книги из ГПНТБ / Совершенствование теплового процесса листовой прокатки

П Р И Л О Ж Е Н И Е I

ИСХОДНЫЕ Д А Н Н Ы Е ДЛ Я РАСЧЕТА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО Э К В И В А Л Е Н Т А СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛА ДЕФОРМАЦИИ [13]

285

П Р И Л О Ж Е Н И Е II

МЕТОД ЭЛЕКТРОТЕПЛОВОЙ АНАЛОГИИ

В гл. I I и V I I были представлены результаты исследования температурных полей валков, полученные методом электротепловой аналогии.

Применение этого метода облегчает решение тех задач, аналитическое выраже­ ние которых получить затруднительно, а численное решение конечно-разностными методами весьма трудоемко даже с применением ЭВМ. Однако и для задач, где воз­ можно получить аналитическое решение, использование электротепловой аналогии позволяет быстро найти результат с достаточной для инженерной практики точ­ ностью.

Теоретические основы метода электротепловой аналогии достаточно полно разработаны и широко освещены в специальной литературе (59; 72—80].

Ниже приводятся весьма краткие основы этого метода в плане задач, решен­

Посредством дифференциального уравнения в частных производных параболи­ ческого типа описываются процессы, наблюдаемые в полях, различных по своей физической природе, — тепловых, электрических, гидродинамических, электро­ магнитных и т. д.

Указанное положение позволяет поставить вопрос об использовании закономер­ ностей, свойственных тепловым полям, применительно, например, к электропровод­ ной т. е. осуществить моделирование тепловых процессов в электрическом поле. Такой прием получил наименование электротепловой аналогии.

Моделирование стационарных тепловых процессов

Моделирование стационарных тепловых процессов использовано при исследо­ ваниях температурных полей в осевом сечении валка. Это поле двумерное, и при решении задач использован метод сплошных сред (моделирование на электропроводной бумаге) и метод Я-сеток при граничных условиях первого рода (задана температура на поверхности) и третьего рода (задан коэффициент теплообмена а ) .

Дл я стационарного двумерного температурного поля дифференциальное урав­ нение имеет вид:

Применительно к стационарному процессу в электрическом поле в двумерном пространстве это уравнение будет иметь вид:

где t — температура; и — потенциал.

Из сопоставления этих процессов видна математическая аналогия дифферен­ циальных уравнений, одинаковая структура их членов при различной размерности.

Переход к безразмерной форме уравнений Лапласа (249) и (250) и краевых усло­ вий производится посредством метода собственных масштабов.

С этой целью геометрические размеры изучаемого тела А выражают в виде отно­ шения линейных размеров тела к условно принятому за единицу измерения раз­ меру R, а для моделирующего тела В аналогичное отношение сходственных разме­ ров выражают через размер Ri. Таким образом, получаем следующие безразмерные линейные величины для тел А и В:

286

Д л я безразмерных температур и потенциалов получаем следующие отношения:

Рис. I . Принципиальная схема интегратора ЭГДА9/60 с моделью валка из электро­ проводной бумаги или Л-сетки:

Итак, математическое описание явления теплопроводности в безразмерном виде при граничных условиях первого рода для тела А может быть представлено следую­ щим уравнением:

Граничные условия этого уравнения можно пояснить на примере рис. I . На по­ верхности Ft 6 = 100%, на поверхности F2 6 = 0%.

287

Аналогично для явления электропроводности в модели В имеем:

z

Г "

acp-i "ср-1

Рис. П. Двумерная электрическая сетка

Отсюда, как следствие, появляется возможность выразить интересующую нас функциональную зависимость в форме (6 = и = / (р, г), что утверждает формально одинаковое решение процессов различного физического содержания.

Для проведения исследований двумерного стационарного осевого температур­ ного поля валка был использован интегратор ЭГДА9/60 (электрогидродинамических аналогий) и интегратор из сетки сопротивлений.

Интегратор ЭГДА 9/60 (см. рис. I) использовали в том случае, если модель валка была выполнена из электропроводной бумаги, а сетчатый — для модели, представ­ ленной в виде дискретной сетки сопротивления.

Принципиально оба интегратора ничем не различаются.

Модель валка, выполненная из электропроводной бумаги или сетки сопротивле­

стана с внутренним охлаждением. Для наглядности модели, выполненные из элек­ тропроводной бумаги и сетки сопротивлений, совмещены.

Моделирование стационарного температурного поля в осевом сечении валка на электропроводной бумаге заключается в следующем. Модель валка в требуемом масштабе вырезают из электропроводной бумаги с припуском по 3—5 мм на стороны

288

Выражение (255) есть не что иное, как закон Кирхгоффа для узла эквивалент­ ной электрической цепи, показанной на рис. I I , где 9i соответствует и\ и т. д.

Чтобы относительные потенциалы эквивалентной электрической цепи соот­ ветствовали относительным температурам в сходственных точках, необходимо выпол­ нение следующих равенств:

290

Этот метод заключается в использовании аналогии уравнения теплопровод­ ности, записанного в конечных разностях для произвольной узловой точки тела (рис. I I I ) и закона Кирхгоффа для эквивалентной электрической цепи, при условии соблюдения подобия этих систем.

В частности, уравнение нестационарной теплопроводности в безразмерном виде для полуограниченного тела имеет вид:

где X— безразмерная координата.

Рис. I I I . Электрическая модель для исследования неста­ ционарного температурного поля полуограниченного стержня

Для t-той узловой точки в и-ный период времени это уравнение в конечных разностях будет иметь вид:

ДХ2

Это значит, что параметры /?-сетки можно рассчитывать из соотношений:

Сопротивления и емкости для электрической сетки можно найти по формулам:

нометрического ряда по полярному углу tf> с коэффициентами, являющимися функ­ циями полярного радиуса р и времени Fo.

Применение указанного приема целесообразно, так как благодаря ему нахожде­ ние коэффициентов разложения сводится к решению хорошо изученных уравнений теплопроводности в однородном цилиндре и уравнений Бесселя. Это позволяет воспользоваться уже известными решениями указанных уравнений, используя

293