Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

§ 10.2. НЕРАВЕНСТВО ЮНГА

431

тогда не получится замкнутая кривая. Поэтому можно считать, что Ло = 2. Если (**(•)»</*('))— оптимальная траектория, то ввиду автономности задачи функция Н постоянна на траектории и, значит, в силу (10) получается, что

Р (0 = У , (0 + 2 «> — <7(0 = * . ( 0 + 26,

Н = 2и, (yt + а) — 2о„ (х, + Ь) =

= 2 sup [и (у, + а) — v(x, + 6)] = 2С0. (и, 1))бЛ

Итак, s((y' -fa, —х — Ь)\А) = С0, т. е. оптимальные траектории суть сдвиги линий уровня опорной функции множества А, повернутого на п/2. В частности, в клас сической изопериметрической задаче решением будут окружности, в задаче Чаплыгина, где скорость летатель ного аппарата равна единице, а скорость ветра (0, у),

V < 1, — эллипсы.

V x 2 + y2 — yv = c.

§10.2. Неравенство Юнга и теорема Хелли

10.2.1.Неравенство Юнга.

Пр е д л о ж е н и е 1. Для любого ограниченного зам кнутого множества S, расположенного в п-мерном

евклидовом пространстве Rn, имеет место следующее не равенство между диаметром D(S) множества S и радиу сом R{S) описанного шара:

D ( S ) > ] / r 2 ('1+— R(S).	(1)
Неравенство (1) переходит в равенство, если	S — пра

вильный симплекс.

Неравенство (1) называется неравенством Юнга. Доказательство его равносильно решению такой экстре

мальной проблемы:
R (S) —>sup;	D (5 )< 1 ,	(Г)
где
R ( S ) = inf sup \х у \,	D (S) = sup \|х	у \|.
xt=Rn » e S	х' y ^ s

Перед нами «супинфмаксная» задача сложной природы. В задаче об определении радиуса R(S)

432 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

множества S требуется найти нижнюю грань выпуклой функции, которая является максимумом из выпуклых функций. Это обстоятельство дает возможность приме нить теорему об очистке. Выделим соответствующее утверждение в виде леммы.

Л е м м а 1. Для того чтобы шар В(х0,г) был описан ным шаром для множества S, состоящего более чем из одной точки, необходимо и достаточно, чтобы он был описанным шаром для некоторого симплекса с верши нами, расположенными на S.

Из леммы сразу вытекает, что неравенство Юнга

достаточно установить лишь для симплексов в	R".
Д о к а з а т е л ь с т в о л е ммы . Положим
/ (х) — тах\| х — у \|.
j/es
Ясно, что / — непрерывная, выпуклая функция,	расту

щая на бесконечности. Следовательно, найдется такой вектор х0, что f (xQ) = inff(x) — R(S). В точке х0 выпол няется соотношение

0 е= <3/ (лг0),

(2)

являющееся необходимым и достаточным условием ми нимума.

	Воспользуемся теперь теоремой об очистке. В соот
ветствии с этой		теоремой		и в силу	(2) найдутся такие
векторы 2,- е R",		г/; е	S,	г, что	г ^ . п + 1 и положи
тельные числа kit 1<			/ <
2/	\|х0— iji I,	1 < / < г ,		\|Xa—tji \|=	/(лг0) = R(S),
	£ *,,= = I,		i u < z ,= o .
	t—l		<=i

В силу того, что 5 состоит более чем из одной точки,

f(x о) =	\|*о — Hi I Ф 0 и,		значит, дх \х^— ij-t \| состоит	из
единственного		элемента	(х0— y t)/\ х0 — г/, \|. Отсюда	и
нз (3‘)	получается, что
		(хоVi)	0 ФФ Xq— Xitfi,	(4)
	1=1	\xa~yi\	i= 1

Векторы {(/,} являются вершинами симплекса в Rn. Если теперь начать снова решать задачу об описанном шаре,

I § 10.2. НЕРАВЕНСТВО ЮНГА 433

но для этого симплекса, то обнаружится, что та же точка лг0 явится центром описанного шара для него, ибо уравнение (4) в сочетании с (3) дает достаточное усло вие минимума. Этим завершается доказательство леммы.

В итоге получилась новая вариационная задача, а именно задача (Г ), где в качестве S выступают всевоз можные симплексы в R” . Эту последнюю задачу решим непосредственно, не применяя вариационных методов.

Пусть	2 — симплекс	диаметра	D (2)	с	вершинами
в точках	у\, ..., j/a+1 и	х0 — центр описанного вокруг
него шара так, что
	А+1	К > 0,
	xa= ^ j h y t ,	К > 0,
и	1*0 — yi 1= Я(2), г'= 1,		. . *	+	1.
	1*0 — yi 1= Я(2), г'= 1,		. . *	+	1.

D- (2) = max {I iji — У, ?, 1 < /, / < k + 1 ].

I У1 — У] ? = Uft — У\ \У1 — У])=\ */<— *оР + 1#/ — *оР —

2 ( y i — Xq \|у I		— Xq) =		2R 2 (2) 2 (yi	*о \|у j		х0).
Поэтому
2 h \У1 - V , f =	2R2( 2 ) — 2			2 h y t - x о \ у ,-х 0		= 2R* (2),
i=l			\г=1		/
и значит,
С другой стороны,
	\2	k + l
2	Л,	- 2	<	А ?< 1 -1 /(й +	!) =	/( +	1).
ЛщЫ ’-I I			<
I, / = 1	/	i = 1

Таким образом, k + l

2R2(2 ) = 2 W t \y,— y , ? < t * i =i

43 4	ГЛ. 10.	ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ
	k	1	tt 1	то
и, поскольку		k~— > — -— при

£ > ( 2 ) > ] / Д ( 2 ) .

Это неравенство справедливо для любых симплексов,

а значит, по доказанному	ранее, — для любых мно
жеств S. Неравенство переходит в равенство, если 2 —
правильный симплекс. Предложение 1 доказано.
10.2.2. Теорема Хелли.	Пусть {4 v}v<==jv— некоторое

семейство выпуклых замкнутых подмножеств Rn. Пред положим, что среди множеств Av есть хотя бы одно ограниченное. Тогда, если пересечение любых п -f- 1 мно

жеств	А у	непусто, то и пересечение всех множеств Av
также непусто.
Доказательство теоремы Хелли проведем вариацион
ными методами. Положим
		/ (х) — supp {х, AJ — sup inf \|л: — у \|.
			v e J V	v e A f
Ясно,	что		f(x о) = 0 тогда	и только тогда, когда
	( ]	А^,	следовательно,	надо показать, что нижняя

v e l V

грань функции f достигается и равна нулю. Предполо жим сначала, что N состоит из конечного числа элемен

тов: N — {\........k}. Для определенности	пусть ограни
ченным будет множество А\. Тогда	f(x) — конечная

функция, растущая на бесконечности, поскольку f(x) ^

^	р(х, Л])-> оо		при \|л:\|—*•оо. Значит, нижняя грань
функции f		достигается в некоторой точке Xq, где
			0<=<3/(л:0).		(5)
с	Снова применим теорему об очистке. В соответствии
с	ней и с	(5)	найдутся	индексов vi, ....	vr,
г чисел Я; > 0,			1 ^ i ^ г, и г	векторов у и ... , уг	та
ких, что			г/г<=др(л:0, AV{),
	а)		г/г<=др(л:0, AV{),
	б)		р (* о . AV{) =	/ (х0),
	в)		2 я г= 1 ,
			1=1
	г)		2 ^t!/i =	0.
			г=1

§ 10.3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА

435

Еще раз применим то же рассуждение, что провели в

конце доказательства	леммы 1.	Рассмотрим функцию
fi (х) =	max р (х, Лу ).
	i<i<f
Из уравнений а) — г)	вытекает,	что 0	е <?/i (х0), и сле

довательно, в точке х0				функция /у имеет минимум. С дру
гой стороны, из			соотношения б) вытекает,			что	(х0)	=
= f(x0). Но по условию теоремы любые г ^						п -f-1 мно
жеств	пересекаются, значит, / i ( x o ) =				0. В итоге		получи
лось,	что	/( х0) =	0, а это означает, что все множества
Av, v — 1,		... , N, пересекаются.						и
Пусть		теперь	N — любое бесконечное множество
Av„	ограничено.		По	доказанному,	пересечение			AVa

с любым конечным семейством множеств Av непусто. Такие пересечения образуют, следовательно, центриро ванную систему. По известному свойству компактных множеств отсюда следует, что все множества A v пере секаются. Теорема Хелли полностью доказана.

§ 10.3. Оптимальное возбуждение осциллятора

Здесь решается одна задача из теории управления. Изложение во многих местах — конспективное. Чита телю надлежит восполнить пропущенные детали.

10.3.1. Задача об оптимальном параметрическом воз буждении осциллятора. Рассмотрим задачу;

		tx-> inf;
		х -f- (1	—- ей) х — 0,
*(0) =	*о,	х (0) =	Уо,	x2{t{) + x2(tl) =	\,
	0 < и < 1 , 0 < е < 1.
Поясним	ее физическое содержание. Уравнение
x + s (/)* = 0	есть	уравнение		гармонического	осцилля

тора с переменной жесткостью s(t). В нашем случае

жесткость s(0	может меняться в		пределах		1— е ^
В невозбужденном		состоянии,		когда	и = 0,
s = 1 и энергия	осциллятора	равна	(х2+	х2)/2. Таким

образом, задача состоит в отыскании такого закона воз буждения жесткости осциллятора, при котором (после

436 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

того как возбуждение будет снято) его энергия достигла бы заданной величины за минимальное время. Сейчас мы построим полный синтез задачи при любой величине О < е < 1 п затем проведем сравнение точного решения

п приближенного решения			(см. Евтушенко [1]).
Положив	х =	у, приведем задачу к стандартному
виду задачи оптимального управления:
		ty -> inf;
х =	у,	у = — (1— еи)х (0 < в < 1),
х (0) =	*0,	х (0) =	у0, х2(7,) + х2(7,) = 1,
		^	1 .

Применим принцип максимума Понтрягнна в гамильто новой форме (теорема 1 § 2.4). Функция Н имеет вид

Н — ру — <7(1— е«) х

и, следовательно, сопряженная система такова:


Р =	(1 — е«) <7,		<7 —		Р-
Для р и <7 выполнены условия			трансверсальности
р М= —и* (О,		qiti) =		— v-y(U),
пли	q + (1 — ей) <7 =			0,	\|

<7(/\|) =	~ р х (7,),	q (7,) =			рх (7,). J

Видно, что функции x(t) и <7(7) удовлетворяют одному и тому же уравнению.

Принцип максимума дает такое выражение для оп

тимального управления:
\|	1,	если	qx >	0,	(2)
\	0,	если	qx <	0,	(2)
\	0,	если	qx <	0,
или, короче, u(t) = Q(qx),		где	0(Я) — функция Хеви
сайда.

Найдем единственное решение написанных соотно

шений.	Ясно,	что р Ф 0, ибо	иначе	из	(1) мы получили
бы, что	q =	0, а значит, и	р = q ^		0, чего не может
оыть в силу принципа максимума.				Значит, можно счи
тать, что р =		1.


	§ 10.3.	ВОЗБУЖДЕНИЕ			ОСЦИЛЛЯТОРА	437
Далее,	легко	понять,		что	u(ti — 0 ) = 1 ,	ибо иначе
энергия Е достигалась				бы за	время меньшее, чем t{
(ибо, если и = 0,			то энергия		не меняется). Следова
тельно, из	(1) и (2)		получаем,		что

0 < q {tt) х (*,) = — л: (t,) х (/,).

