Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5303 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf
Скачиваний:
62
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
15.51 Mб
Скачать
☆

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫИ ИНТЕГРАЛ

4 01

Следовательно,

хт(•) -* х (•)

равномерно.

Наконец,

в силу (28) и (29) получаем:

 

 

ц

 

 

 

3 ^ ( * « ( • ) ) < /

L(t, x(t), x(t) +

ym(t))dt + ± ^

 

и

 

< J gm(t,

0) d t + ± .

 

 

Из определения функций gm следует, что при т - > оо

gmit, у) \L(t, х (t), i(t) + y).

Отсюда нетрудно вывести, что

gm (t, У) i L” (t, x (/), x (t) + у).

Поэтому по теореме Б. Леви

J

gm(t, 0) dt \,SfL» (■))сл .

и

 

 

Сопоставив эту

формулу с

(29), приходим к выводу,

что для последовательности

{*„,(•)} справедливо соот­

ношение (27). Теорема доказана.

§9.3. Конволюционный интеграл и линейные задачи

9.3.1.Постановка и обсуждение задачи. Теорема двой­ ственности. Здесь будут рассматриваться задачи следую­

щего вида:

 

б

(1)

У ( х ( - ) ) =

\ f(t, m )d t\

 

и

(2)

x{tQ) — 0,

x{t[) = x.

Обозначим через S(x) значение задачи (1), (2); S есть функция от переменного х, стоящего в правой части ограничения (2). Она является конволюционным инте­

гралом:

и

S = % f,d t .

402

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Для задач (1), (2) можно построить гораздо более со-* вершенную теорию существования решения, практически смыкающуюся с теорией необходимых и достаточных условий. Покажем, что всякая линейная по фазовым координатам задача оптимального управления приво­ дится к виду (1), (2). В самом деле, рассмотрим за­ дачу оптимального управления системой, линейной по фазовым координатам:

К( у ( - ) , « ( • ) ) = \[(a(t)\y) +

g(t, u)]dt->inU

(3)

У = А (0 У +

ь (it, и),

U€=U,

(4)

У(*о) = Уо,

y(ti) =

yu

(5)

где, как обычно, Л( - ) : [f0, tl] - ^ S ’ (R", R"), b: [t0, f,]X

X R m- > r , g: [ ^ , ] X R m- >R и й ( О е 1 ? ( [ < о , М ) .

Пусть

R (t, т) — резольвента

однородного

уравнения

у = А (0 у. Положим для краткости

 

 

 

q (t) =

| R (т,

t) а (т) dr,

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

a(t) =

(a(t)\R(t, t0)y 0).

 

Пусть,

далее,

x =

y l — R(tl, tQ) y0,

 

 

 

 

h (t, v) — a (t) -b

 

 

 

 

 

+ inf {(<7(01 b(t,

u)) + g(t,

u)\u(=U, R(tu t)b{t, «) = »].

Рассмотрим

задачу

 

 

 

 

 

Уh.(x (*))

= t,

hJ(t,

x (t)) dt -> inf;

(6)

 

 

 

X(to) — o,

(7)

 

 

 

 

 

 

X (ti) — X.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ

403

П р е д л о ж е н и е

1. Пусть ( у ( - ) ,

« ( • ) ) — допусти­

мый управляемый

процесс в задаче

(3 )— (5).

Тогда

вектор-функция

 

 

 

x(t) = R(th t ) ( y ( t ) - R ( t , t0) у0)

допустима в задаче (6), (7) и Tfh (х (•)) ^ К (у (•), и (•)). Наоборот, для всякого допустимого элемента х ( - )

задачи (6), (7), для которого Пh (х ( •)) < о°, и всякого е > 0 найдется допустимый в (3) — (5) управляемый про­ цесс ( у( - ), и (■)) такой, что у ( - ) и х ( •) связаны пре­ дыдущим соотношением и

К{у{-), * ( - ) ) < ^ А(*(-)) + е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть (у (■),

и( ■)) — допусти­

мый управляемый процесс в задаче

(3) — (5)

и х ( - )

определено, как в формулировке предложения

1. Тогда

х (to) — R(ti, to) (у (t0) —уо) =

о,

X (ti) = У\—R (t1,

to) Уо=

 

Далее (см. теорему 2 из § 0.4),

 

 

y(t) = R (t, t0)Уо +

Jt R (t,

r) b (x,

u(t)) dr,

 

h

 

 

t. e. в силу предложения

1 из § 0.4

 

t

 

 

 

x(t) = R (tu t) J R (t, t) b (т,

u (t)) dx =

 

^0

 

 

 

= Jt R(tu x)b (t, u (t)) dx,

404

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

т. е.

x(t) = R (tu t)b(t, и (t)).

