Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4940 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

9.2. ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ

РЕШЕНИИ

391

( 9 ), (10) выполнялись при

всех t<=[t0, t x\, х<=Х,

| х | < с ,

и е

Тогда

in f

{/ (t, х, и) |х е

| х К

с,

и е

U] >

inf ф, (t,

и) >

inf ф, (t,

и) =

—

грТ (t,

и ф* (t, 0) — суммируемая функция. Положим

A o = { * e [ f 0,

A! =

{ f< = [ f 0.

f i] || x(t) | >

c).

Тогда

для

всякого

i e

[/0,

tx]

в силу

(11)

\x (t) | < U o

I + c +

J I Ф (t,

x{t), и (t)) | dt <

д.

< 1 * 0 I + C + k T l. J

fit,

X(t),

U(t))dt +

J k ,

(t)\dt^\x0\+

-\-c -

ki 1( a + 1 ) +

| n

(0 [ dt — ki

/ (/,

x (t),

и (t)) dt ^

<1 xo I “b c "b ki 1(a 4“ 1) 4* J I ri (t) \dt + k\

J ф* (t,0) dt ^

<1 *o|+ c + k\ 1(a+ 1) + J (In (t) | + 1ф* (t,

0) |) dt —c0.

Мы

получили, что

для всякого

управляемого

процесса

(х (• ),«(• )), допустимого

задаче (3) — (6)

такого,

что j ( x ( - ) , и (-))

a + 1,

при

всех

t ^ [ t 0, t i]

справед-

ливо

неравенство

| х ( / ) | ^ с 0.

Пусть

теперь

{х е

X | |х |^

с0}. Рассмотрим задачу

2 { х { •). « ( • ) ) = { / ( * . * (0,

U (0) dt -> inf;

(14)

Х = ф (t,

и),

(15)

u ^ U ,

t (= [f0,

/j],

(16)

X (t0) = xo, x(f,) <= A.

(17)

По доказанному эта задача имеет то же значение и те же решения (если таковые существуют), что и задача

392ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

(3)— (6). Однако для последней задачи выполняются


условия,	сформулированные		в а). Поэтому	в задаче
(14) — (17) и,		следовательно,	в задаче (3) — (6)	решения
существуют.		в). Из условия	(12) в силу предложения 3
С л у ч а й
из § 9.1	следует существование такой константы с > О,

что \| х (/)\| ^ с при ( е	[(о, С] для всех управляемых про
цессов ( х ( - ) , и ( - ) ) , допустимых				в	задаче	(3) — (6).
Пусть
X (0 = inf {/((, .г,	и)\|х<=Х, \|дс\|<с, н е					(У);
	(	X(t),	если	и	U,
Ф(*. и) = \		оо,	если	и ф и .
	{	оо,	если	и ф и .

Пнтегрант ф удовлетворяет условию роста, ибо

ф‘ ((, p) = s(p\ U) — X{t)

и,	значит, поскольку			U	ограничено	и X(t)	суммируема
(в силу условия			II на стр. 386),
		и				и
		J ф* (t, p)dt =		s(p \|V) (/, — t(l) — J X(t) dt <				oo
	*0					^0
для		всякого	p e	R,n.	Положим,	наконец,		Xt —
=	{x e	X \| \|a'\| ^	с}	и рассмотрим		задачу	(14) — (17).

Эта задача имеет то же значение и те же решения, что

и задача	(3) — (6). Но для всех ( е			[/0, fi], x ^ X t, u ^ U
справедливы неравенства
	f(t,	х,	« )> ф (С и),
	\|ср (/,	а:,	и) \|< г (t) -f	kc2.
Поэтому	п в данном случае задача			(14)— (17) удовлет

воряет условиям, сформулированным в а), и, следова тельно, у нее существует решение.

С л у ч а й	г).	Согласно условию (13)
h (t,	х,	г /)> ф, (\| у \|) — ф2 (1 * I) + r(t).

Поэтому существование решения у задачи (7), (8) сле дует из теоремы 2. Теорема полностью доказана.

Самое «неудобное» условие в формулировке теоре мы 3 — требование выпуклости интегранта h по у. Пря мая проверка этого условия не всегда возможна и

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ

393

зачастую удобнее пользоваться теми или иными косвен ными критериями. Один из таких критериев мы сейчас докажем.

Пусть р е R". Положим

H(t, х, р, и) = {р|ф (t, х, и)) f (t, x, и).

П р е д л о ж е н и е 1. При выполнении любого из условий а)—г) теоремы 3 для выпуклости интегранта h по у достаточно, чтобы при всяких ^ е [/0, t\\ i e R " , р е R" множество

Q (t, х, р) = [у <= R'! \|3 и <= U:	Н (t,	х,	р, и) =
— max Н (t, х,		р,	v), ф (/, х, и) =	у}
teU
было непустым и выпуклым.	определения функции			h
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из	определения функции			h
следует, что

h* (t, x, р) — sup Н (t, х, р, и). ut=U

Кроме того, при доказательстве теоремы было показано, что /г — нормальный интегрант, dom h* (t, х, •) = Rn и нижняя грань в определении h достигается почти при всех t. Поскольку h полунепрерывна снизу по у, нам до


статочно	проверить,		что		h(t, х, у) =		h** (t, х, у)	при
у е ri (dom h** (t, x, •)).			В этом			случае dyh** (t, x, у) ф		0 .
Пусть р ^dyh** (t,x,y).			Тогда у е dph* (t, х, р ). Так					как
р е int(dom If (t, х,		•)) =		Rn	и	функция y -+ h (t,x ,y )
замкнута,	найдутся	такие			числа ai ^		0, ... , а п+\ ^ О,
в сумме равные единице,				и векторы у\ е			dhf (t, х, р), .. .
. . . , уп+[ е	dhp (t, х, р),		что
	У — ail/i +			••• Ч- а.п +1Уп +1г
h(t,	х, yf) =	h " if.,		х,	yf),	i = 1 .........n -f 1 .

(Этот факт доказывается ниже, см. лемму 1 из § 9.3.)

Тогда,

с одной стороны, найдутся

такие

и ,<= U, .. .

.. .,

un+i е= U,

что

Ф (/,

х,

uf)=z уI,

h it,

х,

yf) = f (t,

uf,

i =

1 ,

. . . ,

n -|- 1

а, с другой,

h4 (t,

pi) = (p| Ф (t,

Ui)) — f (t,

uf),

i =

1 , . . . ,

n -f 1 .

3 9 4 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

Отсюда
шах Я (t, х,		р, и) =		max ((р \|<р (t, х, и)) — f(t,				х, и)) =»
m s и				m s и
						= (p\q>(t, х,	Ui))— f(t,			х,	щ),
т. е. у , е Q(t, х,			р)	при всех t = 1.........n +				1. По усло
вию	множество		Q {t, х,		р) выпукло, т.		е. y e Q		(t,	х,	р).
Это	значит,	что	найдется			такое и е [ / ,	что
Ф (/, х, и) = у,			(р\| ф (t,		х,	и)) — f (t, х , и) =		h* (t,	х,	р).
Последние		соотношения			дают
h (t,	х, у) <	/ (t, х, и) = (р \|ф (t, х, и)) — h* (t,						х, р) =
				=	{p\y) — h* (t, х,		р) < /Г (t,			х,	у),
т. е. hit, х,		y) =	h**(t, х, у). Предложение доказано.
9.2.3.		Теоремы существования и необходимые условия

экстремума. В доказанных только что теоремах утвер ждается существование решения, принадлежащего бо лее широкому классу по сравнению с классом допусти мых элементов, для которого доказывались необходимые условия экстремума в гл. 2. Конечно, чем шире класс допустимых элементов, тем с большей вероятностью ре шение в этом классе существует. В теоремах 1—3 класс допустимых элементов был, по существу, максимально широким. Эти теоремы поэтому следует характеризо вать как «грубые». Однако существуют и «тонкие» тео ремы существования решений, принадлежащих более узким классам, в частности тем, для которых справед ливы необходимые условия экстремума — уравнение Эй лера и принцип максимума Понтрягина.

Разумеется, если в задаче (3) — (6) множество U ограничено, то сама теорема 3 становится такой «тон кой» теоремой. Мы докажем сейчас один менее триви альный результат, относящийся к задачам классического вариационного исчисления.

Т е о р е м а 4. Предположим, что интегрант f(t,x,y) дважды непрерывно дифференцируем на |^oXi]XRmX R n и вторая производная fvv{t,x,y) положительна для всех t, х, у, т. е,

(fyyit, х, y )z \ z )> 0 ,

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ	395
каковы бы ни были t, х, у и z <= Rn, z Ф 0. Пусть,	далее,
f { t , x , y ) ^ ^ { \ y \ ) — ty2(\x\)	(18)

при всех t, х, у и для всякого с >» 0 найдутся константа

k >	0 и суммируемая функция				r(t)	такие,	что
		\fx{t,	х,	г/) \| < Ь М 1	г/ 1)+ г(0,		(19)
		\fy (t,	х,	г/)К А м М 1 У\) +		гЦ)	(20)
для	всех t е	[/о, t\],	У е Rn и х <= Rn,			j л:\|^	с, где функ
ции г\|тт и г\|)2		удовлетворяют условиям				а )—г) теоремы 2 .
Тогда, если		X = Rn,		tl — t0 <:2y, то в задаче (1), (2)

существует дважды непрерывно дифференцируемое ре шение, удовлетворяющее уравнению Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Прежде всего покажем, что
вектор-функция	x (t)^ W i,u		удовлетворяющая	почти
при всех t уравнению Эйлера			в форме Дюбуа-Раймона
	t
fy (t, х,	х) — J fx (т,	x,	x) dx = d = const,	(2 1 )
	u

дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению Эйлера. Для этого рассмотрим функцию

Эта функция дважды непрерывно дифференцируема по обоим аргументам, а при каждом t выпукла по у и удов летворяет неравенству


g(t,	У )>^Л \ У I) — Ф2 ( U (0 I) +					(a(t)I y) =	h(t,	у). (2 2 )
Поскольку х (-) ограничена, a					a(t) непрерывна при вся
ком t,	dorng*^, • )=		R” в силу условия в) теоремы 2 и
предложения		1 пз §	3.3. Это значит, в частности, что при
всяком	t функция		p -* g * (t,p )			непрерывна	на	Rn и
dg*(t, О ) ф 0		(предложение 4,			§ 4.2). Поэтому для вся
кого t	можно указать			такой	вектор y(t),		что	г/( 0 =
е dg* (t, 0). Поскольку g				дифференцируема по у,				отсюда
получаем			gy (t, y {t))^ 0.					(23)

396 ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ

Условие (23) означает, что функция g достигает мини мума по у в точке y(t). С другой стороны, поскольку вторая производная g yv(t, у) — fvy(t, x(t), у) положи тельна, функция g может достигать минимума не более чем в одной точке. Итак, при всяком t уравнение (23) имеет ровно одно решение. По той же причине при каж дом t линейное отображение z -+ gy(t, y {t))z есть гомео морфизм. Из теоремы о неявной функции следует те перь, что y(i) непрерывно дифференцируема.

Соотношение	(23) можно переписать так:
	t
fy У, х (/),	у (0 ) — \| fx (t, х (t), x (0 ) dt = d.

Сравнивая его с (21) и учитывая единственность реше

ния уравнения (23), получаем, что					x(t) =	y(t)	почти
везде и, следовательно, поскольку					y(t) непрерывна,
x(t) =	y(t)	при всех		t. Мы получили, что x(t) дважды
дифференцируема			и	удовлетворяет	условию	(2 1 )	при
всех	t.	Но в	этом случае вектор-функция				t —*
—*fv(t, x(t), x(t))			непрерывно дифференцируема и
		x(t),		x ( t ) ) - f x (t, X ( t ) ,	x (t )) ^	0.

Таким образом, для доказательства теоремы нам

нужно убедиться в существовании решения класса W", i , почти всюду удовлетворяющего уравнению (21). В силу

теоремы 2 наша задача имеет решение xt (•) е Wi, i. Покажем, что это решение — искомое. Положим

Дт = {/<=[*о, *,] |x,(t) |</п ), т = 1, 2, . . . ,

и обозначим через М множество таких ?/(•)<=/.£,, кото рые обращаются в нуль на некотором множестве Дт и

интеграл	от которых равен нулю. Пусть х ( - ) е № " д и
i ( ’ ) e M	(в частности, x{tQ) = x{t{) = 0). Покажем, что
lim Я,- 1 [У (x J . ) +		k x ( - ) ) - V ( x , ( - ))] =
я-»о
tl		(t)) \х if)) + (fy if, xt (t), X , if)) \| X (/))] dt. (24)
= J Шх (t, X , (t), X ,

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ

397

О т с ю д а т р е б у е м ы й

р е з у л ь т а т

с л е д у е т н е п о ср е д ств е н н о .

В с а м о м

дел е,

и н тегр и р у я

в т о р о е

сл а г а е м о е

(2 4 )

по

ч а стя м

и у ч и ты в а я ,

ч то

х * ( - )

— р е ш е н и е

за дачи ,

п о л у

чим , что

J (fj (t,

х. (О,

К (0 )

—

*о

—

fx(x,

X, (т),

х, (r))dr\ y(t)) dt =

(25)

для

всех

y ( - ) ^ M .

(Вектор-функции fx {t,

xt (t),

x_(t)) и

fy (t,

x, (/),

xt (t))

суммируемы в силу условий

(18) — (20).

Чтобы

убедиться

этом,

достаточно

выбрать

k > 0

и / - ( - ) e Li

так,

чтобы

(19),

(20)

выполнялись

при

с =

||дс(•) |1с-)

Но

множество

плотно

подпрост

ранстве

L={*/(.)eL"| j y(t)dt =

0j.

Поэтому равенство (25) выполняется для всех у ( •) е

а это

значит,

что

x, (г),

f y (t,

X, (t),

X, (t)) — I

f x

(t,

X' (г)) dr =

const

почти

везде.

доказать

равенство

(24).

Положим

Нам

осталось

для

краткости

d (t,

t) =

(fx (t,

X . (/) +

lx (t),

X ,

(t) +

lx (t)) IX (D) +

( f y (t,

(t)

E x

( /), X . ( 0

l x

( 0 )

(/)) .

Тогда

при всяких 1 e

[4,

A >

/ (t,

(t) +

Ax (/),

x, (/) +

Ax (t)) —

- f ( t ,

X , ( t ) ,

x ,( t ) ) = \ d ( t ,

l)dl.

3 9 8

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

Положим, далее,

е (t, Я) = Я " 1 J d(t, l)dl.

Поскольку d непрерывна по |,

е (t, Я) —> d (t, 0) при Я j 0.

С другой стороны, выбрав константу k > 0 и cyMMiipyej мую функцию r(tf) так, чтобы соотношения (19), (20) выполнялись при с = |[а;*(•) ||с + |U(•) Нс, получим для всякого | е [0, 1]

d(t, l ) < b M I * . ( 0 l + U ( 0 l ) ( U ( 0 l	+
+	\x(t)\) + 2r(t) = q(t).

Функция q(t) суммируема, так как х ( - ) е М . Поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимости

Но по определению
Jб e(t,	Х)си = к - 1[ЗГ(х.(-) + к х ( ’ ) ) — 2Г{Х' (•))],
J d (t, 0 ) d t = j [(fx (t,		x, (0, i .	(0)I x (t)) +
		+	(fy (t, x,(t), x„(t))\x(t))]dt,
откуда и следует равенство (24). Теорема доказана.
9.2.4.	Теорема	Боголюбова. В конце п. 2.2.3. было

упомянуто о том, что с теоретической точки зрения не обходимое условие Вейерштрасса можно считать всегда выполненным. Точный смысл этому утверждению при дает следующий результат. Пусть L(t, х, £) — непрерыв ный интегрант,

9 h{x (• ) ) = J L (t, x, x) dt

§ 9.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

399

функционал простейшей вариационной задачи класси ческого вариационного исчисления и

9 l» (*(•)) = / L” (t, х, x)dt to

функционал, где в качестве интегранта взята функция L** (t, х, ц ), являющаяся второй сопряженной по Юнгу — Фенхелю функции £—» L(t, х, £). Интегрант L**(t,x,x) квазирегулярен (т. е. является выпуклой функцией по следнего аргумента), кроме того имеет место такое не

равенство: L** (t, х, х) ^ L (t, х, х)

(оба

эти факта

сле

дуют

из

теоремы

Фенхеля — Моро).

Из

последнего

не

равенства вытекает,

что

Т е о р е м а

5 (Боголюбов).

(*(•))•

(26)

Для любой вектор-функ

ции х ( •) *= Wta, 1 ( [/о,

^i])

найдется

последовательность

функций i ffl( - ) e C | (

[/0,

t{\)

такая,

что xm(t0) = х (t0),

x m {U ) =

x(ti), хт( - )

стремится к

х ( - )

равномерно

на

[to,

и,

кроме

того,

Пт ^ ( * „ ( - ) ) < ^ «

(*(•))•

(27)

т -> оо

Сопоставление

неравенства

(26)

и теоремы 5 пока

зывает, что задачи

Д L{x (• ))-> inf;

x(ti) = ll, i — 0,

1 и

Уl**(■* (• ))—> inf; х (ti) = |г, i =

0, 1

эквивалентны: у

них

одни и те же значения и одни и те же минимизирующие последовательности. Результат, подобный теореме 5, верен и для общих задач оптимального управления. Из него следует, что требования выпуклости, накладывав шиеся выше в теоремах существования, можно всегда считать выполненными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ограничимся построением по следовательности {*„(•)}» состоящей из функций про

странства 1 ([^о. М)- Переход от этой последователь ности к последовательности элементов из Cl совсем

прост. По заданному числу пг =	1, 2,	. . . найдем е =	е (ш)
так, чтобы
max L (t, х (t) + х, х (t) + у) ^
\|* \|< е (т)			(28)
^ L (t, x(t),	Ц1) +	у) + - ^ ± - ^	(28)

400

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ

при

всех

у е

Rrt, |у |^/п.

Это можно сделать из-за

ограниченности x(t) и непрерывности L.

Пусть

6 =

6 (т)

выбрано

так,

чтобы 6т ^ е.(т ). Разобъем отрезок [t0, /|]

точками

т0=

/0 < х 1<

. . . < T k = tl на части

длины,

меньшей 6.

Положим

8 т (t,

У) =

L(t,

x(t),

x{t) +

y),

|у K m ,

{

\y\ > m ,

и рассмотрим конволюционный интеграл

hi(y) = \

(g„)(^|(y),

i =

Из

непрерывности

следует,

что

dom/i( =

= В(0,

т ( т , — т,_1)) = {г/||г/|< т(тг — т,-_,)}, и,

значит,

0 е

int (dom hi).

Из

теоремы

2 §

8.3

получается,

что

А, (0) = !гГ (0)

У ы г л | ( 0 ).

Отсюда можно извлечь существование на каждом из отрезков [т,-!, х,] такой вектор-функции ut{t), что

| щ (0 dt = 0, V -1

Jт( gm(t, Ui(t))dt^

xi- 1		Jxi
< М О) +	Ж <	Jxi	Sm	0) dt +	(29)
Положим ym{t) = U[(t),		xi-1
Положим ym{t) = U[(t),	если	x[- l ^ !t <		xh xm(t) =	x(t)~f-

+ Jt Ут(x) dx. Ясно, что xm (tt) — x{t^. Из определения gm

и			почти всюду и, значит, почти
следует, что \Ui(t)\^m			почти всюду и, значит, почти
везде	\|г/т (/) \|<; т ,	т. е-	хт( ■)^W Z,, ь Далее, при вся
ком t	справедливо	неравенство \|х (t)— xm(t)\^.6т < е.

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4940 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