книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

381

венство

fe ^

ф.

Поэтому

при

таких е

в силу

предло­

жения

1

из

§

3.3

dom /‘ =

Rn. Положим

f' —

inif* и

покажем,

что

f* =

g’Xt-

Допустим,

что f

е > О

(z0) > g* (zfl)

для некоторого

20e R m.

Это

значит,

что

для

всякого

е > 0 найдутся J t,e R m и уе е

R" такие, что \х — хг |< е

и (2о |У,) -

8 К -

Уг) > §1 (2о) +

6- Покажем,

что

|уе | не

может стремиться к оо при

е —> 0 .

Выберем

еа столь

малым,

что

domfl = Rn. При е < е0

для всякого z g R"

справедливо неравенство f

^

(

z

)

*/е), откуда

sup{/;(z)| | z - z 0| < l}

> k |

+

£ 0(2o) +

6-

Если бы

|г/е|—►оо

при е —►О, то функция

была бы

(У lz0)

~ g (*о- У ) > ( У

12о)—

В (*„ Уг) >

В* (2о) + 6-

вопреки

неравенству

Юнга — Фенхеля.

Итак,

=

Поэтому по теореме 2 из § 3.4

g

= f

=sup /в

= lim f.

е >0

Лемма доказана.

3. Допустим, во­

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы

преки утверждению теоремы, что функционал 3

не яв­

ляется полунепрерывным снизу в точке х ( - )

относи­

тельно равномерной сходимости на

W'™|.

Это

значит,

что существует

последовательность

(*т (-)} из W?, i

равномерно сходящаяся к х(-)

и такая,

что

с =

lim Sf { х т ( •)) < Э ( х (•)).

т-»°о

§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

383

везде. Однако при каждом t,

при котором эта сходи­

мость

имеет место,

>

limhl]t(t,

уt (0)> hfit (/,

* (0),

limhi] (t,

yt (t))

i-+ oo

oo

каков

бы ни

был

фиксированный номер i0.

Наконец,

по лемме 4 limhi] (t,

х (t)) = f (t, x(t), x{t)).

(-♦oo

1

Таким

образом,

limft,

h]](t,

y,(*))««> J<./(/, дс(0, xif))dt,

l~>°° и

‘

<.

384

ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ

(x,

x) e= U (t),

f<=[f0, fi],

X {to) = x0,

x (f,) <= A

приводится к виду

(1), (2), если положить

f

g(t, х, у)

при

(x ,y)<=U(t ),

' ’ х, у) j

оо

при

(Х) у) ф и {t).

дач вида (1), (2).

f — нормальный квазирегуляр-

Т е о р е м а 1. Пусть

ный интегрант на [f0, fi] X

R" X R". допускающий оценку

f(t, х,

y ) > y { t ,

у),

где ср — измеримый интегрант на

[fo.fi], удовлетворяю­

щий условию роста. Тогда, если

значение

задачи

(1),

(2) конечно, то существует вектор-функция

х ( * ) е

^ ц ь

§ 92. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ

389

r)

множество U ограничено и существуют число £ > 0

и суммируемая функция r(t)

такие,

что

|(дс|ф(/,

и))|< Л |*р + г(0

(12)

для всех t е

[/о,

х е

X,

и ^

U-,

ф2,

г)

существуют определенные на [0, оо)

функции

и

удовлетворяющие

условиям

а ) — г)

теоремы

2 ,

и

суммируемая функция r(t)

такие, что

f(t,

х,

и) >

1))! (| ф (t,

х,

и) |) — -фг(I х I) +

г (0

(13)

для

всех

t <= [/0, ti],

х е

X,

и е

U

и,

кроме

того,

| ф ( / ,

х, и) |—|►оо при

|гг| —►оэ

равномерно

в окрестности

каждой точки н е К

при всяком t е

[/о,

/1].

что

во

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего

докажем,

всех перечисленных

случаях

h — нормальный

инте-

грант и нижняя грань в определении h достигается,

если

/г <

оо. В случае в) это очевидно, поскольку

множество

U компактно, а функции f и ф непрерывны по и. В слу­

чае г ) всякое множество

{и е

U\q>(t, х, и) =

у}

компакт­

но,

так как ф непрерывна

по и и

|ф(/, х,

и) |—►оо

при

|«|—>оо. Поэтому и здесь нижняя грань в опре­

и

lim h(t, xs, ys) < оо.

По

доказанному

можно

выбрать

такие us <= U,

что f (t, xs, us) =

h (t, xs, ys),ф {tfixs, us) = ys.

Так

как

1ф (^, x,

н)|—> o o

при

\и\—* оо

равномерно

в

окрестности каждой точки х при всяком t, последова­

тельность {«,} ограничена. Если

и — предельная

точка

этой последовательности, то из-за непрерывности / и ф

по

(х, и) выполнено равенство ф (t,x,u)

— у

и

h{t,

х, y)<^f(t,

х,

и

)

lim/ (t,

xs,

us),

5 ->oo

t . e. h полунепрерывна

снизу по

(x, у)

и,

значит,

h —•

нормальный

интегрант.

В случаях

а) и б)

для доказа­

тельства нужного утверждения достаточно проверить,

что

\p(t, и ) -*■ оо

при

h | -voo почти

при

всяком

t,

поскольку

в

этом

случае

всякое

множество

{и <= U\f(t, х, и) <

с}

компактно и из xs - * x ,

f(t, х3, us) <

^

с

следует,

что

последовательность

{и„}

ограничена.

По условию функции / —>ф*(/, р) суммируемы

при вся­

ком р е Rm. Отсюда

сразу

следует, что

эффективные

множества функций ф*(/, •)

почти при всех t совпадают

с R"1. Но при таких t, очевидно, что

ф(/, w )^ | «| — max ф* (t,

р) -* оо при [м|->оо.

I р К 1

Тогда

согласно (9),

(10)

h 01, х,

у) =

inf {/ (t,

х, и) |и <= I/, ф (t,

х, и) =

у } >

^

inf {ф (t,

и) |и s

U, ф (t, х,

и) = у\~^

> in f (ф(*,

и) |«е= U, |ф (/, х,

и) |= |у |) >

^ inf {ф (t,

u )\ u ^ U ,

k \и |+ г (t)

у |} = X (t, у)-