Поэтому, согласно определению функции h,

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

К ( у ( - ) ,

ы (•)) = J

(а (/) |R (t,

t0) yQ-f-

 

 

+

J

R (t, t) b (t,

u (t)) dx) +

g (t, и (/))

dt =

 

 

/о

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- J

(a (/)| R(t,

Q y 0) +

 

 

 

(J R (T,

 

^0

dx I b (t, и (t))j +

 

 

 

+

t) a (t)

g (t,

и (t))

dt =

=

J

[ « (t) +

(Я( 0 1 b(t, и (t)) +

g(t,

и (0 ))] dt >

 

 

Jo

>

U

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JA (t,

R (th t) b {t,

и (t))) dt = j h ( t,

X (0) dt.

Первая часть предложения доказана.

Далее, если t7h(x( ■)) < оо, то по определению функ­ ции h для каждого t множество

Ve( f ) = { Me= U\R(tu t)b(t, и) = х (/),

 

 

 

 

(q (t) |b (t,

u)) + g (t,

u) <

h (t, x (/)) +

e}

непусто. Согласно

второму

следствию

теоремы

3

из

§ 8.1, многозначное

отображение t - + V e(t) нормально.

Пусть не(0 измеримое сечение этого

отображения.

Тог­

да, если

 

 

 

 

 

 

y(t) =

R (t, ti) x{t)-\- R (t,

t0) y0,

 

 

то, очевидно, пара (y( ■), нЕ( •)) есть допустимый управ­ ляемый процесс в задаче (3) — (5). При этом

К( У( - ), ut ( - ) ) < t3fh(x( - )) + B(tl - t 0).

Поскольку е произвольно, предложение доказано.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫй ИНТЕГРАЛ

405

В дальнейшем мы рассматриваем только задачи вида (1), (2). Все результаты без труда переносятся на за­ дачи вида (3)— (5).

Пусть, как обычно,

ГУ, р) = П(р ) = (ГУ, •))(/>).

Тогда в силу теоремы 2 из § 8.3

S — выпуклая функция и

Отсюда следует, в частности, что если х е ri (dom S), то

Последнее утверждение есть не что иное, как тео­ рема двойственности для задачи ( 1 ), (2 ). Оказывается, что существование решения и его характер зависят от взаимного расположения множества dom S* и точки р0,

доставляющей максимум в (8).

Сначала

рассмотрим слу­

9.3.2.

Регулярный случай.

чай, когда ро е int(dom S*). В

этом случае решениями

задачи будут обычные экстремали Эйлера и только они.

Т е о р е м а

1.

Пусть / — нормальный

интегрант

на

Ро, ^i] X Rn. Предположим,

что максимум

в

(8)

дости­

гается в точке ро. Тогда вектор-функция

х*(/) в

том и

только том случае будет решением задачи

( 1 ),

(2 ),

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t,

х, (0 ) +

Г У, Ро) =

(РоI х, (0) почти везде.

 

(9)

Если же

ро е

int(dom S*),

то в задаче существует

ре­

шение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

406

ГЛ.

9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если **(•)>

кроме

условия

(9), удовлетворяет еще и равенствам

(2),

то

 

^ (* .(■ ))=

J / V,

К (*)) d t = \ [(р0|k,

(t)) -

r (t,

Po)] dt =

 

 

= (PcU) — J f

(t,

Po) dt = s (x),

 

 

n

 

 

 

т. е. **(•) — решение задачи. Наоборот,

если **(•) — ре­

шение задачи, то,

с одной стороны,

 

 

 

 

а, с другой, по неравенству Юнга — Фенхеля

/ (*, К (0) > (Pol *. (0) — f (t, po)

почти всюду, откуда и следует (9). Первая часть тео­ ремы доказана.

Осталось доказать существование вектор-функции *»(•), удовлетворяющей равенствам (2) и условию (9), или эквивалентному ему соотношению

xt (t) e df* (t, po) почти везде.

