Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4938 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

f § 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ

371

полуоси [0, °о) (принимающая, возможно, и бесконечные значения). Функция со(/) называется модулем, если она неотрицательна, не убывает, ш(0) = 0 и ay(t)—>0 при t —* 0. Множество A cz Сп называется равностепенно не прерывным, если существует такой модуль со(^), что

|х (0 — х (т) |^ со ( \t — т |)

для всех х ( - ) ^ А , t, т е [ 4 , fi]. Модуль со(0 в этом слу чае назовем модулем непрерывности множества А. Мно

жество	A cz L\ называется			равномерно	суммируемым,
если существует модуль a(t)				такой, что
	J \|х (t) \|dt			со (mes А)
	А
для всяких * ( - ) е А		и	измеримых множеств Ac;(Yo, t\\
(здесь	mes А — лебегова		мера множества А). Модуль
v)(t) в этом случае называется модулем					суммируемости
множества А.		1	(теорема Арцела). Множество
П р е д л о ж е н и е
A cz Cn([t0, /]]) относительно компактно в					сильной топо

логии тогда и только тогда, когда оно ограничено и рав ностепенно непрерывно.

Доказательство см. Колмогоров и Фомин [1], стр. 103. П р е д л о ж е н и е 2 (критерий слабой компактности в Li). Множество A c z L l ( [ t 0, ^]) относительно ком

пактно в слабой топологии в том и только том случае, когда оно равномерно суммируемо.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы можем отождествить про странство Li с множеством абсолютно непрерывных функционалов на Li,. При этом слабая топология в Z.J1 равносильна топологии, индуцируемой на Li слабой’ топологией пространства (l 2>)\ В пространстве

как и во всяком сопряженном пространстве, ограничен ные и слабо’ замкнутые множества слабо* компактны. Поэтому множество A cz Li слабо относительно ком пактно в Li тогда и только тогда, когда оно ограни

чено по норме и его замыкание в (L")* относительно слабой’ топологии содержится в If.

372	ГЛ.	9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИИ
	Если множество А равномерно суммируемо и ®(t) —
его модуль суммируемости, то,				выбрав число е >	0	так,
что	ев (0 < 1 ПРИ		и разбив отрезок {tQ> /,]			точ
ками t0 — т0< Т ] < .. .			< хт=	t\ на отрезки	длины,
меньшей е, получим для			всякого х ( - ) е Л
	т	%i	т
	IIX( •) II, == У]	J \|х (t) \|dt <		со ( IXt — Т;_, I) <	т,
	i = l	T( _ ,	i = I

т. е. множество А ограничено по норме в L". С другой стороны, если функционал х* принадлежит слабому’

замыканию множества А в (/.")*, то для любого

I (хт, У ( - ) ) \ < sup (х (•), у (• )>,
	*<-)еЛ
т. е., в частности	(см. § 8.3),
II Хд \|	sup f \|х (t) \|dt ^ со (mes Д).

Отсюда в силу предложения 5 из § 8.3 следует, что х* — абсолютно непрерывный функционал, т. е. он принадле

жит Li. Таким образом, равномерная суммируемость множества А достаточна для того, чтобы оно было от

носительно слабо компактно в Li. Столь же просто

доказывается и необходимость.
С л е д с т в и е .	Пусть множество	A cz Li равномер
но суммируемо и	В — множество в	Сп, образованное
функциями	t
	t

х (t) = х0+ J и (т) dx,

где ы ( - ) е Л . Тогда множество В относительно компакт но в Сп и всякий модуль суммируемости множества А является модулем непрерывности множества В.

9.1.3.Компактность лебсговских множеств. Мы нач

нем с	доказательства	двух вспомогательных	лемм.
Л е м м а 1. Пусть		ср — измеримый интегрант на
[/о, M X	R"> удовлетворяющий условию роста.		Тогда	для

	§ 9 .1 .	ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ	373
всякого c g R функция
\|	Iе I +	\|l rk 0) \dt
а>с(0 = sup I	in f---------	---------------- A c [ i 0, fj,	m esA ^ H
( k>0		R

где rk( t ) = sup ф*(t, у), является модулем.

I У I < ь	По условию функции t-+
Д о к а з а т е л ь с т в о .	По условию функции t-+
~+У*(1>У) суммируемы для	всякого у е Rn. Поэтому и

все функции rh{t) суммируемы (доказательство этого факта дословно повторяет соответствующую часть дока зательства предложения 4 из § 8.3). Отсюда следует,

что (йс( 0 < ° ° Для всех / > 0 и сос(0) = 0. Неотрица тельность и монотонность функции (oc(t) очевидны.

Осталось проверить, что					сос( 0 —►О		при /-> 0 .		Зафикси
руем	некоторое		е >	0 и	выберем		ke так,	что	\|с\|/6е ^
^ е/2. Поскольку				rke(t) — суммируемая				функция,			мы
можем указать такое б >					0, что
			J \|rke (t) \|Л <
			д
при mesAsST6. Но				в этом случае
		11c 1+ JI4 {t) Idt					mes A <	6
со Д б Х з и р )---------^					------------
t. e.	(oc(0 ^	e при /^ б ,			что и требовалось.					[0,	оо),
Л е м м а		2.	Пусть		и	ф2— функции на
удовлетворяющие следующим						условиям:
а)	ф[ неотрицательна и выпукла на [0, оо) и ф, (0) = 0;
б) ф2 неотрицательна, непрерывна и не убывает;
в)	/""'ф ^ )-^ 00			при t —yoо;
г)	существуют у > 0				и Я0 > 0 такие, что ф [(у-10 —
— ф2( / + Я0) -> °°			при t —>oо.
Тогда для всякого с ^ 0 функция
<*с (0 =
_ { sup {я>0\| Ф, ( г 'я ) -					ф2 (Я + Яэ) < г ' с ] ,			если		t > 0 ,
1		0,						если		^ = о,

является модулем.

374	ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЯ
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Функция	неотрицательна

по определению. С другой стороны, так как ф, выпукла и \р1(0) = 0, при 0 < / < у

Ф1 (у“ 'я) < Y_1^ i (*_'я) < Ф1 (Г'Я).

Отсюда в силу б)

У h>i (у~‘я) — ф2(Я + Я0)]'< t [ф, (Г 'я ) — 1)32(Я + Яо)],

что согласно условию г) и определению соc(t) дает

со,( / ) < toc(y) < °о,

т. е. со,(/) конечна на [0, у]. Это же рассуждение по казывает, что со не убывает по t. Наконец, если пред положить, что limac(;m) = e > 0 для некоторой после довательности tm-+ 0, то

С >	(С ®(,Q ) - t j ?2 К ( * т ) + Яо) >
> ®, (U е_1^т“ с ( С е) -		К (*т) + Яо) =
=	со, (tm) [( ^ ’е )-' со, ( t f e ) -	tm	_> оо

при т —*•оо в силу условия в). Полученное противоре

чие показывает,	что to(/)-»0 при t ~ ►О. Лемма доказана.
Т е о р е м а	1.	Пусть	cp(t,x) — измеримый интегрант
на [/0, / j X R ",	удовлетворяющий условию			роста. Тогда
для всякого c e R		множество
Ас=		{*( •) g=L?\|У<р(х( •) ) < с }
либо пусто, либо относительно слабо компактно в L",
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Поскольку интегрант <р удов
летворяет условию роста,			функция ср*(/, 0) =	— inf<p(/, х)
суммируема. Положим				X

		ct = c +	/\|Ф(. 0)\| Л.
			<0

Обозначим, далее, через фд (Л х) ограничение интегранта ф на А X R" и покажем, что для всяких измеримого

		§ 9.1. ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ					375
множества	Д с [< 0, <i]		и	* ( « ) е Л с справедливо			нера
венство				J Ф (*,	х (0)dt <
	Я'фд (* (• ))=			J Ф (*,	х (0)dt <	<?,.
В самом деле,		’		А
В самом деле,		’
J qp{t,	х (t)) dt —		J*	Ф* (t,	0) dt >
Д					К о . < i	l \ A
						t,
					( * ( • ) ) - J \|ф*		0)\| dt,
						h

откуда требуемое неравенство следует непосредственно.

Пусть,	далее,
(О (t) =	sup ini	ы + / к м idT	Aci[^0, /,], mes Д
(О (t) =	sup ini	_______________ A _______________________	Aci[^0, /,], mes Д
	к>0	k

В силу леммы 1 a(f) есть модуль. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что u>(t) есть модуль суммируемости для Ас (если, конечно, это множество непусто). Пусть х( •) е Лс. Для всякой вектор-функции p ( ' ) ^ L l o по неравенству Юнга — Фенхеля

f ( р ( * ) 1 * ( 0 ) Л < ^ ф		д	(*(•))+ ^ ф-	( р ( - ) ) < с , ' + ^ ф. (р(.)).
J		д	д	д
Поэтому	для любого		k

k\\x{t)\dt =

=sup J J (p(t)\x(t))dt\p(-)<=Ll, | | p ( - ) I L < * } <

< s u p Jcj + J Ф*(#, p( 0) <f t |p( - ) eL" , | | p ( - ) L < * \ <

C i + \\rk {t)\dt

376		ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕН” "
или, другими		словами,
		‘ 1 + J V * 0 > \| dt
\|\|*(/)		inf ------~ 7--------- ^co(mesA)’
		*>o
Теорема	доказана.		f ( t , x , y ) — нормальный инте-
С л е д с т в и е . Пусть
ерант на	[/0, M X R ^ X R " -		Предположим, что для всех
t, х, у		f V, х, у) > ф {t, у),

где ср — измеримый интегрант на [/0, *i] X R", удовлетво ряющий условию роста. Тогда для всякого c eR и для всякого ограниченного S cz R" множество

Дв= {*(■)€= Г?. i([fo, ^(лс (•))<<>}

либо пусто, либо относительно компактно в Сп([/0, Л])-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ^ ( х ( - ) ) ^ с , то

• 9 Ч (*(-)Х Х - Требуемый результат следует из теоремы и следствия из предложения 2.

Для доказательства следующей теоремы нам пона добится одно неравенство, называемое интегральным неравенством Иенсена: если / — замкнутая собственная выпуклая функция на Rn, то для всякого измеримого множества А с : R конечной меры и для всякой векторфункцин л ( - ) е ! 1

\| f (х (/)) dt >	(mes А) / Г	^ д - Jdt* (0
Л	'	д

В самом деле, для всякого г/ e R "

	§ 9.1.	ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ		377
Поэтому
\| / (х (0) dt >	sup ( j y	j* x (t) dtj — (mes A) /* (*/)j =--
		= (mes A) f	mesl Д	J X(t) dt
Т е о р е м а	2. Пусть функции if)! и if)2, определенные
на [0, оо), удовлетворяют условиям леммы				2. Тогда
для всякого с > 0 множество
Ве== [ х ( - ) е Г ? . ( ( [ 0 ,		2у]) \|шах(\| х (0) И * (2 у )\| )< Я 0,
2V			с }
J [ifJi (I х (t) \|) — г\|)Д\| х(/) \|)]£?/<			с }
о

либо пусто, либо относительно компактно в С "([0, 2у]).

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть		х ( - ) < = В с.		Положим
У				2 у
а! = \| ! х (0 \|dt,		а_> =		11 х (0 \|dt.
о				у
Используя интегральное	неравенство Иенсеиа						и усло
вие б) леммы 2, получаем
J2у[tid-MOD—Ы1*(01)]^ =
о
V
о
2у
+ J [ЪЛ\ *Ц) \) -- Ы\ x ( t ) \ ) ] d t >
Y
> yifi (y - 'ai) — yip2(Я0+	a,) -f уф( ( V 'a j) — Y^2 (Яэ + a2>
В силу условия г) леммы 2
inf (уф\| (Y-Il) — Yti (Яо +				&)) = с, >	—	оо
5>о
(очевидно, кроме того, что		с, <	— уф2(Я0) < 0 ) .				Поэтому
Y^i (Y_ 'ai) — Y’te (Яо +	a ; X		с — с, = с2,		i =		1, 2,

378	ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ
и с2^ 0 . Отсюда		в силу леммы		2 следует,	что
	Ai =	шах (а,, а2)	соС1(у) < оо
т. е. для	всякого элемента			х ( - ) ^ В с	неравенство
\|x{t) \|sg; Aor+	Ai выполняется		при	всех ^ е [0 , 2у] и, зна
чит, множество Вс ограничено в С" ([0, 2у]).					Вместе с тем

последнее неравенство совместно с условием б) леммы 2 дает

J 'M l * [(О) d t ^ c + 2 y b ( h + ^)

	О
для	всех	Нетрудно видеть, далее, что благо
даря	условию в)	леммы 2 интегрант ф(/, у) =	( Ы )

удовлетворяет условию роста (действительно, A~‘iJ>i (А)—*

—>оо при А—*оо;	поэтому верхняя	грань выражения
(р \у) — Ч » ( М ) п0	У конечна и достигается при вся
ком р). Согласно теореме 1 множество
{х (• ) 1* (■ ) е= Вс) a		Li

равномерно суммируемо; поэтому (следствие из пред ложения 2) множество Вс равностепенно непрерывно, а поскольку оно и ограничено, теорема Арцела влечет тре буемый результат.

В заключение докажем одно условие компакт ности множества решений уравнения управляемого объекта.

Л е м м а 3 (лемма Гронуолла). Пусть a(t) — абсо лютно непрерывная функция, определенная на отрезке [/0, М и удовлетворяющая почти при всех t неравенству

| а (0 | < са (/) + г(0,

где с > 0, r ( ’ ) ^ L l. Тогда при всяком t справедливо неравенство

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

А (/) = а (/) е~с<*“ « , ц (0 = — а (t) е~с(*-'•>.

	§ 9 .1 . ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТЬ								379
Тогда почти при всех t
\|X (/) ес«-'•> +		сХ (0 ес«-'о> \|<				сХ (t) ес« - «		+	г (/),
\|— \|\(t) ес	— сц (t) ес(t~U) \|					c\i (t) есa-U) +			г (/),
или		X(t) ее « - ^ < г ( 0 ,
		X(t) ее « - ^ < г ( 0 ,
		\|i(/)ec<'-'«>< г (0.
Поскольку X (t0) — a(t0) =				— и (to). отсюда				следует, что
	Я(/)<а(<о)			+t г (Jт) е~с			dx,
р(/)^				*0
р(/)^		— а(t0) +			# Jг (т) е~с		dx.
					tО
Поэтому, с одной стороны,
а(0= X(0			^1а(tQ) \|+ J Iг (т) \|e-«K-Wdtj
а с другой —						\е~с{х~*>>dx^а(/0) \|+e°aJ-U),\|г(т)
— а(/)= р						\е~с{х~*>>dx^а(/0) \|+e°aJ-U),\|г(т)
Лемма доказана.			3.	Рассмотрим			уравнение управ
П р е д л о ж е н и е			3.	Рассмотрим			уравнение управ
ляемого объекта
		х =	Ф(/,	х,	и),	u ^ U .			( 1)

Предположим, что вектор-функция <р удовлетворяет

условиям			Каратеодори и		для	всех		t е [/о, Л],		* е	Rn,
и е	U справедливо неравенство
				\| (дс Iф (/, дг, « ) ) \| < с \| х р			+	г ( 0 ,
где	с >	0,	a	r ( - ) e i \| ( [ /0, Ч ).		Тогда,		каков	бы	ни	был
вектор		Хо е		R", множество	Q (х0)		решений		уравнения
(1)	с начальными условиями					х (/0) =		х0, определенных
на [to, / 1] и соответствующих всевозможным									измеримым


380	ГЛ. 9. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШ ЕНИЙ
управлениям «(•), принимающим значения в U, относи
тельно компактно в пространстве Cn([tQ, / 1]).							лишь
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Достаточно		проверить
ограниченность		множества		Q (лг0) ,	так	как,	если
II*(•) II ^	k для всех * (•) е		Q (0) , то для всякого (•) <=
e Q W	почти	при каждом		i справедливо		неравенство

|х(0 |^ ck2-f- r(t), откуда следует равностепенная не

прерывность множества Q(x0).				Для доказательства
ограниченности		множества	Q(x0)	достаточно заме
тить,	что если	jt(')e Q (jto )	соответствует		управлению
и (■),	то
	2 (* (0 \|<р (t, х (t), и ('/))) = -£f\ x{t)				р,

и применить лемму Гронуолла для функции a (t) =

=И 0 1 2-

9.1.4.Условия полунепрерывности.

Т е о р е м а	3.	Пусть	f — нормальный		интегрант	на
[/о, ^i] X Rn X	Rn	Предположим, что		х ( ■) е Wf, 1		и
St( * ( • ) ) > — 00.		Тогда,	если интегрант	f	квазирегуля-

рен и существует измеримый и удовлетворяющий усло

вию роста интегрант <р

на [^0, ^1] X

R" такой,

что

f(t, х,

у)

> ф (t,

у)

для

всех

х,

удовлетворяющих

неравенству

\х — x(t) |<

е, и всех у е

R", то функционал St

полуне

прерывен

снизу

точке

*(■)

относительно

топологии

равномерной сходимости на

Wl,

результат.

Докажем

сначала один

вспомогательный

Л е м м а

Пусть g(x,

у) — замкнутая

функция на

R '" X R"-

Предположим,

что

при

заданном

*0 e R ' n

функция

: у —>- g(xQ, У) — собственная

существует

такая

функция

i!p(y)

на

R",

что

dom V = Rn 11

g (х, у) ^

ф {у)

для

всех

из

некоторой

окрестности

точки х0 и всех

г /е R".

Пусть,

наконец,

Тогда

h (у) =

inf {g (*, у)

|JceRm,

\ х — х 0 \ < е ) .

lirr1 /Г &) = £ (* ) .

е^О

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функции

не

возрастают

по е и при

достаточно

малых

е >

0 вцполнено нера

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4938 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