книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

Из формулы (3.43) следует, что в рассматриваемом случае очень сильного поля движение атомов не играет существенной роли и им можно пренебречь. При этом условии из уравнений (3.4) можно получить более общую формулу для комплексной поляризуемости.

При о = 0 уравнения (3.4) представляют собой систему ал­ гебраических уравнений. Решая эту систему, получим

Выделяя из pab(z) первые гармоники no z и подставляя их в вы­ ражение (3.7), найдем Рi, 2(t). В частности, при уо = Уь

_ (О—Мдь

При Е\ = Е2 = Е0, уаЬ= у выражение (3.48) совпадает с (3.43). Заметим, что точно такое же выражение получается и без учета пространственной модуляции населенностей.

Из сказанного можно сделать вывод, что учет высших про­ странственных гармоник элементов матрицы плотности изменяет значение мнимой части поляризуемости в некоторой промежу­

42 РАСЧЕТ ПОЛЯРИЗАЦИИ АКТИВНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. Ш

точной области значений поля. Однако это изменение оказы­ вается небольшим (~10% ). Поэтому при конкретных расчетах, в которых не рассматриваются тонкие эффекты, пространствен­ ной модуляцией населенностей для газового лазера можно пре­ небрегать во всей области значений поля.

Для некоторых же задач, например, при исследовании кон­ куренции встречных волн в кольцевом лазере (гл. IV), требуется знать более точные выражения для комплексной поляризуемо­ сти. В этом случае будем исходить из общего выражения (3.21)

§ 4. Вектор поляризации в приближении теории возмущений по полю

Разложим выражение (3.21) в ряд по степеням поля, отбра­ сывая члены, содержащие поле в степени выше пятой. Такое разложение соответствует пятому приближению в рамках тео­ рии возмущений [4, 5, 6].

Из выражений (3.21), (3.18), (3.13), (3.14) следует, что для учета всех членов вплоть до пятой степени поля необходимо учесть нулевую и вторую гармоники разности населенностей и первую и третью гармоники недиагональных элементов матрицы плотности. Проводя соответствующие вычисления, получим сле­

у1ь

(Сй-(йаь)2+ Ya6 ’

Выражения (3.49), (3.50) получены с учетом пространствен­ ной модуляции населенностей. Сопоставляя их в нулевом при-

брежение пространственной модуляцией населенностей приво­ дит к относительной погрешности в %"2 порядка (y2/Yq&) °Е2*)•

§ 5. Расчет поляризации для смеси изотопов активного газа

Формулы (3.49) —(3.53) справедливы для лазера, рабочим веществом которого является чистый изотоп активного газа. Если рабочая среда представляет собой смесь изотопов, отли­ чающихся друг от друга собственной частотой перехода с верх­ него рабочего уровня на нижний, т. е. параметром а аь, то поля­ ризуемость такой среды может быть представлена в виде

«1,2 — 2 Npci, г, г (рЛ-

Здесь Ni — относительная концентрация i-ro изотопа, ц*— расстройка частоты генерации относительно центра доплеров­ ской линии i-ro изотопа. Конкретные выражения для хцг в слу­ чае произвольной смеси изотопов получить трудно, так как в этом случае уже могут не выполняться условия (рг/(/гы) )2 «С 1. Однако наличие смеси изотопов не меняет вида выражений (3.49), (3.50), а изменяет лишь значения коэффициентов.

В частности, для лазера, работающего на 50%-ной смеси изо­ топов активного газа, эти коэффициенты приближенно опреде­ ляются выражениями

центра суммарного контура усиления, АсоаЬ = ©<^ — ©<й — изото­ пический сдвиг.

В дальнейшем мы будем проводить расчеты в общем виде, не конкретизируя значений коэффициентов. Тем самым резуль­ таты будут справедливы для любой смеси изотопов.

Г Л А В А IV

КОНКУРЕНЦИЯ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ БЕЗ УЧЕТА СВЯЗИ ЧЕРЕЗ РАССЕЯНИЕ

Кольцевой лазер может служить для измерения угловой ско­ рости вращения, когда в нем существуют две встречные волны с близкими амплитудами. Вследствие этого возникает задача выяснения условий, при которых возможен такой режим гене­ рации.

Экспериментальные исследования [1, 2] показывают, что в Не—Ne-лазере с одним изотопом Ne режим двух встречных волн при малых расстройках частоты со относительно центра доплеровской линии оказывается невозможным. Качественно это можно понять следующим образом. Разность населенностей ато­ мов, движущихся со скоростью v, при наличии двух встречных волн согласно (3.24) определяется выражением

Отсюда следует, что под действием полей встречных волн на функции распределения по скоростям D(kv) образуются два про­ вала шириной уаь (рис. 4.1). Эти провалы часто называют беннетовскими провалами. Причиной возникновения таких прова­ лов является «выжигание» инверсной населенности полем из­

встречных волн условия резонанса выполняются при разных

4b КОНКУРЕНЦИЯ ВСТРЕЧНЫХ ВОЛН БЕЗ УЧЕТА СВЯЗИ [ГЛ. IV

В предыдущих главах были получены уравнения для встреч­ ных волн и рассчитана поляризация активной среды. Прежде чем приступить к решению этих уравнений, сделаем некоторые упрощения. Функции <§\,2 (0 являются быстро осциллирующими функциями времени, а амплитуды волн Еi, 2 и фазы tpi, 2 — мед­ ленно меняющиеся функции, поскольку лазер является высоко­ добротной системой (ДсорСю).

В уравнениях (2.40) можно пренебречь вторыми производ­ ными от медленно меняющихся функций. В результате для ам­ плитуд и фаз встречных волн получим следующие укороченные уравнения:

При записи уравнений (4.1), (4.2) мы представили комплексные коэффициенты связи щ, 2 в виде

того, мы учли, что добротности резонатора для встречных волн могут быть разными (см. гл. II).

Подставим в уравнения (4.1), (4.2) значения действительной и мнимой частей поляризуемости, рассчитанные в гл. III для ла­ зеров на чистом изотопе (формулы (3.49) —(3.53)). (Напомним, что эти формулы получены при разложении вектора поляриза­ ции с точностью до членов пятого порядка по полю.)

Как следует из уравнений (4.4), условие возбуждения встреч­ ных волн имеет вид

Отсюда находим пороговые значения параметра накачки

Таким образом, параметры t]i, 2 характеризуют относительное превышение уровня накачки над порогом

Из (4.9) следует, что при малых превышениях над порогом (т] <С 1) параметр ad совпадает с шириной полосы резонатора Д(ор.

§ 1. Устойчивость режима встречных волн в лазере с чистым изотопом

Режимы генерации, устанавливающиеся в лазере при нали­ чии сильной конкуренции между встречными волнами, суще­ ственно зависят от большого числа параметров (превышения над порогом 111, 2, разности добротностей, модулей и фаз коэф­ фициентов связи mi, 2 и т. д.) у Особенно сильно влияет связь за счет обратного рассеяния. Взависимости от величины связи мо­ жет произойти подавление либо одной, либо другой волны, или может возникнуть режим периодической перекачки энергии ко­ лебаний из одной волны в другую (автомодуляция интенсивно­ стей волн).

( Влияние связи через рассеяние на режимы генерации в коль­ цевом лазере существенно ослабляется при наличии достаточно ^большой разности частот встречных волн. Это явление анало­ гично уменьшению коэффициента связанности двух линейных колебательных контуров при увеличении расстройки между ними (см. [14]). По аналогии коэффициент связанности для встречных волн определим следующим образом:

В [14] показано, что влиянием связи между контурами можно пренебречь, если s < 1, Как будет видно из результатов гл. VI (стр. 87), это же условие справедливо и для встречных волн. Таким образом, при достаточно большой разности частот

| Q ] » m , т. е. | Q | > Qc (4.11)

(йс— ширина полосы синхронизации), влиянием линейной свя­ зи между встречными волнами можно пренебречь.

В нулевом приближении по m/|Q| уравнения для амплитуд (4.4) оказываются независимыми от фаз. Система уравнений

Решения (4.12) и (4.13) описывают режимы однонаправлен­ ной генерации, а (4.14)— режим встречных волн с разными ам­ плитудами. Различие амплитуд возникает из-за неравенства до­ бротностей резонатора Q1, 2, учитываемых параметром б. Из (4.14) видно, что разность амплитуд волн зависит от расстройки частоты генерации относительно центра доплеровской линии уси­ ления (через разность а — Р) и от превышения уровня накачки над порогом (г]). Наиболее сильная конкуренция между вол­ нами возникает, догда член а —■Р + 3/40iil мал. Это имеет место вблизи центра доплеровской линии (когда мала разность а — р) предостаточно малом превышении над порогом т|. В этом слу-

Гчае даже малое различие добротностей или коэффициентов уси-

Заметим, что при получении решений (4.12), (4.13) опущены члены пятого порядка по полю в векторе поляризации, так как здесь эти члены дают лишь малые поправки. В решении (4.14) учет таких членов оказывается весьма существенным, так как они могут быть сравнимы с малой величиной а — р.

Исследуем возможность существования и устойчивости ре­ жима встречных волн (4.14). Очевидно, что условия возбужде­ ния двух встречных волн следующие: rji > 0, rj2 > 0, т. е. г] > 0. Для лазера на чистом изотопе условие г] > 0 записывается

Здесь т]о — значение г) в центре доплеровской линии (при toj =

=СО2 — Web) •

расстроек вблизи центра доплеровской линии, определяемой не­ равенством

В этой области двухволновой режим невозможен вследствие по­ давления волны, соответствующей меньшему значению доброт­ ности.

Запишем условие несуществования режима двух встречных волн для лазера на чистом изотопе, подставив в (4.16) значения а и р из (3.51):

© 1 + © 2

®ab)■

Определим теперь условия устойчивости режима встречных волн, предполагая, что условия его существования выполняются. Уравнения для отклонений амплитуд от стационарных значений следуют из (4.4) и имеют вид

Отклонения е\ и е2 будут нарастать, т. е. двухволновой режим окажется неустойчивым, если

членов четвертого порядка по амплитуде поля (3.50), получим следующее условие неустойчивости: