Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf
Скачиваний:
62
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
15.51 Mб
Скачать
☆

§

0.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫИ ИНТЕГРАЛ

41!

Пусть

 

 

 

V (t) =

[у е

R " \ 3 т = 1 , 2 , . . . : y = xm(t)}\

 

 

 

} •••

 

Тогда fi — очевидно, нормальный интегрант. Рассмотрим задачу ( 1), (2 ), но с функцией fi вместо f в подынтег­ ральном выражении в (1). Пусть S i — значение этой за­ дачи (как функция правой части ограничения (2)). Оче­

видно,

Si ^

S

и

S i (a) =

 

S(x).

Покажем,

 

что

х е

<= ri (dom Si).

 

 

 

 

т. e. (p\x — z ) ^ 0

для

всех

Пусть /? е

jV(x |dom Si),

z e d o m S i . Тогда

в

силу

второго

равенства

 

в (17) из

предложения

2

 

§

8.3

следует,

что

при

каждом

пг— 1, 2 , . . .

неравенство_

(p\xm{t) — у ) ^ 0

выпол­

няется

для

всякого

у е

V(t) П dom /(/,

•)

почти

при

всех t,

т. е., в частности,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Р I хт(0) =

(р I хк (0)

 

 

 

 

почти везде

при

любых

т,

k = \ ,

2, ...

Отсюда

сразу

следует, что

(р\х) — (р\г)

для всякого z e d o m S i и вся­

кого р ez N (х\ dom S |).

Это

может быть лишь в том

случае,

если

х е

ri(dom Si).

Поэтому максимум в фор­

муле (8), в которой вместо f

стоит

достигается, и сле­

довательно, существует вектор-функция x*(t)

такая, что

Теорема доказана.

9.3.3.Общий случай. Если максимум в (8) дости­

гается

в

граничной точке множества dom S*, то задача

( 1 ) ,

(2 )

может и не иметь абсолютно непрерывных ре­

шений, а минимизирующие последовательности могут сходиться к разрывным функциям. Однако, в этом слу­ чае можно построить эквивалентную «расширенную» задачу, где допустимыми элементами могут быть и раз­ рывные функции. Допустимые элементы расширенной задачи можно рассматривать, как предельные точки по­ следовательностей допустимых элементов задачи ( 1 ),

(2) . Оставшаяся часть параграфа посвящена построению

412 ГЛ. 9. СУЩ ЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

расширенной задачи и доказательству для нее необхо­ димых и достаточных условий экстремума.

Будем рассматривать на отрезке [/о, Б] кусочно-не­ прерывные функции x(t). Всякую такую вектор-функ­ цию будем для определенности считать непрерывной справа во всякой точке разрыва, отличной от точки to, и непрерывной слева в точке t0. Другими словами, та­ кие вектор-функции можно представлять в виде

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

x(t) = z(t) +

2 и>,-0 (*, т,-),

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

где z(t) непрерывна,

и

 

 

 

[

1 ,

если

> t 0 или

t , ^ t >

х = tn,

’

\

О,

если

или

т= Д 0=

Б

Вектор-функцию такого вида мы назовем кусочно абсо­ лютно непрерывной, если z(t) абсолютно непрерывна. Множество кусочно абсолютно непрерывных вектор-

функций со

значениями в Rn, имеющих не более

п +

1

точек разрыва,

будем обозначать через Ж п.

 

 

Вернемся

к

задаче (1), (2).

Пусть

А — измеримое

подмножество отрезка [t0, t\], Положим

J y{t)dt =

 

j.

Ад (.*) = inf

J / (*, У (0) dt

</ ( •) е

L" (А),

x

Тогда

 

 

J f'(t,

 

 

 

 

 

 

Sl(p) =

p) dt,

 

 

 

если только

S x — собственная

функция. Очевидно,

 

dom SI, cr dom S\„

если Д2 с:Д ,.

(18)

Пусть т e [f0, й]. Обозначим через Px объединение мно­ жеств dom Sx, взятое по всем окрестностям А точки х. Ясно, что множество Рх выпукло. Это сразу следует из (18) и выпуклости всех S\. Наконец, для каждой ку­ сочно абсолютно непрерывной вектор-функции положим

и

k

 

М ( * ( • ) ) = / f(t, г (/)) dt +

J ] s (о>| |Рх.)

(19)

t» i=i

§

9.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫП

ИНТЕГРАЛ

413

(где s(-\P),

как

обычно, — опорная функция

множе­

ства Р) н рассмотрим задачу

 

 

 

 

М (х( •)) -> inf;

 

(20)

х [ - ) ^ Ж п, х (t0) = 0,

* (/,)= * .

(2 1 )

Очевидно, если 2 (•)— допустимый элемент задачи (1), (2), то функция х ( - ) = 2 ( - ) допустима в задаче (20), (2 1 ) и

&(z (•)) = М (х (•)).

Те о р е м а 3. Пусть S — собственная функция. Тогда, если х { - ) ^ Ж Г1 и x(t0) = 0, то найдется такая после­

довательность хт(•)

абсолютно непрерывных функ­

ций, что

= 0, Х т (/)->X (0

х ,п ( Q

при всех t е= [t0, /,] и Urn & (хт (• ) ) < М (х (•)). Если же,

т-> оо

кроме того, x(/‘1) e r i (domS), то последовательность (хт (-)}

можно выбрать так, чтобы х (fj) =

х,п (^) при т

= 1 ,

2 ,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если

М (х ( •)) = оо

или

х ( - )

абсолютно непрерывна, то доказывать нечего. Поэтому

в дальнейшем

предполагается,

что М ( х ( - ) ) < о о и

|>

0.

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

пусть

х (t) =

г (t)

-f 2j wfi (t,

xj),

где z (t) абсо­

лютно непрерывна

и

 

, < . . .

 

Для вся­

кого е > 0 положим

 

 

 

 

 

 

 

 

|

(т, — е,

Tj],

если

т, >

t0,

 

А'е ~

I

[to,

t0 +

е),

если

т, =

t0,

 

А/е =

(тг — е, Т;],

i =

2.........k,

 

 

vte=

J z(t)dt,

 

1 = 1 ,

. . . . k.

Докажем, что

^ i e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim S "

(w( +

vie) =

s(Wi [Pi ).

(22)

e - > 0

,e

414

ГЛ. 9.

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

 

 

Зададимся числами б >

О,

N >

0

и выберем р , е Р ( т()

так, чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

s(wi |РТ.) — б,

если

s(wi |/\.) <

°о,

(Pi

 

 

N '

 

 

 

 

е с л

и

 

Тогда в силу

определения

Рх.

при достаточно

малых

е > 0 вектор

рг е

dom S\

 

и

 

 

 

 

 

lim 5 *Aie (Щ +

viE) =

lim sup ((p |W[ + viB) — SI

(p)) >

6 - » o

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

>

(Pi

IЩ ) +

j

i((Pim

|v iE)

— S*A.e (pt)) =

(p{ | w f ) .

С другой стороны, по неравенству

Юнга — Фенхеля

откуда

f(t,

z { t ) ) ^( p

\z(t)) — f* (t, p),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim sup Op |Wl + e->0 p v

vit) — SI

ie

(p)) =

 

'

=

lim sup {(p |wi + vie) — SI (p) | p e P , K

 

e - » 0

l)

I e

<

s (a;, |PT ) + lim sup

f ((p |i (t)) — f (f,

p)) dt <

 

4

 

l/

 

e - > 0

p

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<:S(w{ |/\.) +

lim

J f(t,

z(t))dt =

s(wi\Px.),

 

 

 

 

 

 

 

 

Аге

 

 

 

 

 

 

поскольку

^ ( 2 ( - ) X OO по предположению.

Соотноше­

ние

(22) доказано,

так как б и N произвольны.

 

 

Коль скоро 5 — собственная

функция, все

S\ — тоже

собственные функции.

Поэтому

Sa

 

совпадают с замы­

каниями функций Sa,

и для всяких t =

1, ... , k,

6 > 0

можно указать

такие

ео >

0

и х,-8,

что

при

0 <

е < ёо

I Х1е -

V i e -

Wi I <

б,

| 5 д .е ( * й )

-

S * 4

(Wi +

v iE) |

< 6/2.

(23)

Из

(23),

в

свою

очередь,

следует

существование

на

каждом

Д/е

суммируемой

функции

y (B(t),

удовлетво­

L § S.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ

415

ряющей соотношениям

 

 

 

 

 

J Viz (О dt = хи,

 

 

 

11г

 

 

 

(24)

 

 

 

 

 

J f (О

Уit (0) dt <

S ’4

(а », +

vu) + 6 .

Че

 

 

 

 

 

Поскольку все

точки Tj,

. . . , т* различны,

при доста­

точно малом е интервалы Aic,

. . . , Д^е попарно не пере­

секаются. Положим

 

 

 

 

i ( 0 ,

если

 

k

 

 

t< £ \ jA i,u m,

 

х т (0

 

 

i= i

 

 

. Vi, i/m (0 , если

t £= Д^

г =

1 s . . . , k.

Последовательность {*£;(•)} — искомая. Действительно,

5Ч*«(*))= ЗЧг(-))+

А

J

5»ч<"

+ S

< = 1

д г, l/m

 

и согласно (20), (22) и

(24)

 

^ « ( • Я - Л ! (*(•)) = ft

= S

I [W

* ( / ) ) ] # -

i = l

A /, l/m

 

- 2 s (“" 1*4)< 2 (s^. i/«

»/«)-s (Ш{>po + 6)~

i=l

<=1

 

 

 

ft

 

 

 

— ^

J f (t, z(t)) dt—> kb при m -> oo,

 

i = l

д /, l/m

 

t. e.

lim lim S'(*®

( •)) ^

M( x( •)). Далее, для всякого

6->Q m ->o o

через

г (0 такой номер /, что

f =7^= /0

обозначим

416

ГЛ. 9.

СУЩ ЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

Т; < / < тг+1.

Тогда

 

 

 

 

<(О

 

*6т (0 =

*(*) +

V

J {yt, lin( t ) - z ( t ) ) d t

i=l Ai, Urn

MO = 2 (0 + V ( x .

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

или в силу

(23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| X m ( 0 —

X (t) | <

k b ,

 

 

 

 

 

t. e.

lim

lim x6 {t) = x(t)

при

всех

t.

Первая

часть

 

в - » 0 m - » o o m

 

 

 

 

 

 

 

 

теоремы доказана.

что

x{t\) е

ri (dom S ).

Коль

Предположим теперь,

скоро

S — выпуклая собственная

функция,

она

непре­

рывна относительно aff(domS)

в точке x(t\)

(теорема 3

из § 3.5). Поэтому найдутся числа 6о >

0 и с такие,

что

для любого

z e a f f ( d o m S )

такого,

что

 

\х — x{tCj \

бо,

существует абсолютно непрерывная функция z( - ), удов­

летворяющая

условиям

 

 

*1

 

z(/0) =

0, Z (/,) = £, | f(t, z{t)) dt

< О О . (25)

 

fo

 

Пусть {х®(1( •)] — последовательность, построенная выше. При достаточно больших номерах т и малых б будет выполняться соотношение |хт&(/,)— х(/,) |= ат^^о-Пусть zm(• ) удовлетворяет (25) и при этом

2 = 2т (/,) = х (/,) +

(б0/ат) (х (f,) - x l (1f,))•

Тогда

 

 

 

 

X { t {):

-32— Xе ftЛ +

. Г —

zm (t

 

, + ат

1) '

6j + ат

ту

Поэтому в силу теоремы 1 из § 8.2 для всякого доста­ точно большого т существует такая вектор-функция

§ 9.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫИ

ИНТЕГРАЛ

417

X6m(t), что Х®,(*0) =

0,

= * (< ,)

И

 

<1

 

<1

 

 

 

+

0(71

 

f(f,

4 * ( « ) Л <

 

 

 

бо + «т

 

 

 

 

 

6.

t,

 

с&т

 

 

<

| f(‘ . * i(9 )

dt

 

 

бо +

От

Ь0+ Чт ’

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

lim

lim & {xL (•)) ^ lim

lim & {хьт(•))

М (х (•)).

6 - > 0

!П->00

 

6 - + 0

т-> оо

 

 

Теорема доказана.

9.3.4.Описание решений и теорема существования.

Т е о р е м а

4.

Пусть

Jceri(d om S )

и

максимум в

формуле (8)

достигается в точке р0.

Тогда,

если кусочно

абсолютно непрерывная вектор-функция

 

 

 

 

 

 

 

z (t) +

k

wfi (t,

т ,)«= УГ

 

 

 

 

 

x(t) =

^

 

 

 

 

 

 

 

 

< = i

 

 

 

 

 

 

 

 

есть решение задачи

(20),

(21),

то

 

 

 

 

 

 

f V, г (t)) + f

(t,

р0) =

(Po \z (t))

почти

всюду,

(26)

 

 

и>,с=ЛГ(/>о|Ят<),

* = 1 .........k.

 

 

(27)

Наоборот,

если х(- )

удовлетворяет условиям

(21),

(26),

'(27) при

некотором р0,

то

х ( - )

— решение задачи

(20), (21).

 

 

 

 

Значение

задачи

(20),

(21)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

равно S(x)

(это следует из теоремы

1). Если *(• )— ре^

шение задачи, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t,

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

AJ (х ( •)) =

J / (t, z(t))dt +

\ i s(w i \PXi) =

S(x) =

 

 

to

 

/,

i~ 1

 

 

 

 

 

 

«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (Po |x) — s ' (Po) =

J [(Po 12 (0)— f

(/. Po)] dt +

У (p0\Wi).

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

(28)

14 А. Д. Иоффе, В. M. Тихомиров

418ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИИ

Сдругой стороны, по неравенству Юнга — Фенхеля

 

 

f(t,

i ( t ) ) > ( P o \ z ( t ) ) - f ( t , ро)

 

 

(29)

 

 

 

s(w i \ P x .)X p 0\wi),

 

 

 

(30)

так как р0е

dom 5* с= Рх..

Сравнивая

(28),

(29)

и

(30),

получаем

(26)

и (27).

Наоборот,

из

(21), (26)

и (27)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

M( x ( - )) =

(p0\ x ) - S , (Po)<S(x),

 

 

 

т. е.

*(•) — решение

задачи

(20), (21).

Теорема

до­

казана.

5.

Пусть f — нормальный

выпуклый

ин-

Т е о р е м а

тегрант. Если

int(domS*) Ф 0 и максимум

в

формуле

(8)достигается, то в задаче (20), (21) существует ре­

шение.

в (8) до­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть максимум

стигается в точке роТогда xe<9S*(po). По

теореме 4

из § 8.3 найдутся суммируемая вектор-функция y(i), принимающая почти при всех t значения из df*(t,p0), и вектор w е jV(p0|dom S*) такие, что

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

[ у (t) dt +

w = x.

 

 

 

 

 

 

fa

 

 

 

 

 

Мы

докажем

существование

таких

точек

т,,

. . . , т*,

wt е

< т2<

.. . <

%k<ti ( k < n +

1),

И

векторов

N (р01Рх

что

+ . . .

+ Wk — w.

Тогда

вектор-

функция

k

t

X(t) = J у (т) dx - f

VJ wfi {t, тг)

t0

;=i

принадлежит Жп и в силу теоремы 4 является реше­

нием задачи.

0,

все

очевидно. Поэтому в дальнейшем

Если

w =

считаем

w

0.

Пусть р е int (dom S'). Положим

 

 

l (р) =

р (р — р |dom 5* — р),

 

l(t, p) =

p{p — p\Pt — p).

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ

419

Напомним, что р ('| Л )— функция Минковского множе­ ства А. Коль скоро р е int (dom S*) crint Pt и множества dom S* и P t выпуклы, функции 1{р) и l(t,p) выпуклы и конечны на Rn и, значит, непрерывны. Покажем, что при всяком р функция l(t, р) полунепрерывна сверху по t и

I (р) = max

I (t, р).

(31)

Это очевидно, если р =

р.

Пусть р ф р. Тогда

1(р)~> О

и l(t, р ) > 0 при всех t.

Имеем

 

 

 

/ (t, р) — inf | X >

О

Р — Р

+ P ^ P t }-

 

 

 

 

 

X

 

Поскольку множества Pt выпуклы,

для всякого е > О

Р - Р

 

+

р <= P t -

 

I (t, р) + е

 

 

 

 

 

Из определения Pt следует возможность выбрать окре­ стность Д(t) точки t таким образом, чтобы

Ц1.7) + е + Р ^ d0m

Но это означает, что

 

 

— —— —— Л- ВG Р

 

 

 

 

lit, р) + г ^

 

 

 

для всякого т б Д (1 ),

т. е. для таких т верно

неравен­

ство

/ (т, р) ^ l(t, р) +

е

и,

следовательно,

функция

l(t, р)

полунепрерывна сверху по

t. Далее, мы можем

покрыть отрезок

[/0, М

конечным

числом

окрестностей

A (ti),

.... A (tm). Пусть

 

 

 

 

 

 

Я0 = шах {/ (

т р) +

е |/ =

1, . .

т).

 

Тогда при всяком i =

1,

... ,

т

 

 

 

 

JL zA + p ^ d o m S l ^ ,

 

 

т. е. ^поскольку

U А (т() = [/0, /,])

 

 

 

 

+

Р s

dom

= Q

dom s ’a (t,).

 

14*

420

 

 

 

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

 

 

 

 

Отсюда

следует,

что

/ (р) ^

Х0^ max I (t,

р) + е,

т. е.

1(р) ^

rnax I (t, р)

 

 

 

 

 

 

t

е.

С другой

сто­

из-за произвольности

роны,

l(p)^zl(t,p)

для всякого i, поскольку dom .S*c:/V

Итак, формула (31) тоже доказана.

 

 

 

w ф 0.

 

По­

 

Очевидно,

ро ф int(dom S*),

поскольку

 

этому 1(ро) >

0. В силу предложения 2 из § 4.3 найдутся

к >

0

и

w^dl( po )

такие,

что

kw =

w. С

другой

 

сто­

роны, в силу (31)

и теоремы 4

из § 4.2 существуют точ­

ки Ть ... , т^, векторы

Ш],

... ,

Wk

и

числа си ^

0, ...

... , ал ^

0 (к ^

п -j- 1)

такие,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (т<> Ро) =

I (Ро).

a i +

••• +

а* —

1.

 

 

 

 

 

<= д/(т;, ро),

ш =

а ,^ ,+

. . . + а kwk.

 

 

Положим

w^— XaiWi.

Коль

скоро

I (тг,

р0) > 0,

снова

в

силу

предложения

2 из

§

4.3

wt е

N (р01PTJ.

Но

в этом случае w = W\-{- . . . + wk. Теорема доказана.

Комментарий к гл. 8 и 9. Подробные изложения теории измери­ мых многозначных отображений можно найти у Ауманна [2], Аркипа и Левина [1], Валадье [3], [4], Кастепа [1]. Из более ранних работ

укажем статьи Куратовского и Рылль-Нарджевского [1]

и

Рох­

лина [1]. По поводу теоремы Ляпунова (Ляпунов А. А. [1])

и

инте­

гралов от многозначных отображений см. Ауманн [1], Блэкуэлл [1], Валадье [3], Дебре [1], Кастен [2] и др. Приведенное здесь доказа­ тельство принадлежит Лннденштрауссу [1]. Обобщения теоремы Ляпунова можно найти у Аркина и Левина [1], Олеха [2], Романов­ ского и Судакова [1], Халкнна [1], [2]. Выпуклые интегральные функ­ ционалы рассматриваются в обзорах Иоффе и Левина [1], Иоффе и Тихомирова [3], Рокафеллара [12].

Литература по теории существования решений огромна. У ее истоков стоят работы Тонелли [1], Макшейпа [1]—[3], [6], Нагумо [1], Филиппова [1], Чезари [1], [21. Дальнейшие результаты можно найти у Берковица [1], [2], Олеха [3], Рокафеллара [13], Синквипи [1]—[3], во многих работах Чезари и др. По поводу многомерных задач см. Лионе [1], Морри [1]. С проблематикой теоремы Боголюбова (Бого­ любов [1]) связаны многие исследования скользящих режимов, ре­ лаксаций и расширений: Варга [1], [2], Гамкрелидзе [4], Иоффе и Тихомиров [2], Янг [1]; подробности см. в монографии Варги [4] и Экланда и Темама [1]. Для дальнейшего ознакомления с линейными и выпуклыми задачами мы отсылаем к работам Красовского [1], [3], Понтрягина, Болтянского, Гамкрелидзе и Мищенко [1], Рокафел­ лара [8], [9], Халкипа [3], [4] и др.

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности