книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

Г л а в а 10

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

§ 10.1. Задачи геометрической оптики

На примере задач геометрической оптики легко про­ следить те геометрические и физические идеи, которые лежат в основании формализма Гамильтона — Якоби — Веллмана в вариационном исчислении и теории опти­ мального управления, а также метода возмущений в теории экстремальных задач. Это связано прежде всего с тем, что математическая формулировка задач геомет­ рической оптики необычайно проста и не заслоняет их физической природы. Поэтому каждый результат допу­ скает физическое истолкование и, наоборот, из есте­ ственных физических соображений легко угадывается форма необходимых математических теорем. С другой стороны, многие интересные задачи можно интерпрети­ ровать как задачи геометрической оптики, — таковы, на­ пример, задачи оптимального быстродействия для авто­ номных объектов.

Большая часть рассуждений в начале параграфа не

будет идти световой луч из точки х0 до точки х,? Отве­ чая на этот вопрос, Ферма выдвинул следующий вариа­ ционный принцип, который был первым принципом та­ кого рода для физической проблемы. Согласно прин­ ципу Ферма, свет избирает такую траекторию, чтобы

v (х, У) = У-

Задача о минимальной поверхности вращения может быть интерпретирована как задача плоской геометрической оптики с

V(X, у) = у~1-

Рассмотрим задачу оптимального управления автономным объ­

ектом:

сильным, на самом деле не является ограничительным. Подобно тому, как в теореме Боголюбова первоначаль­ ный интегрант можно заменять выпуклым по производ­ ной, так и в задачах на быстродействие можно, не изменяя значения задачи, «овыпуклять» множество воз­ можных скоростей, заменяя его выпуклой оболочкой.

10.1.2. Принцип Гюйгенса и уравнение Гамильтона — Якоби. Для задач геометрической оптики этот принцип можно записать в очень естественной и красивой форме.

точки х за время s, а точки х из точки х0— за время t, то точка z достижима из точки х0 по крайней мере за

отметить точку х, в которую свет придет за время /. Но тогда из х в z можно дойти за время, не большее s. Физическое содержание принципа Гюйгенса состоит в том, что он позволяет описывать процесс распростране­ ния света при помощи волнового фронта — границы множества х(х0) .

Пусть теперь

Т(х; х0) = inf [t > 0 \х <= Т ,(х0)}.

Функция Т(х,х0), называемая обычно оптической дли­ ной пути от точки Xq до х, является, очевидно, S-функ­ цией задачи (2), если в качестве возмущения рассмат­ ривать точки, в которые свет должен попадать в конце траектории. Покажем сейчас, как с помощью принципа Гюйгенса и простых (хотя и не абсолютно строгих) рассуждений можно получить уравнение Гамильтона — Якоби для задачи (2).

Допустим, что оптическая длина Т(х; х0) является дифференцируемой функцией переменного х. (Разу­ меется, так хорошо дело обстоит далеко не всегда. На­ пример, в задаче о наименьшей поверхности вращения функция Т не является всюду дифференцируемой.) Предположим далее, что любая точка х некоторой об­

За последующее время At свет, двигаясь по траектории х*(-,Хо), пройдет путь х*(Г*; х0) At = у* At (если пре­ небречь малыми более высокого порядка). При этом получается равенство

Т (х, + vt At; ха) = Т (х„; х,) + At = T t + At.

Но если бы в точке х* свет избрал другую скорость V, то по принципу Гюйгенса и по определению оптической длины получилось бы, что

или, если провести это рассуждение для произвольной точки х е U,

sup (Т'(х-,х0) |и) = 1.

