книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

генерации обеих мод на одной частоте. Область нелинейного

чении разности |Qjv— Qp | захватный режим сменяется одномо­ довым режимом генерации при сильном пространственном пе­ рекрытии мод (см. (16.28)). В случае слабого пространственного перекрытия мод (выполнено условие (16.27)) при увеличении разности частот |fiw — Qp | наступает режим нестационарных двухмодовых биений.

3.Устойчивость режима генерации зависит как от конку­

щейся моды cojv- Область деформационного захвата имеет поря­ док (см. (16.45))

При |Qjv— Qp| < | Q/v — Пр|Гр предпороговая мода Р остается в захвате при любой накачке и генерируется совместно с мо­ дой N на частоте cojv- При | QN— QP| > ] Qn — £2р |Гр мода Р при достаточной накачке выходит из захвата и при слабой конку­ ренции с модой N устанавливается двухмодовый режим гене­ рации.

Ч А С Т Ь 3

ЕСТЕСТВЕННЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛАЗЕРАХ

Г Л А В А X V II

ЕСТЕСТВЕННЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В ГАЗОВОМ ЛАЗЕРЕ, РАБОТАЮЩЕМ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

§ 1. Введение

До сих пор при задании формы поля предполагалось, что ам­ плитуды и фазы волн в лазере являются детерминированными функциями времени. В действительности значения амплитуд и фаз флуктуируют около средних значений. Флуктуации ампли­ туд и фаз можно разбить на технические и естественные.

Технические флуктуации обусловлены сравнительно медлен­ ными изменениями параметров лазера, например, тепловыми флуктуациями периметра кольцевого резонатора, вибрациями и т. д. Они могут быть уменьшены путем совершенствования конструкции лазера. Так, уменьшение флуктуаций периметра достигается путем повышения жесткости конструкции. Для этого лазер изготовляется в едином кварцевом или ситаловом блоке.

Естественные флуктуации обусловлены молекулярной приро­ дой рабочего вещества и стенок резонатора и поэтому принци­ пиально неустранимы. Они определяют предельную стабильность частоты генерации квантового оптического генератора, предель­ ную чувствительность лазерного гироскопа и т. д. Так, например, стабильность частоты генератора определяется отношением Асо/мо, где Дш — естественная ширина линии излучения лазера. Предельная чувствительность лазерного (оптического) гироскопа определяется шириной линии сигнала разностной частоты и временем наблюдения.

Естественные флуктуации имеют более широкий спектр, чем технические флуктуации (ширина спектра технических флуктуа­ ций порядка 103—104 гц). Это дает возможность выделить сла­ бые естественные флуктуации на фоне более сильных техниче­ ских флуктуаций. Расчет естественных флуктуаций представляет, конечно, не только практический, но и научный интерес, так как исследование флуктуаций позволяет получить значительную до­ полнительную информацию о процессах в лазерах.

Можно указать два источника естественных флуктуаций. Это, во-первых, тепловые флуктуации в резонаторе, не связанные с переходами между рабочими уровнями. Эти флуктуации можно считать равновесными и рассчитывать по формуле Каллена — Вельтона. Вторым источником являются флуктуации поляриза­ ции активной среды. Они обусловлены атомной структурой активной среды и спонтанными переходами между рабочими уровнями. Эти флуктуации являются, естественно, неравновес­ ными. Расчет их и составляет одну из основных задач теории естественных флуктуаций в лазерах.

Чтобы не затенять сущность явления, начнем рассмотрение естественных флуктуаций для лазера, работающего в режиме бегущей волны (кольцевой лазер при условии подавления одной из встречных волн).

Расчет для этого режима наиболее прост, так как здесь от­ сутствует пространственная модуляция населенностей рабочих уровней и отсутствуют дополнительные явления, обусловленные взаимодействием волн. После этого будут проведены расчеты естественных флуктуаций в одномодовом режиме для линейного

икольцевого лазеров.

Внастоящее время имеется значительное число работ, по­ священных экспериментальному и теоретическому изучению

естественных флуктуаций излучения лазеров. При последова­ тельном квантовомеханическом описании флуктуаций излучения лазера возможны два эквивалентных подхода. В качестве ис­ ходных можно использовать уравнения для матрицы плотности всех переменных атомов и поля — квантовый аналог классиче­ ского уравнения Лиувилля для функции распределения всех пе­ ременных системы. Такой подход развит, например, в работах Лэмба и Скалли [15, 16], Казанцева и Сурдутовича [17]. При другом подходе в качестве исходной используется система опе­ раторных уравнений для операторной матрицы плотности ато­ мов и уравнения для операторов электромагнитного поля (Лэкс

[10], Хакен [26] и др.).

Однако, поскольку число фотонов в генерируемой моде даже у самого порога генерации велико (порядка 104), для описания электромагнитного поля можно использовать классические урав­ нения. Квантовый характер излучения атомов рабочей среды учитывается в уравнениях поля посредством введения слу­ чайных источников. При таком подходе одна из основных задач теории естественных флуктуаций состоит в расчете статистиче­ ски неравновесных характеристик этих случайных источ­ ников.

Проведение расчетов на основе такой полуклассической тео­ рии значительно проще и дает возможность производить рас­ четы естественных флуктуаций в более сложных случаях. При-

менение полуклассической теории для описания естественных флуктуаций излучения лазеров позволяет в ряде случаев ис­ пользовать методы статистической радиофизики и аналогии с расчетами флуктуаций в радиогенераторах.

§ 2. Исходные уравнения

Расчет флуктуаций будем проводить на основе системы урав­ нений для элементов матрицы плотности ра (д), рb(v), pab{v), Pba(v) и уравнения поля:

Здесь ЕЮ— источник тепловых флуктуаций.

Вектор поляризации активных атомов Р связан с элементами

рьа, Е — случайные функции. Это означает, что с помощью урав­ нений (17.1) —(17.6) можно описывать не только поведение усредненных элементов матрицы плотности и среднего поля, но и флуктуации.

Во введении уже отмечалось, что существуют два источника естественных флуктуаций в лазерах. Первый — это тепловые флуктуации, т. е. флуктуации, не связанные с переходами между рабочими уровнями а, Ь. Найдем выражение для спектральной плотности тепловых флуктуаций.

Заметим лишь прежде, что в режиме бегущей волны поле Е

Из уравнения (17.5), аналогично тому как это сделано в § 4 гл. II, получим уравнение для комплексной функции $ (t)

§ 3. Спектральная плотность источника тепловых флуктуаций

В уравнение поля (17.5) введен дополнительный член оаоЕ(т)— источник тепловых флуктуаций. Чтобы определить спектральную плотность этого источника, поступим следующим образом.

Разложим функцию £<т) (г, t) в ряд Фурье

EM{ r , t ) = ^ьl Ek{t)e^.

Средняя энергия тепловых флуктуаций с учетом, этого раз­ ложения может быть представлена в виде

— средняя тепловая энергия двух взаимно перпендикулярных осцилляторов поперечного поля. Отсюда получаем (в расчете на одно колебание с k — k0) выражение

которое определяет одновременную корреляцию пространствен­

ных компонент Фурье eE{ul{t).

Чтобы найти соответствующую спектральную плотность ис­ точника, стоящего в правой части уравнения (17.8), т. е. функ­

цию (еЕ*?)*» используем известный прием.

Поскольку нас интересует источник тепловых флуктуаций, т. е. флуктуаций, не связанных с флуктуациями поляризации Р,

Из (17.15), (17.16) находим искомое выражение

(17.17)

Сравнивая формулы (17.11), (17.17), находим выражение для спектральной плотности теплового источника флуктуаций поля

(17.18)

Из формул (17.18) видно, что спектральная плотность тепловых флуктуаций пропорциональна ширине полосы резонатора, кото­ рая определяется потерями, не связанными с поляризацией активной части рабочей среды.

Напомним, что величина щ/Q связана с эффективной прово­ димостью а (см. (2.31)). Величину а можно представить в виде суммы частей, характеризующих различные потери: за счет по­ глощения в зеркалах резонатора, выхода излучения, поглощения в неактивной среде лазера. В соответствии с этим спектральная плотность тепловых шумов может быть представлена в виде суммы соответствующих членов.

Естественно, что из-за различия температур зеркал и окру­ жающих тел функции п = ^ехр-^— lj , входящие, напри­

мер, в выражения для спектральных плотностей, обусловленных потерями в зеркалах и выходом излучения, будут различны. Это различие, однако, не является существенным в силу того, что для Не—Ne-лазеров отношение йсо/й7'>1. По этой причине мы будем использовать формулу (17.18), понимая в ней под Т некоторую среднюю температуру.

Представим в уравнении поля (17.5) вектор поляризации

Здесь рсипд)(£) — индуцированная часть поляризации — отклик системы на поле Е = ( Е ) -j-6Е; 6Р<СП>— флуктуации поляриза­ ции, обусловленные атомной структурой активной среды. Эта часть вектора поляризации связана со спонтанным излучением (см. § 9 гл. XX). Конкретное выражение для спектральной плот­ ности поляризационного шума зависит от режима генерации.

318 ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ [ГЛ. XVII

ризационного шума. Напомним, что вектор поляризации мы представили в виде суммы двух частей: индуцированной и спон­ танной (см. (17.19)). Проведем аналогичное разделение для элементов матрицы плотности р0, рь, раь

ванных частей элементов матрицы плотности совпадают по форме с уравнениями (17.1) — (17.4) и соответственно с систе­ мой уравнений (2.10) —(2.13) гл. II.

Уравнения для элементов матрицы 6р(сп) при заданной на­

(Здесь и ниже опускаем для сокращения записи индекс «сп».) Выражение для спонтанной части вектора поляризации свя­

зано с элементами матрицы 6р соотношением

Из формул (17.25), (17.26), (17.36) следуют выражения для

'-(п) 6(П)

источников поляризационного шума £W. ё<л> а *

Подставляя выражения (17.38) в формулы (17.37) и выполняя интегрирование по г, получим выражения

Отсюда следуют выражения для спектральных плотностей источников gw, g£>

к задаче нахождения спектральных плотностей (6pob6pab)a,

(foPbtfiPab)e>'

Из уравнений (17.32) —(17.35) для флуктуации бр следует,

она порядка ku. Ширина спектра флуктуаций поля в Не—Ne-ла- зере порядка Дшр, т. е. много меньше (см. неравенства (17.20))