книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах
..pdf60 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи |
[ГЛ. V |
т. е. наибольшая высота пика «0,3. В принципе наличие таких пиков и провалов может быть использовано для систем стабили зации частоты.
Если выполняется неравенство, обратное неравенству (5.17), то режим с неравными интенсивностями волн существует лишь вне области неустойчивости двухволнового режима. Верхняя граница области существования режима с различными интенсив ностями волн определяется условием колебательной устойчиво сти (5.14) и соответственно (5.16). Нижняя граница области расстроек получается из условия существования рассматривае мого решения, т.е. из условия Щ^О. Это условие выполняется,
если
<5 Л 8 >
Объединяя неравенства (5.16) и (5.18), получаем для лазера на чистом изотопе ту область расстроек, где, помимо режима стоя чей волны, возможен еще режим с неравными интенсивностям» встречных волн
4/п2^ - ^ —< [6 т 2 |
при т2^ —(——V —— Bill. |
(5.19) |
Y1ь |
4 \ k u ) 8 1 |
' |
При уменьшении расстройки до нижней границы неравен ства (5.19) режим с неравными интенсивностями волн перехо дит в режим стоячей волны (5.6).
Обсудим полученные результаты. В кольцевом газо вом лазере при равных коэффициентах связи и добротностях
могут существовать и быть устойчивыми |
следующие режимы |
с постоянными интенсивностями волн. В |
области расстроек |
°^а Режима стоячей волны неустойчивы.
Устойчивым может быть лишь режим с неравными интенсив ностями встречных волн при условии, если модуль коэффициен тов связи достаточно мал (см. (5.17)).
При переходе в область расстроек
становятся устойчивыми сразу два режима стоячей волны (5.5) и (5.6). Режим с различными интенсивностями встречных волн
вэтой области не существует.
Вобласти больших расстроек при
4 т 2 VуаЬ / =^6т 2 |
(5.21) |
5 2] ВЛИЯНИЕ РАЗНОСТИ ДОБРОТНОСТЕЙ 61
один из режимов стоячей волны оказывается неустойчивым.
Устойчивыми являются другой режим стоячей |
волны |
и режим |
с неравными интенсивностями встречных волн. |
(5.21) |
устойчивы |
Поскольку в областях расстроек (5.20) и |
одновременно два разных режима, здесь могут наблюдаться своеобразные гистерезисные явления: в зависимости от выбора начальных условий можно реализовать различные режимы ге нерации. При достаточно больших расстройках р.2^ 6 т 2у2ь та
кая двойственность исчезает, устойчивым является лишь один режим стоячей волны.
Посмотрим теперь, какие режимы генерации возможны в кольцевом лазере на 50%-ной смеси изотопов активного газа. В этом случае коэффициенты а, р, b определяются выраже
ниями (3.54). Из |
(5.9) следует, что вблизи |
центра линии, ко |
гда | b | ^ т(а + |
р) « т/2, устойчивы два |
режима стоячей |
волны с отличающимися на л значениями разности фаз. В обла сти расстроек, определяемых неравенством (см. (5.9) и (5.14))
4 < Ш < у / б т 2- 1 ,
устойчивы один из режимов стоячей волны и режим двух бегу щих волн с разными интенсивностями. Разности фаз для этих режимов также отличаются друг от друга на я.
Заметим, что последнее неравенство может выполняться лишь при достаточно малых превышениях накачки над порогом, когда
/n/ЛсОр. При Лшр=10~2c/L, т=10~*с1Ь |
V"5 • 10-2. |
При больших значениях превышения в области |Ь| ^ |
/л/2 устой |
чив лишь один из режимов стоячей волны. Для лазера на чи стом изотопе область расстроек, в которых устойчив режим встречных волн с различными амплитудами, существует при лю бых значениях превышения накачки над порогом.
§ 2. Влияние разности добротностей
До сих пор мы исследовали стационарные решения, предпо лагая, что коэффициенты связи являются комплексно сопряжен ными и разность добротностей отсутствует. Чтобы проследить за изменениями, которые происходят при нарушении этих усло вий, рассмотрим вначале влияние разности добротностей б при комплексно сопряженных коэффициентах связи т.
В этом случае система уравнений (4.4), (4.5) имеет решение, соответствующее режиму стоячей волны
*о = 0» Уо— а + р >
sin (Ф0 + ft) = 4 . cos (Ф0 + ■&) = ± V 1 — (b/mf. (5.22)
6 2 КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ связи [ГЛ. V
Исследуя это решение на устойчивость, получим, что условие колебательной неустойчивости не зависит ни от разности доброт
ностей, |
ни от величины связи и имеет тот же вид, что и (4.21): |
|||
а — р ^ |
0. |
Условие |
апериодической устойчивости |
решений |
(5.22) получается следующим: |
|
|||
|
|
|
Т ? > ° - |
<5-23> |
Сравнивая |
это условие с аналогичным условием |
(5.9) при |
||
6 = 0, |
можно видеть, |
что оно, по существу, имеет |
прежний |
|
вид и весь предыдущий анализ остается справедливым. Необхо димо лишь заменить значение т на эффективное значение
т V 1 — (б/т)2. Следует отметить, что режим стоячей волны су
ществует лишь |
при |
достаточно |
малой разности добротностей, |
когда | б | ^ in, |
т. е. |
| г): — г)21^ |
2т/Дсор. |
Из полученных результатов можно сделать следующий вывод.'В отсутствие связи в силу различия добротностей ампли туды встречных волн при приближении к границе области не устойчивости двухволнового режима начинают сильно отли чаться друг от друга. Напротив, в режиме синхронизации при
т ^ \ б \ |
амплитуды встречных волн выравниваются и ведут |
себя так, |
как будто разность добротностей б отсутствует. > |
§ 3. Учет различия коэффициентов связи
Пусть теперь коэффициенты связи несколько отличаются друг от друга и существует малая разность добротностей. Обо значим
— ОТ|- 2 |
т ■ |
от1+ ота |
А т ! |
|
т1, 2 - |
codri |
|
||
|
■fri + д2 |
|
|
|
|
•&= |
Aft = (O', — Ф2)/2 |
||
ОТ] — т2
(5.24)
и предположим, что Ат С й , Ай1<С 1.
Мы проанализируем, как изменяется решение, описывающее стоячие волны, при малых значениях Ат, А'б’ и б. Амплитуды встречных волн при этом начинают различаться, но решение
оказывается близким к стоячей волне. Его можно |
представить |
в виде |
(5.25) |
х = х0 + хи у = у0+ Уи О ^ Ф о + Фи |
где х0, у0, Ф0 — решение в нулевом приближении, определенное формулами (5.5), (5.6), а Х\, у\, Ф1— малые отклонения. Вы ражения для функций Хи Уь Ф1 здесь не выписываем из-за их громоздкости. Они имеются в работе [14].
РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ |
63 |
Исследование решения (5.25) на устойчивость показывает, что условие апериодической устойчивости в первом приближе нии не зависит от разности коэффициентов связи и имеет вид (5.23). Следует лишь заметить, что решение в виде (5.25) в об ласти расстроек, для которых
становится несправедливым, так как величина х\ перестает быть малдй.
Условие колебательной устойчивости решений (5.25) имеет вид
> 0 . (5.26)
Из этого условия видно, что граница области устойчивости двухволнового режима в общем случае зависит от соотношения между коэффициентами связи и разности добротностей. Она может быть как выше, так и ниже того значения, которое соот ветствует отсутствию связей. В некоторых частных случаях, на пример когда коэффициенты связи являются комплексно сопря женными, граница области устойчивости двухволнового режима не зависит от величины связи и совпадает с соответствующим значением при отсутствии связей. В случае комплексно сопря женных связей разность добротностей не влияет на границу ко лебательной неустойчивости.
Из (5.26) следует, что границы областей колебательной не устойчивости для двух режимов стоячей волны в общем случае не совпадают (им соответствуют в (5.26) разные знаки). ,
§4. Режимы автомодуляции интенсивностей
иразности фаз встречных волн
Кроме исследованных в § 1—3 режимов генерации с постоян ными значениями амплитуд и разности фаз встречных волн, могут существовать стационарные решения уравнений (5.1), (5.2) с периодически изменяющимися во времени амплитудами и фазами. Такие режимы отличаются от режимов биений тем, что, несмотря на колебания разности фаз, среднее значение раз ности частот встречных волн оказывается равным нулю. Авто колебания интенсивностей и разности фаз могут возбуждаться в области достаточно сильной конкуренции (а — р <С а + р).
Для исследования таких режимов систему трех уравнений (5.1), (5.2) для функций E\t 2, Ф удобно заменить более простой для анализа системой для четырех функций х, у (они опреде ляются формулами (5.3)) и г, и, определяемых следующими
64 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ св я зи |
|
[ГЛ. V |
||
выражениями: |
|
|
|
|
|
г = |
— -<щ- VV — ^2[/nisin(® + '0'i) + |
/n2sln(O + |
19,2)]. |
(5.27) |
|
и = |
— 2Ж" |
— ^[miCoslO + -O'!) + |
m2cos(0 + |
^2)]- |
(5.28) |
Здесь M — ^\rh\ + m\ + 2m,m2cos(#, — ,6'2)]I/2.