Если вспомнить определение опорной функции множе­ ства А:

s (л И ) = sup (ц 11),

то станет ясно, что получилось следующее уравнение в частных производных для оптической длины:

10.1.3. Принцип максимума. Рассмотрим задачу опти­ мального быстродействия автономным объектом:

7’ —>inf; х = ср(х, и), u<=U, х(0) = х0, х{Т) = хи

и обозначим, как и раньше, V(х) = ср(х, U). Пусть (**(•), «*(• ))— оптимальный управляемый процесс в этой задаче. Тогда в силу принципа максимума най­ дется такое нетривиальное решение р(() сопряженного уравнения

—р <= дха (р (t), х, (0),

хе дра (р (t), х, (0).

Это естественная форма принципа максимума для задач геометрической оптики, записанных в форме (2).

10.1.4. Задачи.

З а д а ч а 1. Г е о д е з и ч е с к и е на п о л у п л о с к о ­

ст и Пу а н к а р е .

Всоответствии со сказанным ранее, нужно решить

такую задачу:

Интегрант здесь не зависит от х, и следовательно, урав­ нение Эйлера допускает интеграл энергии (см. § 2.2)

у V I у' = С,

т. е. приводится к такому дифференциальному уравне­ нию первого порядка:

Его интегрирование дает следующее выражение для экстремалей:

р2 + (х + С,)2 = С2.

Таким образом, экстремалями являются полуокружно­ сти с центром, лежащим на оси у — 0. Через любую пару точек (х0, у0) и {хх, у х), х0 фх\, проходит един­ ственная экстремаль, которую многими разными спосо­ бами можно включить в поле экстремалей, покрываю­ щее всю полуплоскость у > 0. Например, можно взять пучок полуокружностей, имеющих общую точку на оси у = 0. Интегрант в этой задаче, как и в любой изотроп­ ной задаче геометрической оптики, квазирегулярен. По­ этому из теоремы 3' § 7.4 следует, что найденная экст­ ремаль является решением поставленной задачи.

428 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

распространения света возрастала с высотой, то здесь она убывает. Поэтому в отличие от предыдущих двух задач траектории будут опускаться ниже низшей из двух заданных точек. Интеграл энергии уравнения Эйлера

y = c V l + y ' 2

имеет решение

У — с ch ( -7 + d) •

приобретают вид

y = c c b j .

Таким образом, экстремалями являются цепные линии. Легко понять, что их совокупность двукратно покрывает внутренность угла, обра­ зованного прямыми, про­ ходящими через начало координат и касатель­ ными к кривой у — due (рис. 13). Вне этого угла провести допустимую цеп­ ную линию не удается.

нах угла, то через них проходит одна цепная ли­ ния, если внутри — то две, одна нз которых ка­ сается сторон угла, а дру­

гая — нет. Вторую нз этих экстремалей легко окружить полем, и следовательно, по теореме 3' § 7.4 она дает локальный минимум. На первой же экстремали не вы­ полнено условие Якоби, ибо близкие к ней экстремали пересекаются с ней в точках, близких к тем, в которых она касается сторон угла.

Вопрос об абсолютном экстремуме и о характере ре­ шения задачи в случае, когда граничные условия заданы вне угла, требует дополнительного исследования. Запи­

шем задачу 3 как вариационную задачу в параметриче

по т. Система уравнений Эйлера в этой задаче выгля­ дит так:

вательно, х имеет постоянный знак. Поэтому все сво­ дится к рассмотренному уже случаю. Предположим те­ перь, что с — 0. Тогда на всякой экстремали в каждой точке либо у = 0, либо х — 0. Легко видеть, что такая экстремаль состоит из трех участков, на первом из ко­

цепные линии и ломаные экстремали, состоящие из двух вертикальных кусков и участка х0 sg х ^ х и у = 0. «Оптическая длина пути» по экстремалям первого вида, соединяющим точки (—х, у) и (х, у), равна, как не­

а по экстремалям второго вида у2. Эти функции при­ нимают одинаковые значения на сторонах угла y ^ k 0\x\, целиком лежащего внутри угла, образован­ ного касательными к кривой у = chx, проходящими че­ рез начало координат.