(Ю)

Допустим сначала, что f — нормальный выпуклый интегрант. В силу (8) p o ^ d S (x ), т. е.

Поскольку

по теореме 4

из § 8.3

§ 9.3.

КОНВОЛЮЦИОННЫИ

ИНТЕГРАЛ

407

f. е. существует

вектор-функция

yt (t)

такая,

что

У* (0 ^ df* (t, р0) почти всюду,

 

 

Jи У, (0 dt == х.

 

 

Полагая х„ (t) =

Jt г/, (т) dr, получаем

требуемое.

to

Для доказательства теоремы в общем случае, т. е. без предположения о выпуклости интегранта /, нам по­

надобится следующее утверждение.

 

 

Л е м м а

1. Пусть ф —

замкнутая собственная функ­

ция на Rn. Предположим,

что р0е

тД ё о т ф * ).

Тогда

<V (Ро) = conv {х е= Rn|ф (л:) +

ф* (р0) = (р01х)}.

Допустим, что лемма уже доказана, и рассмотрим

такую задачу:

<i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J Г У ,

 

(0 ) —> inf;

(И)

 

 

х (to) — 0,

x(tl) =

x.

(12)

Пусть Si (х) — значение

этой задачи. Тогда по

теореме

Фенхеля — Моро

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- )dt=s\

 

 

si=Jr(t,

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

Так как Г — нормальный

выпуклый интегрант (предло­

жение 2 из

§ 8.1), в задаче ( 1 1 ),

(12) по доказанному

выше существует

решение x(t), т. е.

 

 

 

х (t0) =

0,

х (f,) =

х,

 

 

/

Г У ,

х (t)) dt — Si (х).

 

to

Поскольку ро е int^dom J f* (t, •)dt),

из предложения 4

из § 8.3 следует, что р0е int (dom f {t,

•)) почти всюду.

408

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

По лемме

1 на множестве полной

меры

 

дГ (t, Ро) = cony [у <= R" \f{t,

у) +

f* (t,

Ро) = (р0 1у)}.

Многозначное отображение

 

 

 

t - > V ( t ) = [ y < = R n \f(t,

y) + r(t,

р0) = (р0\у)} =

 

=

{ y ^ R n \f(t,

у) + f

(/, Ро)<(Ро\у)}

нормально (следствие 2 теоремы 3 из § 8.1). В силу

предложения 4 из § 8.3 для

некоторого е >

0

функция

 

г (0 =

sup {f* if,

Ро + р)\Р е= R", |Р К

е}

 

 

 

суммируема.

Поэтому для

всяких

(t, у) е

gr V,

p e R

’ ,

\р К

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Р\У)< Г V, Ро +

Р ) ~

(Ро Iy) +

f {t,

У) =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Г (/, Р о +

Р )

+ Г (*. Ро) < г (0

+

Г (*. Ро)-

 

 

 

I p K e - ' ^ W + r ^ , Ро))-

 

 

 

 

 

Мы

можем

применить

к

отображению

V

теорему

1

§ 8.2 , из которой следует равенство

 

 

 

 

 

 

(,

 

 

и

 

 

 

 

<1

 

 

 

 

 

 

j

V (/) dt = j

conv V (0 cW=

J 5/* (/,

p0) dt.

 

 

 

to

 

 

t0

 

 

 

 

t0

 

 

 

 

 

Поэтому существует

такое

измеримое сечение г/, (/)

ото­

бражения

V,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ti

 

 

ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| y t (t) d t =

J x (t) dt — x.

 

 

 

 

 

 

 

 

to

 

 

tо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

если

xt (t) — J yt (x)dx,

to

x(t0) — 0,

 

 

=

x

и

to

f {t, Xt (/)) + f’ (t, Ро) = (Ро I■*. (0 ) почти везде, т. e. лс, (• )—

решение задачи. Теорема доказана.

До к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1 . Заменяя, если нужно,

Ф(лс) функцией ф(х) — (р0 \х) + ф* (р0), мы можем считать,

что р0 — 0 и ф* (0) = 0. Тогда ф (лс)^ф** (х )^ 0 и ф” (лс)— 0,

если

х е

йф* (0). Коль

скоро

р0= 0 е

int (dom ф*),

функ­

ция

ф*

непрерывна в

нуле

(теорема

3 из § 3.5),

т. е.

§ 9.3. КОНВОЛЮЦИОННЫП

ИНТЕГРАЛ

409

для некоторых е > 0, б >

0 неравенство ф* (р) ^

6 выпол­

няется, лишь только | р К + . Пусть

 

| 6,

если

|р К е,

 

^1 оо, если |р |> е.

Тогда ф *(р )< /(р )

и

 

Ф {х) ^

ф** {х)~^ I* (х) = z \х \— б.

(13)

Пусть теперь х е

дф* (0) с: dom ф**. Тогда в силу

пред­

ложения 2 из § 3.5 для всякого натурального т найдутся

векторы Х\т , . . . . хп+ит и числа а1т > 0 ,

а „ +|, т > 0

такие,

что

 

 

 

П + 1

п + 1

п +1

 

 

 

V ОIm^irn %

Я/тф (Xim) ^

(14)

 

i=l

г=1

 

 

Мы можем выбрать последовательность {ms} натураль­

ных чисел

таким образом,

чтобы

для всякого

номера

i = l ,

. . . ,

п +

1

либо

Xim

сходились к некоторому xit

либо

\x{ms \-+ оо.

Если

|xlnis |- > оо,

то из неравенства

 

 

 

 

 

 

 

j Xtms |^5 1/W-s +

6&ims9

 

сразу

вытекающего из (13), (14), следует, что

 

и,

значит,

 

 

 

 

aims -* 0

 

 

 

(15)

 

 

 

aims |xims I -> 0.

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее

 

соотношение

означает, в частности, что

|^ims |—> 00

 

не

для всех

номеров г. Без ограничения

общности

можно

считать,

что

xtms

сходятся к xt при

1 <

г <

/г

и

1-K/mJ- * 00

при & + 1 < г < п + 1 .

Тогда

из

(15),

(16)

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х == Пт

п + 1

а{т хш =

к

щхи

 

 

 

 

 

 

2

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

S->oo i=I

 

4

5

f=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п+1

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

1 =

Пт

21 Щт =

21 Щ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s-я»

г=1

 

4

i =i

 

 

 

410 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

и из-за

полунепрерывное™ функции ф снизу

 

 

П + 1

 

 

 

 

 

 

0 = Пт 2 а/т ф (^т ) >

 

 

 

 

5-^.оо г= 1 s

4

^

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

к

 

 

 

 

> Пт 2 а,т ф (х1т) > 2 а.ф (М) > 0,

 

k

 

S-> ОО i = 1

S 4

S J

1= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

t . e.

^ ct/ф ( X

j ) =

0 = ф” (л:).

Последнее

соотношение

может иметь место лишь в том случае, когда

ф(хг) = 0

при i = l ,

k,

т. е. когда

ф(хг) +

ф* (0) = 0

(так как

Ф неотрицательна). Таким образом, х есть выпуклая комбинация точек х и .... xk таких, что ф(х*) + Ф * (Ро) = = {p0\xi). Лемма доказана.

Теорема 1 носит «апостериорный» характер: для ее применения требуется сначала вычислить значение за­ дачи, используя формулу (8). Однако с ее помощью можно получать и «априорные» теоремы, подобные тем,

которые доказывались в § 9.2.

 

Т е о р е м а 2.

Пусть f — нормальный интегрант на

[/0, M X R", удовлетворяющий условию роста.

Тогда, если

значение задачи

( 1 ), (2 ) конечно, то у нее

существует

решение.

Мы хотим обратить внимание чита­

З а м е ч а н и е .

теля на то обстоятельство, что в этой теореме, сходной

с теоремой 1 из § 9.2, не требуется выпуклости иитег-

ранта f(t, у) по у.

По условию эффективное

Д о к а з а т е л ь с т в о .

множество функции S* (р) =

J /* (t, p)dt совпадает с Rn.

Поэтому, если максимум в (8) достигается, то он до­ стигается во внутренней точке множества domS*, и тео­ рема 2 следует из теоремы 1.

Предположим теперь, что максимум в (8) не дости­ гается. По условию существуют вектор-функции x(t), удовлетворяющие условию (2 ), на которых интеграл ( 1 ) конечен. Если множество таких вектор-функций конеч­ но, то все очевидно. В противном случае в задаче суще­ ствует минимизирующая последовательность, т. е. по­ следовательность таких вектор-функций xm(t), что

*/п(*о) = 0, х М = х, Ш п З '( * „ ( • ) ) = $ ( * ) . (17)

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности