.

з а д а ч а

на

б ы с т р о д е й с т в и е .

90.

П р о с т е й ш а я

Т -> inf;

х = «,

|и|<1.

х (0) =

Ii,

х(0) = |2.

х (Г) =

и=* (?) —о.

91. Т inf;	х = — x + u, \|и\|<11, x(0) = gi, х (0) = £»,
х(Т) = х (Г) — 0.	6*

92• J |х |-> inf; х > - Л, Л > 0 . х (0 )= 0 , х (1 )= | .

93. J х2 dt -> sup; х = u, | «| < 1, х (0) = 0.

З А Д А Ч И

455

Р е ш е н и е . Применим принцип максимума Понтрягина в лагранжевой форме (теорема 1' из § 2.4). Лагранжиан задачи имеет вид

L== — ~ x 2 + p(x — u).

Уравнение Эйлера			р =		—Яо*,		условие трансверсальности	р( 1 ) = 0 .
Значит, Яо Ф 0, ибо				иначе		все	множители Лагранжа Я0 и р были
бы нулями.	Положив				Яо =	1,	из усло
вия минимума функции L по и получаем
и = sign р.	В	итоге		приходим			к урав
нению:
	р + sign р = О,
р (0) = — х (0)					- 0,
			р(1)=0.
Решениями	этого		уравнения				являются
кусочно-параболические функции, имею
щие одинаковые по модулю экстремумы
и разрыв первой производной в тех точ
ках, где сами они обращаются в нуль.
Граничные	условия			выделяют			счетное
множество таких функций. Первые две
функции p0 (t)		и	p i ( t )		и соответствую
щие им экстремали Xo{t), X\(t)							изобра
жены на рис. 14. Экстремали							x f (t) —
это ломаные с изломами в нулях соответствующих функций									P i(t) .
Максимальное значение интеграл достигает на функции x o (t).B									силу
того, что решение			задачи существует (из компактности					множества

допустимых функций), Xo(t) доставляет абсолютный максимум в поставленной задаче.

94. J хг dt -> sup; |х \^ 1, х (0) = х (0) = х (1) = х (1) = 0.

95.	j* ^	^	“	+	\|и \|j dt -> inf; х = и, х (1) = \|.
	0
Р е ш е н и е .			Применим принципа максимума Понтрягина в
лагранжевой		форме		(теорема		У	из § 2.4). Лагранжиан	задачи
имеет вид
		L =		Я	э \| * X ' "	+	I « I ) + Р ( * — «)•
Если Яо == 0,		то из условия минимальности по и получалось бы, что
р е= 0,	т. е.	все	множители Лагранжа были бы нулями.					Значит,
Яо Ф 0.	Положим		Яо =		1. Получаем уравнение Эйлера —р +			х = 0,
условие трансверсальности р (0 )=							0 и выражение для оптимального

456	ЗАДАЧИ
управления	0	при	\|р \|^ 1,
\|	0	при	\|р \|^ 1,
и = {	р — 1	при	р ^	1,
(	р + 1	при	р	— 1,

которое следует из условия минимальности L по и. В силу того, что р(0) = 0, при малых t оптимальное управление равно нулю, значит, для этих t решение x(t) является константой, a p(t) — линейной функцией, т. е.

x(t) = x(t, Tl) = T|, p(t) = p(t,x\) = x\t.

Когда р станет равным по модулю единице, из уравнений Эйлера получится, что х = й = р = х, т. е.

х = т) ch (/ — 1 /|г] |).

Из граничного условия определится единственная допустимая экс тремаль, которая и даст абсолютный минимум в задаче.

96. | xdt->ini) | х|< 1, х(0) = х ( 1 ) = 0 .

	Г
97.	J	(и2+	х2) (It ~» inf; Т фиксировано, х =							и, \|и \|^	1, х (0)=\|.
	О
	Т
98.	J (и2-		х2) dt	inf; Т фиксировано, х =						и . \|и \|<1, х (0) = 0 .
0
99.	Г -*■ inf;		х =	и,	\|и\|<1.		х (0) = \|i,		*(0) = £2.		х(0) = \|'3,
х(Т) = х(Т) = х(Т) = 0.					и,
100.	Т -* inf; jE=			х +	и,	\|« К	1, х (0) = gi,			х (0) =	%2. х (Т) =■
= х(П =		0.
	1
101. J		xd f-> su p ; Ц К				1. х < А,		х(0) =	х ( 1 ) = 0 .
	0
	1
102.	\|	х d/->inf; [ х К			1. х >		— А, х (0) =		х (0)= х (1 )= х (1)=0-
	о
	1
•103.	J	х d /-> inf; \|х \| <				1,х >	— А,х (0) =		х (1) = 0.
104.	о			и, \|и \|< 1, х > -				1, х(0) =		х (0) =	0, х(Г) = I 1,
104.	Г -* inf; х =			и, \|и \|< 1, х > -				1, х(0) =		х (0) =	0, х(Г) = I 1,

*(П = 6*.

Р е ше н и е . Применим принцип максимума	Понтрягина для
задач с фазовыми ограничениями (теорема 1 из	§ 5.2). Функция

ЗАДАЧИ	457
Понтрягина здесь такова:
Н == ptxl + р2и — Я,0 (х1= х, х — х2,х =	и).

Фазовое ограничение после приведения его к стандартной форме имеет вид — (х2+ 1 ) ^ 0 , поэтому сопряженное уравнение записы вается следующим образом:

Pi (t) = const = pi (Г),

T	т
Рг (t) = Pi (Т) + J Pi (т) dx +	J dfi.
t	t

Из условия максимума функции Н по и получается, что оптималь

ное	управление имеет	такой	вид: и =	sign рг.	Обозначим через А
подмножество отрезка		[0, Г],	состоящее	из тех	точек t, где x2{t) =
=	— 1. Положим

«Ю-J

Тогда m(t) — неотрицательная и невозрастающая функция, постоян ная на каждом интервале, где траектория не выходит на фазовое

ограничение. При этом lim m (i)= m(0). Суммируя сказанное, полу- t о

чим выражение для рг\

Рг (0 = + Р + m (t).

Если а < 0, то рг строго убывает и может менять знак не более одного раза. Получается семейство экстремалей, зависящих от од ного параметра т — точки переключения оптимального управления u(t). Разберем теперь случай, когда а > 0. Покажем, что тогда

траектория	x2(t)	может		выйти		на	фазовое		ограничение лишь
однажды. Действительно, пусть						(тц тг) — интервал				между	двумя
последовательными			выходами		на	фазовую траекторию:					x(ti) =
= х ( т г ) = — 1, * ( / ) > — •. < е					(Tt, тг).		Функция		m(t)	постоянна на
(Ti, Т2), значит,		рг (0 — линейная				возрастающая функция. Она не
может иметь нуля в точке т между T i							и	тг, ибо иначе на (т», т»)
управление	было	бы	равно — 1, и нельзя					было	бы	удовлетворить
фазовому ограничению. Значит, на						(т«,	тг)	функция рг > 0 и управ
ление и s=	1. Но тогда
				Tj
х2(тг) =		х2(т,) +		\| и dx = — 1 +				(т2 — Ti) > — 1,

Т|

в	противоречие с предположением. Итак, возможны два случая:
а)	когда	на траектории имеется не более чем одно переключение,
при этом		траектория либо не выходит на фазовое ограничение, либо

458

ЗАДАЧИ

выходит на него лишь в один момент (рис. 15, а), и случай б) когда оптимальное управление и сначала равно — 1, затем и = 0 и дви жение совершается по фазовому ограничению, и на последнем

Рис. 15.

участке и = +1 (рис. 15,6, направление движения указано стрел ками). Без труда показывается, что существует единственная траек тория, удовлетворяющая перечисленным условиям и соединяющая нужные точки (см. рис. 15, а, б).

105. J (х2+ х2) dt -» inf; х(0) = 1, х~^> А.

106. J (х2 — х2) dt -» inf; Т фиксировано, |х | х (0) = дг (Г)=0.

	107.	J		dt -»	inf;	Т фиксировано, д с ^ (0 )= 0 , х*‘ >(7') =				£г,
		о
V 'is	I ^	Г1 ’
	108.	J	(1 +	е \|и \|) dt -* inf; х = и,			\|и \| < 1, х (0) =	gi,	х (0) =	\|2
( Г) = (Г ) =				0.
		1
	109.	j	xdt-> inf;		I x[n) \|< 1, x(l) (0) = *(i) (1) = 0,			0 <	i < n -	1.
		о
		l
	110.	J	\| и \p dt -> inf;			x + ux = 0,	x (0) = x (1) =	0,	x (0 ) =	l,
1 <	p <	о
1 <	p <	00.

ЗА Д А Ч И

459

111.	J1		\|и \|dt -> inf;	x + u x — 0,		\|и \| <	A, x (0) = x (l) = 0 ,
	0
x (0) = 1.			________
	T		________
112.	J		( V ^ + * 2 +	Y ( * l	— sin 0 2 +	( * 2 +	cost)2) dt -> inf;
	0
T фиксировано, X\ (0) =				x2(0) == 0, Xi (T) = gb			x2(T) =	g2.
	т
113.	J		{X — g\dt-> inS\ T		фиксировано,		x (0) =	x0, x (0) = x0,
	o
x(T) = Xi,		x (T) = xt, x e= R",			g = const.

Комментарий к разделу «Задачи». В начале этого раздела при ведено несколько старинных задач, поставленных и решенных до создания общих методов. Первые упоминания о классической изопериметрической задаче (см. задачу 1) относятся к V в. до н. э. За дачи на максимум и минимум встречаются у трех величайших мате матиков древности — Евклида (задача 2), Архимеда (задача 3) и Аполлония (задача 4). Более подробно об экстремальных задачах

удревних см. у Цейтена [1].

Вдальнейшем ряд важных экстремальных задач был решен Га лилеем, Кеплером, Ферма, Гюйгенсом. Основы дифференциального исчисления и вместе с ними первые принципы решения экстремаль ных задач были заложены Ферма, Лейбницем, Ньютоном. Основные

факты о конечномерных экстремальных задачах и вариационном исчислении были установлены в 17— 19 вв. И. Бернулли, Эйлером, Лагранжем, Лежандром, Гамильтоном, Якоби и Вейерштрассом. По дробнее об этом см. у Цейтена [1], [2] и Рыбникова [1].

Указания к задачам. Все задачи этого раздела могут быть решены при помощи принципа Лагранжа, подробно обсуждавшегося в книге. В общей форме он был сформулирован во введении (стр. 16), а за тем доказан для ряда важных случаев. Перечислим их: а) гладкие задачи (стр. 74), б) выпуклые задачи (стр. 77), в) задача Лагранжа классического вариационного исчисления (стр. 135), г) изопериметрическая задача (стр. 142), д) задача оптимального управления без фазовых ограничений (стр. 145— 147), е) задача оптимального управ ления с фазовыми ограничениями (стр. 245, 246). Далее, как пра вило, указывается, к какому случаю можно отнести рассматриваемую задачу.

Задача 1 решена в § 10.1. Задачи 2— 12 решаются с помощью простейших средств анализа. Задача 15 решена в § 10.1. Уравнение для геодезических (задача 16) можно вывести из необходимого усло вия для задач с фазовыми ограничениями (стр. 143). Задача 25 — задача с подвижными концами, нужно использовать условия транс версальности (случай д)). Задача 26 (сопоставьте ее с задачей 38) относится к случаю г). Задачи 27, 28 можно решить как задачи на быстродействие с фазовыми ограничениями (случай е)), при этом

460

ЗАДАЧИ

полезно учесть метод решения задачи 4 в § 10.1. Задачи 32—35 ре шаются подобно задаче 13 (случай б)). Задача 36 относится к слу чаю е).

Задачи 41—59 — простейшие задачи вариационного исчисления. Интегранты задач 48—53 не квазирегулярны. Нижние грани в зада чах 48—52 при помощи теоремы Боголюбова находятся без вычислений, ибо овыпукления интегрантов приводят к тривиальным функционалам. В задаче 49 при 1 ф 0 вторая вариация на экстре мали строго положительна, но сильного минимума нет. Интересный пример Больца (задача 53) разбирается во многих книгах, например у Ахиезера [1]. В задаче 54 не выполнено усиленное условие Ле жандра, однако экстремаль доставляет абсолютный минимум в за даче. Задачи 60—67, 70, 71 относятся к случаю в). В задачах 68 и 69 принцип Лагранжа верен, хотя для этого случая в книге он не обоснован. Задачи 82—89 — с подвижными концами (случай д)). За дачи 90— 100 относятся к случаю д), задачи 101— 106 — к случаю е). Решения последних семи задач первоначально были включены в гл. 10. Решения задач 107, 109, 112 и 113 можно получить как ме тодами двойственности, так и непосредственно при помощи прин ципа максимума. К задаче 112 сводится задача Улама о совмещении отрезков. Задача 110 решена Боргом [1], задача 111— А. М. Ляпуно вым [1]. Решение задачи 113 см. Розов [1].

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4946 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