книги из ГПНТБ / Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность

ш

Рис. 3.1. Зависимость продольной пульсации скорости от осредненной в турбулентном пограничном слое:

/ — по ГШ]; 2 — по [369J.

из внешней части пограничного слоя и затухающие под влия­ нием молекулярной вязкости по мере приближения к стенке. Приведенные на рис. 3.1 экспериментальные данные показы­ вают, что в окрестности стенки существует корреляция вида

Отсюда при grad р = 0

т. е. турбулентное трение весьма интенсивно гасится в непо­ средственной окрестности твердого тела.

Толщину вязкого подслоя можно оценить из условия со­ измеримости молекулярного и турбулентного трений на его внешней границе:

где ті — касательные напряжения в точке уи а величина п < 1 . Отсюда можно образовать меру турбулентности на условной границе вязкого подслоя и турбулентного ядра пограничного слоя

(3.2.9)

При grad р=0 и непроницаемой стенке существует только один масштаб касательных напряжений, а именно: трение

40

Величина

называется динамической скоростью, она определяет порядок рейнольдсовых напряжений в области У\<.у<.Ь- Из (3.2.5) сразу следует, что условию (3.2.10) эквивалентно условие

т. е. собственное число Рейнольдса вязкого подслоя при без­ градиентном течении несжимаемой жидкости вдоль непрони­ цаемой поверхности автомодельно относительно числа Рей­ нольдса потока в целом. В этой связи величину т\ѵ можно* рассматривать как некоторое минимальное критическое числоРейнольдса, при котором любые возмущения порядка и*, проникающие в квазиламинарное течение вязкого подслоя из турбулентного ядра пограничного слоя, не могут развиваться и затухают при движении к стенке. Такого рода устойчивость характеристик турбулентного течения будем называть консер­ вативностью.

Гипотеза о существовании собственного числа Рейнольдса квазиламинарной области пристенного течения была высказа­ на автором в 1935 г. применительно к турбулентной свобод­ ной конвекции [88]. Трактовка в этом смысле опытов Никурадзе была дана К. К. Федяевским в 1937 г.

41

Крупномасштабные пульсации, ответственные за рейнольд- •совы напряжения, характеризуются некоторой средней глуби­

Отсюда следует, что должны существовать связи между локальными характеристиками рассматриваемой области турбулентного пограничного слоя, не зависящие от его полной толщины. Это локальное решение уравнения (3.3.2) в общем виде можно записать как

анализа размерностей могут быть скомпонованы только в два безразмерных комплекса.

второй следует образовать из величин и, и*, у, что возможно только в отношении частных производных продольного ком­ понента скорости течения и по координате у. Поскольку уравнение (3.3.2) первого порядка, имеем

полученная им из частных модельных представлений. Величина % называется константой Прандтля—Кармана.

Область действий формулы (3.3.8) можно приблизить к стенке, если расстояние отсчитывать от условной толщины вязкого подслоя, как то впервые предложил Худим ото. Таким

42

образом, формула Прандтля — Худимото имеет вид

Формально квадратичный закон трения (3.3.8) можно обоб­ щить на весь пограничный слой, введя некоторый переменный линейный масштаб турбулентности I. При этом для сохране­ ния знака действия силы следует писать:

\дуди § • (3-з.ю)

Эту зависимость будем называть формулой Тейлора— Прандтля.

Для величины / Праидтль предложил термин «длина пути смешения», подразумевая, что на этом расстоянии комок жидкости («моль»), перемещающийся по нормали к стенке вследствие турбулентной пульсации, теряет свою индиви­

(3.3.1), существует область, в которой молекулярное и турбу­

дит основная генерация турбулентной энергии в результате взаимодействия потока вязкой жидкости с поверхностью твердого тела. Действительно, на внешней границе погранич­ ного слоя трение весьма мало и соответственно мала турбу­ лентная энергия. В вязком подслое молекулярное трение гасит проникающие в него пульсации. Во внешней же области вязкого подслоя турбулентная энергия достигает

максимального значения порядка vlT.

В этой же области имеют место наибольшие турбулентные пульсации.

3.4.Логарифмическое распределение скоростей

изакон сопротивления

43

где

Если распространить логарифмическое распределение скоро­ стей на весь пограничный слой или канал, то получим логарифмический закон трения.