Таким образом, точка (x(/i), x (t,) ) лежит во второй или четвертой четвертях фазовой плоскости. Для опре деленности допустим, что вектор (at(/i) , х(^])) лежит в четвертой четверти:

х((,) = cos а,

х(tj) = sin а,

— л/2 < а < 0.


Тогда, в	силу (1)		(напомним,			что ц = 1 )
	Я (ti) = —х (/,) =				cos (а + л/2),
	q (/,) = х (tx) = sin (а +					я/2).
Получилось,	что вектор			(q(ti), q{t\)) повернут			относи
тельно вектора		(x(i{), x{t\))			на угол л/2 против часовой
стрелки.	теперь,		что	в	невозбужденном состоянии
Отметим
(когда и =	0)	точки	(x{t),x(t))			и (q(t),q(t))	совер

шают движение по кругам в фазовой плоскости, а в возбужденном состоянии — по эллипсам х2-{-х2/( 1— е) = = а, в обоих случаях движение совершается по часо вой стрелке.

Будем решать нашу задачу «с конца», более того,

оставим нашу систему в возбужденном состоянии еще на

некоторое время (после момента /i) до тех пор, пока х
не станет равным нулю. Обозначим этот	момент через
Т > t\. Точка (х(Т), х{Т)) расположена	на вертикаль

ной осп. Допустим, что в момент времени Т вектор

iq(T), q(T)) занял	такое положение:
	q (Т) =	pcosco,
	<НТ) = psinw,
	со =	со	(а).
(Впоследствии мы	вычислим		со (а ), и окажется, что

о) (а) > 0 .) Теперь будем двигаться «в обратную сторону».

43 8	ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ
Сначала	(при Т — t <	р) наш	осциллятор возбуж
ден, а	следовательно,	и точка	(х,х), и точка (q,q)

совершают движение по эллипсам. Первым вертикаль

ной оси достигнет вектор (q,q),		а вектор	(х,х)	к этому
моменту будет	образовывать с	осью х	угол,	равный
(— 1)<в(а). В	этот момент	произошло последнее

переключение, до которого жесткость равнялась единице и, следовательно, оба вектора совершали равномерное круговое движение. При этом вращении (но при движе нии в обратном направлении!) первым достигнет верти кальной оси вектор (х,х), и это будет момент предпо следнего переключения. В этот момент вектор (q, q) бу дет образовывать с горизонтальной осью угол ш(а) + я и т. д.

Мы приходим к тому, что при своем движении жест кость переключается тогда и только тогда, когда фазо

вая траектория пересекает либо вертикальную ось

(и

тогда жесткость

меняется с

1 — е на

1),

либо прямую

х = (— tgco(a))A:

(и

тогда

жесткость

меняется

на

1 — е).

вычислить

кривую

ш(а).

Вблизи

точки

Остается

t — ti функция x(t) имеет вид

^(0 =

^ c o s (V l

— е (t — t^ +

y),

(3)

откуда,

используя

равенства

x(t^) =

cos a,

я (г^) =

sin а,

сразу получается,

что

/ Г

sin Y —

s i n

COS у — c o s

(4)

A /

е ’

~Л~

Вблизи

точки t =

функция

q{t)

имеет

вид

q(t) =

£ c o s (]/l

— е (t— ^) +

б). Учитывая

равенства q(t,) =

— sin a, q (t^ =

cos a,

будем

иметь:

/ 1

—

s i n 2 a

c o s

, COS 6

s i n

(5)

sin 6 =

1•

В / l —е

Момент времени t2, когда происходит последнее пере ключение, определяется из условия q (/2) = 0, q (t2) > 0, т. е.

/ 1 — e(f2 — /,) + б = — я/2.

