книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

В слабом поле (а Е 2 2 < 1) с учетом выражений (19.25) для спектральных плотностей флуктуаций поля из (19.70) получим

член в квадратных скобках определяет вклад амплитудных флуктуаций в ширину линии каждой из встречных волн. При приближении к границе устойчивости двухволнового режима (а _>|3) в корреляционном приближении роль амплитудных

флуктуаций неограниченно возрастает. Неограниченно возра­ стают, следовательно, и величины Дач, 2.

Однако расчет, основанный на решении уравнения Фоккера — Планка, показывает, что на границе области неустойчивости вто­ рой член в квадратных скобках в формуле (19.71) конечен (по­ рядка Ь2). Так как b2 < 1, то вклад амплитудных флуктуаций оказывается малым.

В ряде случаев, например при использовании кольцевого ла­ зера в качестве гироскопа, представляет интерес определение ширины линии сигнала биений

S (0 = S0cos ( ф‘ ~ фг + Ф0) .

Из уравнений (19.66) найдем уравнение для флуктуации ча­ стоты биений Ф = ф) — ф2

6Ф= [(С - D) (6Е х- бЕ 2) + (1Ф, - |ф2)]. (19.72)

Отсюда следует выражение для ширины линии сигнала биений

Приведем выражение для Асоцг и для ширины линии спектра сигнала биений Au>s в другом предельном случае — случае силь­ ного поля:

§ 5. Влияние связи между встречными волнами

Перепишем еще раз уравнения (19.1) для амплитуд и фаз встречных волн в кольцевом лазере, добавив к ним члены, обу­ словленные вращением лазера:

Предположим, что разность частот Q и величины связи m \t 2 таковы, что частоты встречных волн одинаковы (волны взаимно синхронизованы). В этом случае в отсутствие флуктуаций раз­ ность фаз между встречными волнами Ф является постоянной величиной. При наличии флуктуаций разность фаз изменяется, но при условии слабой связи (см. условие (6.2)) характерное время изменения Ф оказывается значительно больше, чем время релаксации амплитуд. Поэтому в уравнениях для амплитуд (19.76) разность фаз Ф можно считать детерминированной.

Представим амплитуды встречных волн Е \ >2 в следующем виде:

В формуле (19.77) величины А и В определяются выраже­ ниями (19.20), (19.21).

Легко убедиться, что спектр флуктуаций амплитуд при на­ личии связи в области частот в первом приближении

совпадает со спектром флуктуаций амплитуд встречных волн в отсутствие связи через обратное рассеяние.

Рассмотрим теперь флуктуации фазы. Уравнения для малых флуктуаций фазы имеют вид

Здесь

^1.2 = 4 р { — m,.2sin(® + ^i. 2) ±

± j ^ B 2 [ ( C A - D B ) m U2 cos(Ф+ О,,2) + ( C B - D A) tn2,, cos(Ф+ Ф2)]},

ф — стационарное значение разности фаз в отсутствие флук­ туаций, С и D определяются формулами (19.67), (19.68).

Нетрудно убедиться, что имеет место следующее соотно­ шение:

где Qo— ширина полосы синхронизации, Ч*1— фаза, определяе­ мая фазами коэффициентов связи между встречными волнами. На границе полосы синхронизации величина М обращается в

нуль.

Из уравнений (19.78), (19.79) находим спектральные плот­ ности флуктуаций частот встречных волн и разности частот

частот и разности частот встречных волн в отсутствие связи. Таким образом, спектральные плотности флуктуаций час­

тоты и разности частот встречных волн существенно зависят от величины и фазы коэффициентов связи, а также от положения внутри области синхронизации, т. е. от скорости вращения ла­ зера. Спектральная плотность флуктуаций разности частот

374 ФЛУКТУАЦИЙ В КОЛЬЦЕВОМ ЛАЗЕРЕ [ГЛ. XIX

встречных волн при со = 0 за счет связи между волнами обра­ щается в нуль при М Ф О . Если же М = 0, то (6Ф2)Ш= (бФ2)^1*.

Влияние связи на спектральную плотность флуктуаций частоты каждой из встречных волн сводится к тому, что к ней добав­ ляется или из нее вычитается, в зависимости от знака произве­

в зависимости от соотношения между коэффициентами связи Шх и т2. В частности, если модули коэффициентов связи равны ме­ жду собой, то

Af1 + М 2 = щтй [ М‘д sin 7 ^ — cos в* 1 дг~] sin (Ф + 40

и, следовательно, в центре полосы синхронизации М \ М 2 = — М 2/ 4. Значение спектральной плотности флуктуаций частоты в нуле в этом случае равно

( 4 A - ( 4 A " - T < 4® t , -=

= - Щ «с ■+DY [(«£?.г)с+ (0£,ЫУь]+ (6J,.,)„+ (£ф,ад.)■(I''9.84)

В слабом поле (бф^ 2)0 «=» (бф?,г)^*

Примерный график зависимостей спектральных плотностей частот встречных волн и разности частот между ними от ча­ стоты для случая слабого поля и равных по модулю коэффи­ циентов связи изображен на рис. 19.2. Кривые 1 а 1' соответ-

Сигнал биений в этом случае представляет собой сумму постоян­ ной составляющей величины |/г£'оехр[— D%]/ {ЪМ)\ и шумового

фона малой интенсивности, равной */2^0 {l — ехр[— Дф°7(8.М)]}.

Спектр излучения каждой из встречных волн при условии

Таким образом, ширина спектра в этом случае примерно равна D ф, т. е. определяется спектральной плотностью флуктуаций частоты в нуле.

Из сказанного можно сделать вывод, что для измерения ши­ рины линии вблизи границы области синхронизации достаточно измерить спектральную плотность флуктуаций частоты при до­ статочно больших частотах, много больших ширины полосы синхронизации. Это соответствует обычному способу измерения ширины линии. Для определения же ширины линии вблизи центра полосы синхронизации необходимо измерить спектраль­ ную плотность флуктуаций частоты при малых частотах, много меньших ширины полосы синхронизации. Такие измерения про­ вести трудно из-за сильного влияния технических флуктуаций на низких частотах.

Мы здесь не рассмотрели случай, когда расстройка ча­ стоты £2 лежит вне области синхронизации. Рассмотрение этого случая представляет большой интерес с точки зрения практи­ ческих приложений, однако вызывает большие математические трудности. Из общих соображений ясно, что если Q » Q0, то связь между волнами будет сказываться мало. При этом будут справедливы результаты, полученные без учета связи через об­ ратное рассеяние.

§ 6] ПРЕДЕЛЬНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ГИРОСКОПА 377

§ 6. Предельная чувствительность лазерного гироскопа

Рассмотрим два способа измерения скорости вращения ла­ зера. Первый, наиболее распространенный, способ состоит в том, что при помощи невзаимного элемента или каким-либо иным путем задается достаточно большая постоянная скорость вращения, которая выводит лазер достаточно далеко за пре­ делы области синхронизации. Измеряемая скорость вращения представляет собой малую добавку на фоне этой большой по­ стоянной составляющей. Такой способ измерения будем назы­ вать частотным.

В принципе малую угловую скорость вращения лазера можно измерить и в режиме синхронизации, поскольку информация о скорости вращения содержится как в разности фаз встречных волн, так и в разности интенсивностей. Хотя этот метод пока мало распространен, исследование его предельных возможно­ стей представляет интерес [10].

При измерении скорости вращения кольцевого лазера ча­ стотным методом естественно определить предельную чувстви­ тельность этого метода S (в герцах) как средний разброс усред­ ненной за время наблюдения Т частоты биений между встреч­

усреднение по статистическому ансамблю. Величина (Ф) пред­ ставляет собой среднее значение частоты биений при бесконеч­ ном времени наблюдения. Зависимость этой величины от ско­ рости вращения с учетом связи между волнами и естественных флуктуаций излучения получена в работе [11].

Учитывая, что

Здесь (бФг) — среднеквадратичный набег разности фаз встреч­ ных волн за время Т.

Вдали от области синхронизации, где можно не учитывать влияние связи между встречными волнами, среднеквадратичный

Предельную чувствительность фазового метода по аналогии с (19.90) можно определить так:

(19.97)

По определению

т т

<6Ф> = J J <6Ф (t) 6Ф ( П ) dt dt’. (19.98)

о о

Из уравнения для флуктуаций разности фаз внутри области синхронизации следует (см. (19.79), (19.80)), что в установив­ шемся режиме

чувствительность фазового метода по порядку величину совпа­ дает с предельной чувствительностью частотного метода. Если

Отсюда следует, что при малых временах наблюдения предель­ ная чувствительность фазового метода оказывается выше ча­ стотного. Этот результат физически очевиден, так как при ма­ лых временах измерения в случае фазового метода усреднение производится автоматически за время порядка 1/М , тогда как при измерении частотным методом такое усреднение не произ­ водится. Здесь только следует заметить, что наши рассуждения относятся к установившемуся процессу, а время установления само порядка 1/М ,