книги из ГПНТБ / Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность

число Рейнольдса Re.^. растет быстрее, чем действительная величина числа Рейнольдса потока, т. е. имеют место условия:

На рис. 4.3 показано изменение положения критической точки, полученной из решения уравнения (1.6.8), с увеличе­ нием степени заполненности профиля скоростей. Как видно, с увеличением числа Рейнольдса в закритнческон области критическая точка для коротковолновых возмущений быстро приближается к стенке канала на расстояние порядка толщи­ ны вязкого подслоя турбулентного потока. Это обстоятельство можно рассматривать как одно из свидетельств существенной роли молекулярного трения в формировании устойчивости закритических профилей скоростей. Оказывается, что сущест­ вует множество таких профилей, устойчивых в смысле обыч­ ного анализа уравнения малых возмущений.

4.4. Критерий выбора

физически реализуемого профиля скоростей

Проблему квазиламннарной устойчивости осредненного турбулентного течения впервые поставил В. Малкус [312], предположив, что реальный турбулентный профиль скоростей

В. А. Сапожникова и В. Н. Штерна [54, 55]. Тем не менее ги­ потеза о возможности пренебрежения влиянием малых воз­ мущений осредненной скорости течения на рейнольдсовы напряжения, как показано выше, оказалась разумной.

С точки зрения теории консервативности осредненного турбулентного течения естественно предположение о том, что в природе из множества виртуальных течений с устойчивыми закритическими распределениями скоростей реализуется тече­ ние наиболее консервативное, т. е. наиболее устойчивое по отношению к внешним возмущениям. Такой выбор, назван­ ный принципом максимальной устойчивости, был предложен М. А. Гольдштиком [48, 181]. Для практического применения этого принципа необходимо ввести некоторый функционал,

60

являющийся представительной мерой устойчивости в рас­ сматриваемом здесь смысле, и выделить нужный класс профилей скоростей с варьируемыми коэффициентами.

Для квазиламинарного приближения в качестве критерия предложены функционалы [181, 48, 51]:

о

Проблема сводится к отысканию функции и ( | ) , дважды дифференцируемой, удовлетворяющей условиям прилипания на стенке и постоянства расхода по каналу:

а также необходимому экстремальному значению критерия выбора.

Для критерия П условие выбора имеет вид [181, 48]

шю ce

Критерий / имеет смысл действия возмущающего движе­ ния. Действительно, кинетическая энергия движения, вызванного скачкообразным положением возмущения скорости тече­ ния и', равна

61

2

Основной вклад в интеграл / дают коротковолновые и длинноволновые возмущения. При этом оказывается, что минимуму действия возмущения в смысле (4.4.2) соответствует максимально устойчивый профиль скоростей в смысле (4.4.1). Однако зависимость функционала П от параметров потока не всегда гладкая, что вызывает определенные трудности при вычислениях.

На рис. 4.4. показана зависимость [(у.) для модельного закона вязкости по формуле (4.3.2). Минимуму функционала (4.4.2) соответствует значение % = 0,395, хорошо совпадающее с экспериментальными определениями константы Прандтля — Кармана.

4.5. Энергетический критерий масштаба вязкого подслоя

Исследования устойчивости ламинарных течений показа­ ли, что низшую оценку по числу Рейнольдса дает не метод ма­ лых возмущений, а энергетический метод [308, 360, 362]. Такой подход оказался справедливым и при выборе критерия устойчивости турбулентного течения по отношению к малым возмущениям. Область вязкого подслоя может в определен­ ном смысле рассматриваться как ламинарное течение, под­ вергающееся весьма интенсивным внешним возмущениям, поступающим в виде турбулентных пульсаций из ядра по­ граничного слоя. В качестве соответствующей оценки рас­ смотрим, следуя Карману и Лоренцу [282, 308], значения энергетического критерия устойчивости в плоском ламинар­ ном потоке с наложенным на него произвольным распределе­ нием скоростей возмущающего движения {и', ѵ').

62

Энергия, переходящая из основного поля в поле возму­

Проблема в постановке Орра [325] и Кармана [282] сводится к отысканию распределения скоростей (и', ѵ'), при которых энергетический критерий устойчивости Лоренца — Кармана

иіУі (4.5.3)

u'v'dxdy

минимален. Здесь принято линейное распределение скоростей и{у), которое практически и имеет место в вязком подслое при течении в канале и вдоль пластины. Минимальное зна­ чение числа

очевидно, соответствует в данной постановке наиболее опасно­ му возмущению.

и внутри области

Эта вариационная задача сводится к исследованию урав­ нения

63

меньше реальных критических чисел Рейнольдса перехода

слоя оно приобретает вполне отчетливый физический смысл. Действительно, соответствующее этой величине значение безразмерной толщины вязкого подслоя т]і=У44 — 6,63, т. е. практически совпадает с характерным масштабом квазиламннарного течения, определенным экспериментально по двух­ слойной схеме (3.4.5). Таким образом, обе константы (х и т)і) этой схемы определяются теоретически из условий квазила­ минарной устойчивости осредненного турбулентного течения.

4.6. Локальная устойчивость профиля скорости

Из изложенного выше видно, что турбулентный погранич­ ный слой обладает рядом свойств, характерных для опреде­ ленных зон течения.

Отчетливо выделяются четыре зоны пристенного погранич­

молекулярная и турбулентная вязкости соизмеримы и длина пути смешения в первом приближении пропорциональна рас­ стоянию от внешней границы вязкого подслоя;

ввести понятие локальной устойчивости, которое физически интерпретируется как характеристика определенных зон тур­ булентного пограничного слоя. Существование глобальной и локальной устойчивости профиля скоростей в смысле уравне­

64

но влияет на поведение малых возмущений только в области волновых чисел

<*•*•>

Следовательно, ультракоротковолновые возмущения

и ультрадлинноволновые возмущения

ведут себя в потоке так же , как в неподвижной среде.

Для значений с ф > 1 , ] / a R e ^ > l амплитуда коротковолново­ го возмущения заметно отлична от нуля только в окрестности критической точки, т. е. в точке совпадения фазовой скорости возмущения с локальной скоростью осредненного течения. При этом характер однородных граничных условий, достаточ­ но удаленных от критической точки, не влияет на собственное значение и последнее зависит только от характера профиля осредненного течения в непосредственной окрестности крити­ ческой точки. Таким образом, локальная устойчивость течения

осредненных скоростей течения не гарантирует глобальной устойчивости всего течения в целом.

Как уже выяснено, для коротковолновых возмущений существуют критические точки, локализующиеся при запол­

где А и п — константы, характеризующие интенсивность зату­ хания турбулентных пульсаций в вязком подслое.

Из (4.6.4) следует степенной закон турбулентной вязкости

внепосредственной окрестности твердой непроницаемой

стенки

где ß —

возмущений. Максимальное значение этой зависимости соот­ ветствует возмущениям, отвечающим за локальную устойчи­

вые. 4.5. Декремент затухания (1) и положение критической точки (2) для наиболее опасной мо­ ды пристенных возмущений в зависимости от вол­ нового числа.

вость пристенной зоны пограничного слоя. Соответствующая критическая точка расположена в зоне rj<;10, т. е. практиче­ ски в вязком подслое. Оценка условий максимальной устойчи­ вости произведена по критерию (4.4.1) для значений п—\, чему соответствует в области |->-0 за­ висимость (.іт ~г/3 , и п=2, чему соответствует для тех же усло­

вий зависимость |л,т ~г/4 .

1 = 2

-/.7- Результаты расчетов представ­ лены на рис. 4.6. Минимум функ­ ции n ( ß ) выражен весьма слабо для п=2 и более отчетливо для п=1. Значение П Ш | П в обоих слу­ чаях соответствует ß « 1,56-Ю- 3 . Однако величина критерия П в этой точке меньше,-upи п=1, т. е. исходя из принципа максималь­ ной устойчивости в данной ситуа­

ции, следует полагать:

-1,9

-In ,

66

На рис. 4.7 сопоставляются рассчитанные распределения скоростей и эксперименталь­ ные данные для пристенной зо­ ны турбулентного погранично­ го слоя. Как видно, данные о гидродинамике не дают доста­ точных оснований для установ-

Рис. 4.7. Сопоставление профиля скорости, полученного на основе принципа максимальной устойчиво­ сти (/), с экспериментальными данными (2) [172] (кривая 3 — линейный закон изменения ско­

рости) .

лення закона затухания турбулентности в вязком подслое. Этот вопрос решается при изучении тепломассообмена в сре­ дах с очень большими числами Прандтля (см. гл. 7).

ГЛАВА ПЯТАЯ

ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С ИСЧЕЗАЮЩЕЙ ВЯЗКОСТЬЮ

5.1. Жидкость с исчезающей вязкостью

Исследование образования отрывных течений в ламинар­

в пределе (при ц.->-0) не обязательно приводит к движению тела в идеальной жидкости (р,=0) . Это обстоятельство явля­ ется следствием различия как исходных уравнений, так и гра­ ничных условий.

Первая постановка проблемы в таком виде принадлежит, по-видимому, Озеену [326]. Однако идеи этой работы не мог­ ли быть использованы при исследовании турбулентного тече­ ния. Тем ие менее применение модели жидкости с исчезаю­ щей вязкостью (р,—>-0) для анализа турбулентного течения' при соответствующей постановке оказывается весьма эффек­ тивным.

Действительно, в турбулентном потоке, обтекающем твер­ дое тело, всегда имеется область, в которой осреднеиное мак­ роскопическое движение ие зависит от молекулярного тре-

ния, а вязкий подслой быстро утоньшается с уменьшением молекулярной вязкости, т. е. с ростом числа Рейнольдса. Последняя же величина в потоке с исчезающей вязкостью сколь угодно велика, и течение около твердого тела при любых конечных его размерах и скоростях движения всегда будет турбулентным:

Жидкостью с исчезающей вязкостью будем называть модель сплошной среды с вязкостью сколь угодно малой, но никогда строго не обращающейся в нуль. Таким образом, краевые условия (в том числе и условия прилипания к стен­ ке), характерные для жидкости с ньютоновской вязкостью, сохраняются в данной модели полностью.

5.2. Вырождение вязкого подслоя

Для вязкого подслоя турбулентного потока несжимаемой жидкости, обтекающей гладкую непроницаемую пластину, согласно данным главы 3, имеем

абсолютного преобладания молекулярного трения и 30—50-— в области с практически заметным проявлением влияния молекулярной вязкости на осредненное течение в турбулент­

68

Здесь и в дальнейшем для простоты используем один и

где индекс означает условную границу вязкого подслоя.

69