	§ 10.3. ВОЗБУЖ ДЕНИЕ	ОСЦИЛЛЯТОРА	439
Отсюда	и из (3), (4), (5) находим, что
х (t2) = A sir; (Y — б );
	В У 1
X (t2) — А У	1— 8 COS (y — 6) =		6
	8 sin a cos а	е sm а cos а	( )
	8 sin a cos а	е sm а cos а
	ВУ\ — ъ	)А1— 8 s i n 2 а	j

Формулы (6) определяют точку последнего переклю чения в зависимости от а, т. е. от положения фазовой точки в момент t\. При изменении а от 0 до —п/2 точка {x(t2), x(t2) ) описывает на фазовой плоскости кривую /, концы которой лежат на оси абсцисс. Из формул (6) находим, что

t g ы ( а ) =

х (t2)	е sin а cos а.
x(t2)

Проведем сравнение точного и приближенного реше ний. Обозначим xjx через tgy. Тогда оптимальное управление задается так:

и = 9 (— tg со (а) — tg у) = 0 (е sin а cos а — tg у).

В то же время, как это следует из работы Евтушенко [1], приближенная формула для оптимального управле ния такова: й = 0 (—tg у).

Комментарий к гл. 10. Вариационный принцип Ферма был вы двинут в 1669 г., принцип Гюйгенса — в 1690 г. (Гюйгенс [1]). Оп тико-механическая аналогия привела И. Бернулли к решению задачи о брахистохроне. Серия задач, включающая задачи 1—3 § 10.1, подробно исследована в курсе анализа Гурса.

Задачи на быстродействие для объектов, описываемых диффе ренциальными включениями, изучались Болтянским [3] и Благо

датских [1].

О теореме Хелли см. Данцер, Грюибаум, Кли [1]. Доказатель ства теоремы, опирающиеся на теорему об очистке, содержатся в ра ботах Карлина [1] и Пшеничного [4]. Решение задачи Юнга, сходное с нашим, содержится в работе Джона [1].

Задача из п. 10.3.1 рассматривалась Евтушенко [1]. Решение, изложенное у нас, получено Барыкиным.

ЗАДАЧИ

Раздел открывается циклом старинных задач. Далее следуют

разнообразные задачи на экстремум из		алгебры	и геометрии.
Часто их решают без применения	теории.	Однако применение тео
рии почти во всех случаях дает	решение	не более	сложное, чем

то, которое получается с помощью искусственных приемов. В за ключительной части раздела приведены стандартные задачи из ва риационного исчисления и оптимального управления. Стандартные задачи конечномерного анализа и линейного программирования мы не приводим. Их можно почерпнуть из многих задачников, см., на пример, Демидович [I] и Заславский [1]. Упомянем еще два сбор ника экстремальных задач из геометрии: Зетель [1] и Шклярский, Ченцов, Яглом [1].

Задачи группируются по определенным темам. В каждой теме есть задачи, снабженные решением; в конце раздела есть краткие указания к решениям некоторых задач. Решение большинства за дач этого раздела получается применением принципа Лагранжа.

1. К л а с с и ч е с к а я и з о п е р и м е т р и ч е с к а я з а д а ч а . Среди кривых на плоскости, имеющих заданную длину, найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

2. На стороне ВС треугольника АВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм ADEF, у которого точки D и F лежат соответ ственно на сторонах АВ и АС, имел наибольшую площадь (Евклид).

3. Среди шаровых сегментов, имеющих заданную площадь по верхности, найти сегмент наибольшего объема (Архимед).

4.Найти кратчайшее расстояние от заданной точки на плоско сти до заданного конического сечения (Аполлоний).

5.Среди всех «-угольников, имеющих заданный периметр, найти «-угольник наибольшей площади (Зенодор).

6.На данной прямой найти точку С так, чтобы сумма расстоя

ний от С до точек А и В была минимальной (Герои).

7.Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было минимальным (Тарталья).

8.Найти наклонную прямую, двигаясь по которой без трения под воздействием силы тяжести, материальная точка достигнет за данной линии за кратчайшее время (Галилей).

9.Среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр с макси мальным объемом (Кеплер).

10. Найти прямоугольный	треугольник наибольшей площади,
если сумма длин его катетов	равна заданному числу (Ферма).

11. Среди конусов, вписанных в шар, найти конус с максималь ной боковой поверхностью (Лопиталь).

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4944 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