Константа интегрирования С определяется масштабом вязкого подслоя. В простейшей двухслойной модели турбу­ лентного пограничного слоя имеем

в точке у\ разрывается вторая производная скорости и имеет­

44

«JP^ II

о ;

« г

сЗ

о 4 © 5

ѳ ff © 7

о S л 9

•>

JPUC. 3.2. Универсальный логарифмический закон распределения скорости:

ния скоростей в окрестности стенки при турбулентном тече­ нии в прямых каналах. Отчетливо наблюдаются линейная,

(3.4.11)

Здесь

(3.4.12)

45

В этом же приближении формулу Прандтля—Ннкурадзе можно переписать в виде следующего выражения для дефек­ та скорости:

Данному профилю скоростей при г/і<Со соответствуют значе­ ния характерных толщин пограничного слоя

Соответственно

лX — y 2сf

При больших числах Рейнольдса у.3>]/2с/ и логарифмический закон сопротивления плоского канала принимает вид (при С = 5 , 5 и и = 0,4)

В области умеренных чисел Рейнольдса более точные резуль­ таты дает формула Кармана

3.5. Распределение скорости течения во внешней части пограничного слоя на пластине

В теории пограничного слоя конечной толщины его внеш­ няя граница (t/=ô) непроницаема для турбулентных пульса­ ций; ô является мерой наибольших крупномасштабных пуль­ саций, ответственных за виртуальное трение во внешней части турбулентного пограничного слоя, т. е. можно полагать, что

где в общем случае %0фк.

Кроме того, на внешней границе предполагаем плавное изменение функции /(£) в виде

и асимметрию в областях у<С& и г/>б в виде

46

Здесь / : •безразмерная длина пути смешения. Пред­

ставляя / в виде ряда по степеням | и ограничиваясь не более чем четырьмя членами, можно установить однозначнуюсвязь между константами % и у.о- Для этого достаточно вос­

ский закон дефекта скорости (3.4.13) в пристенной области

в первом приближении ограничиться аппроксимацией куби­

Приведенные на рис. 3.3 экспериментальные данные пока­ зывают приемлемость такой аппроксимации. Ограничиваясь, простоты ради, кубической параболой и для аппроксимации

==0,06.

Рис. 3.3. Сопоставление формулы (3.5.5) с опытными данными Миклея [314] по распределению касатель­ ных напряжений в турбулентном пограничном слое.

47

рис. ЗА. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое на плоской пластине [344].

На рис. 3.4 сопоставляется рассчитанное распределение скоростей в ядре турбулентного пограничного слоя несжимае­ мой жидкости на непроницаемой пластине с эксперименталь­ ными данными Шульц-Грунова [344].

Как видно, отклонение распределения скоростей от логарифмического закона имеет место на значительной части пограничного слоя. Однако на логарифмическом законе тре­ ния это практически не сказывается из-за большой заполнен­ ности турбулентного профиля скоростей.

.3.6. Распределение скорости течения в окрестности оси канала

Подставляя значение длины пути смешения из (3.5.1) в формулу (3.3.10) и принимая линейное распределение ка­

Однако величина ко в данном случае не совпадает с опреде­ ленной для пограничного слоя при внешнем обтекании. Связа­ но это с тем, что течение в длинном канале симметрично и может рассматриваться как движение двух слившихся, зер­ кально отображающих друг друга пограничных слоев. Поэто­ му на оси канала

А8

0,08,

о /

• 2

с 3

ѳ 4

е 5

Рис. 3.5. Распределение длины пути смешения по се­ чению пограничного слоя:

кривая — расчет по формуле (3.6.3); опыты Ннкурадзе; 1 — Re=105 - I03 ; 2 — Re=396 • 103; 3 — Re=1110 • Ш3; 4 — Re= = 1959 • Ш3 ; 5 — Re=3240 • Ш3 .

a максимальный масштаб пульсаций порядка 26. Для рас­ сматриваемого случая

константа в (3.6.1) равна 5,08, чему соответствует значение

Для многих расчетов, особенно с использованием интегрально­ го соотношения импульсов (2.6.18), такая аппроксимация профиля скоростей в заданном интервале чисел Re** весьма удобна.