книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

390 ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ОДНОРОДНОМ УШИРЕНИИ [ГЛ. XX

Приведем соответствующие результаты для режима стоячей волны. В этом случае для твердотельного лазера необходимо учитывать модуляцию населенностей. Выражение для спек­ тральной плотности флуктуаций амплитуды при нулевой рас­ стройке получено в работе [12]. В случае слабого поля оно при­ нимает вид

Если в режиме стоячей волны произвести расчет без учета пространственной модуляции, то в знаменателе коэффициент 3 заменится на 2. Таким образом, пространственная модуляция населенностей не меняет качественного характера спектра амплитудных флуктуаций.

§5. Флуктуации амплитуды в молекулярном генераторе

Всоответствии с неравенствами (20.8) в молекулярном ге­

нераторе у < Асор (у = у» = Yь - уаь)- Поэтому, как и в твердо­ тельном лазере, для определения спектральной плотности ам­

плитудных флуктуаций надо использовать (при нулевой рас­

выражение для спектральной плотности амплитудных флуктуа­

В газовом лазере ширина спектра спонтанных флуктуаций поляризации (уаь, ku) много больше Дсор. Вследствие этого в нулевом приближении по Аа)р/уаь, Aav/(ku) спонтанные флук­ туации поляризации можно рассматривать как белый шум. В твердотельном лазере это можно сделать лишь приближенно, полагая = 1 в (20.37). В молекулярном генераторе, напро­ тив, ширина спектра спонтанных флуктуаций поляризации по­ рядка у < Дсор. Вследствие этого нельзя использовать формулу

(20.37).

Следует, однако, иметь в виду, что в молекулярном генера­ торе ficoo «С kT, поэтому

и вклад теплового шума больше, чем спонтанного поляриза­ ционного шума. По этой причине для молекулярного генератора

Величина (6£2) ш на нулевой частоте определяется выраже­ нием

( 2 a E * ) * [ - J L j

Форма линии (20.55) приближенноопределяется наложе­ нием двух линий: интенсивной и узкой с полушириной

Обе линии имеют максимумы при <в = 0. Максимум узкой ли­ нии определяется выражением (20.57), а максимум широкой линии — выражением

Эта величина в 1/(2аЕ2)2 раз меньше (а£2<С 1), чем (20.57). Таким образом, приближенно выражение (20.55) можно

представить в виде

Отсюда следует выражение для дисперсии амплитуды

Мы видим, что структура линии спектра амплитудных флук­ туаций для молекулярного генератора иная, чем для твердотельного лазера.

392 ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ОДНОРОДНОМ УШИРЕНИИ [ГЛ. XX

§ 6. Флуктуации частоты в твердотельном лазере и молекулярном генераторе

При расчете амплитуды стационарных колебаний (§ 2) мы

расстройка отлична от нуля, но ц < уаь- При расчете флуктуа­ ций амплитуды вклад флуктуаций фазы также мал и его мож­ но не учитывать.

ным ранее выражением (20.39), а выражение (20.64) принимает

Мы видим, что по сравнению с соответствующим уравнением (17.126) для газового лазера здесь появляется дополнительный член. Для твердотельного лазера Асор <С уаъ, поэтому дополни­ тельный член мал и уравнение (20.66) совпадает с уравнением для газового лазера.

§ в] Ф Л У К Т У А Ц И И Ч А С Т О Т Ы 393

В соответствии со сказанным в предыдущем параграфе учиты­ ваем лишь тепловой шум. Тогда

Из уравнения (20.67) находим выражения для спектральной функции частоты (6ф2)ш и, следовательно, для коэффициента диффузии фазы поля в молекулярном генераторе

/ 2v \2 4яДшп

Так как у С А(ор, то коэффициент диффузии фазы в молекуляр­ ном генераторе значительно меньше (при одинаковых значе­ ниях остальных параметров), чем в твердотельном и газовом лазерах.

значениях параметров Р = Ю-10 вт, Т — 300°К, у = 5 -103 сект ш = 10й сект1 из (20.70) следует, что АюДо = 2 • 10_м.

Проведенные выше расчеты естественных флуктуаций в ла­ зерах были сделаны при следующих основных предположениях.

1. Использовалась сосредоточенная модель лазера, в кото­ рой флуктуации амплитуд и фаз волн не зависят от координат. В рамках этой модели можно определить спектральные плот­ ности флуктуаций лишь для области частот ш < 2nc/L, т. е. для частот, меньших межмодового расстояния.

2. Расчеты флуктуаций проводились в одномодовом прибли­ жении, поэтому в рамках рассмотренной модели невозможно описать многие явления, например сужение линии излучения при синхронизации мод.

3. При расчете флуктуаций поляризации учитывались пере­ ходы лишь между двумя рабочими уровнями. При этом пред­ полагалось, что диагональные матричные элементы дипольного момента равны нулю.

Впоследующих трех параграфах мы рассмотрим некоторые новые флуктуационные явления, которые можно описать, если снять ограничения 1—3.

Взаключительном параграфе мы установим связь спек­

тральных плотностей (|а)о, (|ф)о источников флуктуаций в урав­ нениях для амплитуд и фаз с интенсивностью спонтанного из­ лучения атомов рабочей среды.

§ 7. Влияние распределенности параметров лазера на флуктуации излучения

Исследование флуктуаций лазерного излучения с учетом распределенности параметров проводилось в работах Малахова

иСандлера [10, 11]. В них было показано, что при учете рас­ пределенности меняется спектр амплитудных флуктуаций: по­ являются дополнительные максимумы на частотах, близких к межмодовым. Имеется возможность проведения более деталь­ ного расчета флуктуаций амплитуд и фаз с учетом флуктуаций поляризации. Оказывается, что спектр флуктуаций фазы также состоит из ряда резонансных линий. Линии в спектрах ампли­ туды и фазы разделены, если выполняется условие Дшр<С2nc/L.

Врамках распределенной модели лазера можно исследовать

иустойчивость одномодового режима в сильном поле. Положе­ ние границы устойчивости зависит от соотношения параметров

Для возникновения неустойчивости должно быть также выпол­ нено условие {кЩ-cj /ууаь ** 12 (k — номер моды). В противном случае неустойчивость возникает при более сильных полях.

§ 8. Флуктуации частоты в лазере с синхронизованными модами

В многомодовом режиме генерации в лазере с несинхронизованными модами ширина линии излучения для каждой от­ дельной моды при Дсор < 2лс/L определяется теми же выраже­ ниями, что и для одномодового режима. Положение, однако, меняется, если моды синхронизованы [13].

Рассмотрим для примера режим генерации с тремя синхро­ низованными модами. Будем предполагать, что межмодовая частота 2яc/L мала по сравнению с уаь и добротности всех мод равны. Тогда амплитуды всех трех волн мало отличаются друг от друга.

При этих условиях интенсивности источников шума |ф* для всех трех волн (6 = 0, ±1) одинаковы и определяются функ­

цией (||)о для газового лазера при однородном уширении ли-

§ 8] ВЛИЯНИЕ СИНХРОНИЗАЦИИ мол 395

Спектральная плотность естественных флуктуаций частоты зависит от аз. При малых частотах, когда со <С а (а — коэффи­ циент связи мод), величина

излучения каждой моды (ср. с (17.134)). Таким образом, ши­ рина линии излучения каждой из трех синхронизованных мод в три раза меньше ширины линии излучения в одномодовом режиме. Заметим, что аналогичный результат получается и в теории трех синхронизованных генераторов [14].

Явление сужения линий излучения синхронизованных мод уже встречалось при исследовании взаимной синхронизации встречных волн в кольцевом лазере. Действительно, из выраже­ ния (19.34) следует, что в слабом поле спектральные плотности частот встречных волн при и = 0 в центре полосы синхрониза­ ции определяются выражениями

~ т(»ФЬ)£Ь,

и, следовательно, примерно в два раза меньше спектральных плотностей частот при отсутствии связи между встречными вол­ нами.

В области больших частот, когда со>а, но, конечно, а><уа<>, спектральные плотности флуктуаций частоты определяются вы­ ражениями

которые совпадают с полученными выше при исследовании од­ номодового режима генерации.

спектральные плотности на частотах cd, меньших ос, но больших частот технических флуктуаций.

Эффекты, аналогичные рассмотренным, имеют место и при большем числе синхронизованных мод.

Флуктуация вектора поляризации Р может быть представ­ лена в виде суммы индуцированной и спонтанной частей (см. (20.15)). Спектральная плотность спонтанных флуктуаций по­ ляризации включает и вклад нулевых колебаний. Однако спон­ танное излучение определяется лишь частью спектральной плот­

ности (бР'спкь не связанной с нулевыми колебаниями. Связь

между спектральной плотностью спонтанного излучения /£"* и спектральной плотностью флуктуаций поляризации бРСп опре­ деляется выражением [15—17].

ний; е(со, k) = е '+ ie— диэлектрическая проницаемость.

Из (20.71) следует выражение для спектральной плотности спонтанного излучения в данном направлении /

(20.72)

Таким образом, спектральная плотность спонтанного излучения выражается через спектральную плотность флуктуаций поля­

ризации (бРсДо, * и мнимую часть диэлектрической проницае­

мости.

Приведем результат расчета интенсивности спонтанного из­ лучения в сильном поле для случая нулевой расстройки ча­ стоты поля и частоты атомного перехода (соо = ®аь) [16]

представить как наложение трех линий: центральной с макси­ мумом на частоте перехода (со = сор) и двух боковых с верши­

нами на частотах со — со0= ± ]/уу0ь(1 + о£2) • При других зна­ чениях параметров распределение по спектру существенно ме­ няется. Например, при уаь^> У в центре вместо максимума

появляется минимум.

Покажем теперь, как можно выразить флуктуационные ха­ рактеристики лазерного излучения через спектральную плот­ ность спонтанного излучения. Из уравнений (20.16) следует, что флуктуации амплитуды и фазы определяются спектраль­ ными плотностями флуктуаций 6Ps, 6Рс, которые связаны с 6Р формулами (20.17). В соответствии с этим вклады спонтанного излучения в уравнения для флуктуаций амплитуды и фазы будут

определяться функциями (/*п)шо. (/c")«v Спектральная плот­

Для лазера с однородно уширенной линией в режиме бегу­ щей волны величины ncsnt пссп определяются выражениями [16]

(20.74)

(l + - § - (!+ а£*)).

Покажем, каким образом флуктуационные характеристики излучения лазера выражаются через п*пг пссп и Я— среднее

число фотонов теплового излучения. Ширина линии излучения лазера с однородно уширенной линией определяется выраже­ нием

Это выражение следует из (19.97) при уа = уь = у и б-образном распределении по скоростям и выражений (17.108), (17.28). Используя (20.74), можно записать формулу для ширины ли­ нии излучения в следующем виде:

среднего числа фотонов в излучении лазера.

Из полученного результата следует, что нулевые колебания не дают вклада в выражение для ширины линии. Это показы­ вает, что вклады нулевых колебаний теплового и поляризацион­ ного шумов в формуле (20.75) для ширины линии излучения взаимно компенсируются.

Произведем соответствующие преобразования выражения для дисперсии числа фотонов. Рассмотрим газовый лазер с од­ нородно уширенной линией излучения. Соответствующее выра­

Из этого выражения следует, что вклады спонтанного излу­ чения атомов и теплового излучения входят в выражение для дисперсии числа фотонов равноправно. Дисперсия числа фото­ нов отлична от нуля и при п = п™= 0. Это показывает, что

вклад нулевых колебаний в выражение для (Ьпф2) не равен

нулю.

Из формулы (20.76) видно, что вблизи порога генерации (малые значения аЕ2) вклад спонтанного излучения значи­ тельно превышает вклад нулевых колебаний. Роль вклада ну­ левых колебаний возрастает при больших превышениях над порогом генерации.

§ 10. О некоторых проблемах теории динамических и флуктуационных процессов в лазерах

Изложенная выше теория динамических и флуктуационных процессов в лазерах базируется на достаточно простой модели, в которой рассматриваются переходы лишь между двумя рабо­ чими уровнями атомов среды; накачка, определяющая инверс­ ную заселенность уровней, считается заданной и постоянной; диссипативные процессы описываются простейшим образом пу­ тем введения в уравнения для матрицы плотности диссипатив­ ных коэффициентов уа, уь, уаь- Однако даже на основе этой относительно простой модели удается описать многие динами­ ческие и флуктуационные явления в лазерах и объяснить уста­ новленные экспериментально закономерности.

Естественно, что существуют в лазерах явления, которые нельзя описать на основе рассмотренной здесь модели. Так, на­ пример, проведенные в недавнее время экспериментальные ис­

5 10] Н Е К О Т О Р Ы Е П Р О Б Л Е М Ы 399

следования показали, что спектральные характеристики лазер­ ного излучения зависят от волновых процессов, происходящих в разряде газового лазера. Такая зависимость может возник­ нуть благодаря изменению населенностей рабочих уровней при возникновении волн в разряде. Такого рода явления, разу­ меется, нельзя описать на основе двухуровневой модели с за­ данной постоянной накачкой.

Проведенные экспериментальные исследования [18] показали также, что возникновение генерации на других уровнях может влиять на спектральные характеристики излучения, возникаю­ щего при переходах между рабочими уровнями. Для описания такого рода явлений необходимо выйти за рамки двухуровневой модели.

Заметим, что даже при отсутствии генерации на других уровнях поляризация, возникающая за счет переходов между рабочими уровнями и всеми остальными уровнями, может ока­ зать заметное влияние на характеристики лазерного излучения, например на ширину линии излучения.

Можно указать также круг явлений, для которых описание диссипативных процессов в рассмотренном выше приближении недостаточно и необходим более детальный учет диссипативных процессов в рабочей среде лазера.

При использовании более общих моделей теория станет бо­ лее сложной. Вследствие этого в еще большей мере проявятся примущества развитой в настоящей книге полуклассической теории динамических и флуктуационных процессов в лазерах по сравнению с более последовательной квантовой теорией.

Отметим еще некоторые разделы теории, которые не нашли своего отражения в книге: 1) теория кольцевого лазера с раз­ лично поляризованными встречными волнами; 2) теория лазера с поглощающей ячейкой; 3) расчет технических флуктуаций в лазерах и технической ширины линии; 4) влияние пленения из­ лучения на работу лазера.