В этих переменных уравнения (5.1), (5.2) примут следующий вид:
х — х (1 — ау) + ду + Mz,
у = У (1 — а ~2 ^' У) ------2~^ X2 Ьх-\- М|2 + М2и, t ^ - a + l y y ^ u + M a - M x .
й = и (1 — |
|
г/) + -j xz + Мм, |
|
где |
|
|
ni\fh2 |
|
|
|
|
М, |
4Af |
Me |
Ш sin(dj — дг), |
|
b = т — р, |
Hi — Лг |
|
|
|
|
i'll + Дг * |
<5-29>
(5.30)
Из определения переменных г и и (5.27), (5.28) следует, что переменные х, у, z и и связаны соотношением
х2+ и2+ z2 = У2. |
(5.31) |
Поэтому одно из уравнений (5.29) является следствием остальных.
В общем случае аналитическое исследование автоколеба тельных решений системы уравнений (5.29) оказывается доста точно сложным. Мы рассмотрим здесь случай приблизительно комплексно сопряженных коэффициентов связи и достаточно малых расстроек относительно центра доплеровской линии, ко
гда выполняются следующие условия: |
|
| о — Э I, |й |, IM.I, |Л12|, 62< М , 1. |
(5.32) |
При этих условиях уравнения (5.29) можно решать методом последовательных приближений. Кроме того, при этих условиях оказывается, что сумма интенсивностей у устанавливается зна чительно быстрее, чем разность интенсивностей х и величины z и и. Действительно, как будет видно из дальнейшего, безраз мерное время установления суммы интенсивностей порядка еди«
M l РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ 65
ницы, тогда как время установления остальных переменных по рядка малых параметров. Вследствие этого для суммы интен сивностей можно искать установившееся решение.
В нулевом приближении положим параметры а — р, б, Мi и М2 равными нулю, а параметр b будем учитывать только в первой степени. Тогда из уравнения для у следует
|
|
У — Уо— а + р ~ Т - |
(5.33) |
||||
Остальные уравнения |
в нулевом |
приближении принимают вид |
|||||
|
|
*о= |
Mz0, |
|
|
|
|
|
|
to = — j |
xQu0— MxQ, |
(5.34) |
|||
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
Uq — |
X qZq. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Интегрируя (5.34), |
получаем |
|
|
|
|
||
Ar0= |
^sinY , |
z0 = H-^-cosxF, |
(5.35) |
||||
|
«o= |
«o—- щ Д8соз2лР, |
|||||
где |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W= |
ait + ф, |
52 = |
M2(1 -f - щ й0) . |
(5.35а) |
|||
Из (5.31) находим связь |
между |
й0, у0 и А: |
|
||||
|
|
“о = |
± |
V У\ — А'2- |
(5.36) |
||
Таким образом, в нулевом приближении сумма интенсивно стей встречных волн оказывается постоянной, а разность интен сивностей колеблется с частотой, пропорциональной модулю коэффициентов связи. Следовательно, интенсивности встречных волн совершают противофазные гармонические колебания. В со ответствии с двумя знаками («+» и «—») в (5.36) возможны два режима колебаний интенсивностей и разности фаз встреч ных волн. Средние значения разности фаз для этих режимов от личаются на я.
Решение, полученное нами в нулевом приближении, зависит от двух произвольных параметров — амплитуды колебаний раз ности интенсивностей А и фазы ф. Значения этих параметров определяются начальными условиями. Таким образом, система уравнений (5.34) описывает консервативную систему. При учете малых параметров а — р, б, М\, М2 и Ь2 в первом и более высо ких приближениях система становится неконсервативной, а при определенных условиях — автоколебательной! Учитывая, что А
3 Под рад. Ю. Л. Климентовича
66 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗИ |
[ГЛ. V |
и ф являются медленно меняющимися функциями времени, и ис пользуя метод усреднения [15], можно получить уравнения для амплитуды А и фазы ф, описывающие процесс возбуждения и установления режимов автомодуляции интенсивностей,
А = |
4уо |
[ ( Р — |
о |
) |
| С| — С2Л21] А, (5.37) |
|
|
• |
1 Ь2А2 |
(5.38) |
|
|
|
^ |
64 |
М * |
|
|
|
|
|||
Уравнение (5.371 получено в первом приближении по малым |
|||||
параметрам |а — р| |
и М2 и в третьем приближении по парамет |
||||
рам |Ь|, |M i|, |б |.
Конкретные выражения для коэффициентов Сi и С2 в общем
случае громоздки. Поэтому выпишем |
их при условии Л4<С1: |
|||
С, = |
4М2— Ьуо^- |
|
Af,), |
(5.39) |
2 |
%УоМ б(б — ^ ) + |
ЗМ?М2]. |
(5.40) |
|
В частности, при равных добротностях |
(б = 0) |
|
||
|
Mi |
|
зь |
|
С, 4М2 + byQ- м |
С2= |
|
||
|
|
|
||
Выражение (5.38) определяет поправку к частоте автоколеба ний 5, которая с учетом (5.35) оказывается равной
(О: |
, |
, |
Ъйо |
Ь2А2 \ |
(5.41) |
|
+ |
4М |
64 М2 ) ' |
||
' — |
|
|
Из уравнений (5.37) следует условие мягкого возбуждения коле баний разности интенсивностей
(p -a )* /0± |C il> 0 . |
(5.42) |
Отсюда видно, что условия возбуждения двух автомодуляционных режимов получаются различными. Если |р — а|г/0^ |C i|, то условие мягкого возбуждения колебаний выполняется только для режима, соответствующего знаку «+» в (5.42). В этой же области расстроек устойчив также двухволновой режим с по стоянными интенсивностями волн, незначительно отличающи мися друг от друга. Среднее значение разности фаз при колеба ниях интенсивностей и стационарное значение разности фаз при двухволновом режиме отличаются друг от друга на л. В обла сти расстроек, где неравенство (5.42) выполняется для обоих
знаков, т. е. при (р — a)«/oS>|Ci| |
^для лазера |
на чистом изотопе |
эта область существует, если |
0[Т) — |
^ oj, мягко |
могут возбуждаться оба режима |
автомодуляции интенсивностей |
|
§4] РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ 67
встречных волн, отличающихся друг от друга как глубиной мо дуляции (см. ниже), так и сдвигом средних значений разности фаз на я. В области же расстроек, удовлетворяющих неравен ству (а — P )# o ^ |C i|, устойчивы оба двухволновых режима. Однако, как будет видно из дальнейшего, один из них имеет тенденцию к жесткому возбуждению колебаний интенсивностей, т. е. этот режим неустойчив по отношению к большим откло нениям.
Из выражения (5.39) для С\ и условия возбуждения (5.42) следует, что при наличии разности добротностей или разности модулей коэффициентов связи в условие возбуждения входит член, пропорциональный расстройке частоты относительно цен тра доплеровской линии усиления. Это обстоятельство приводит к асимметрии относительно центра линии.
Перейдем теперь к исследованию установившихся значений амплитуды колебаний разности интенсивностей и их устойчиво
сти, используя уравнение |
(5.37). Это |
уравнение имеет четыре |
|||
стационарных решения: |
|
если выполняется |
усло |
||
у4 j = 0. |
Это |
решение неустойчиво, |
|||
вие (5.42), |
и устойчиво в противном случае. |
«':К» |
|||
А%= у0. |
Это |
решение |
устойчиво |
только при знаке |
|
в (5.37). |
|
|
|
|
|
ния 3, 4 могут существовать, если выполняется следующее условие:
(а ~ р )2> 4 C2( C ,- C 2y2).
Кроме того, очевидно, что должно выполняться неравенство
Устойчивость и существование решений 3, 4 можно исследовать графически при различных значениях параметров.
Рассмотрим теперь, какие же режимы осуществляются в коль цевом лазере при «сильной» связи в зависимости от расстройки относительно центра доплеровской линии.
I.Пусть (а — р)2г^С2/г/^. Тогда мягкое возбуждение колеба
ний интенсивностей имеет место лишь для режима автомодуля ции, соответствующего знаку «+» в (5.37). Условимся этот ре жим называть первым. Режим, соответствующий другому знаку, будем называть вторым.
1. Сначала исследуем амплитуды колебаний интенсивностей при первом режиме в рассматриваемой области расстроек.
3
68 |
КОНКУРЕНЦИЯ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ с в я з и |
[ГЛ. V |
|||
а) |
CiC2<;0 — решений А3, |
4 не существует; |
устойчивым яв |
||
ляется лишь решение А = уо, |
т. е. в этом |
случае происходит |
|||
полная модуляция интенсивностей. |
и |
устойчиво |
одно |
||
б) |
С,С2> 0, |С ,) ^ | С 2 1у\ — существует |
||||
из решений А3, 4. Решение А = у0 при этих параметрах неустой чиво. Автомодуляция интенсивностей не является стопроцент ной, причем амплитуда автомодуляции падает с увеличением
расстройки, обращаясь в нуль при (а — р)г/о = |
|Ci|. |
А3 4 не |
||||||||
в) |
С,С2> 0, |
|С ,|^ |С 2|г/2— ПрИ р — а > 0 |
решений |
|||||||
существует; |
если |
же |
р — а < 0 |
и (Р— а)2^ 4 С 2(С ,— С2Уо)> |
||||||
|С2| |
Cj |/2 ^ , |
то существуют оба решения: |
Л = |
Л3 и Л = Л4. |
||||||
При |
этом решение Л4 устойчиво, |
а решение |
Л3 неустойчиво. |
|||||||
Решение Л = |
у0 в |
этой |
области параметров |
всегда устойчиво. |
||||||
2. |
Рассмотрим теперь второй режим, для которого условия |
|||||||||
мягкого возбуждения колебаний интенсивностей в указанной |
||||||||||
выше области расстроек не выполняются. |
|
|
отсутствует, |
|||||||
а) |
CiC2< 0 — автомодуляция |
интенсивностей |
||||||||
устойчив только стационарный двухволновой режим. |
|
|||||||||
б) |
CjC2> |
0, |
|С ,|^ |С 2|г/§— существует |
одно |
из |
решений |
||||
Л3; 4, |
однако оно неустойчиво. Устойчивым |
является |
решение |
|||||||
Л = у0. Следовательно, |
здесь возможно жесткое |
возбуждение |
||||||||
колебаний интенсивностей со стопроцентной глубиной моду |
||||||||||
ляции. |
|
[С, | ^ | С21г/2— при р — а < |
0 устойчив только |
|||||||
в) |
С]С2> 0 , |
|||||||||
двухволновой режим с постоянными интенсивностями волн; при |
||||||||||
Р — сс>0, |С2|> |С , |/(2^) и (а — р)2> 4 С 2(С, — С2г/2) |
суще |
|||||||||
ствуют неустойчивое решение Л = |
Л4 и устойчивое Л = |
Л3. Ре |
||||||||
шение А — уо неустойчиво. В этом случае также возможно жест кое возбуждение автомодуляционного режима, но с неполной модуляцией.
II. Пусть (а — р)2!>С2/г/2. Тогда при р — а > 0 для обоих
режимов автомодуляции выполняются условия мягкого возбу ждения. Если же р — а < 0, то эти условия не выполняются ни для одного из режимов. При р — а > 0 первый и второй авто-' модуляционные режимы отличаются не только средними значе ниями разности фаз, но и глубиной модуляции: если для одного из режимов амплитуда колебаний разности интенсивностей рав на уо, то для другого режима амплитуда колебаний равна Л3. При р — а <. 0 для одного из режимов всегда выполняются условия жесткого возбуждения, т. е. существуют неустойчивое решение А = А3 и устойчивое решение А = у0.
Так как параметры С\ и С2 в свою очередь зависят от рас стройки относительно центра доплеровской линии, то проанали зировать в общем случае зависимость амплитуды колебаний ин
§ 4] |
РЕЖИМЫ АВТОМОДУЛЯЦИИ |
69 |
тенсивностей от расстройки довольно сложно. Поэтому ограни чимся частным случаем, когда ЬМ\/М М2, М <С 1. В этом случае
С] ~ 4 С2 2 М>
Уо
к = ъ Ь т № - - 1 г ) + з м 'м ’]•
Примерные графики зависимостей амплитуды колебаний ин тенсивностей от расстройки для ряда соотношений между К и М2 изображены на рис. 5.1. На этих графиках обозначено:
Пербый режим |
Второйрежим |
цо— расстройка, соответствующая |
границе |
области |
неустойчи |
вости двухволнового режима в отсутствие |
связи ( а — р = 0), |
||
М-1,2— корни уравнения (а — р)2у\ = |
С\, n3 = |
Ci/2K, |
M4 = Ci/^ - |
Сплошными линиями изображены устойчивые значения стацио нарной амплитуды, штриховыми — неустойчивые.
При изменении расстройки вправо из области больших отри цательных расстроек в случае М2> 0 возникает первый режим автомодуляции интенсивностей, так как он соответствует коле баниям разности фаз относительного среднего значении