Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4231 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

3 00			Вз а и м о д е й с т в и е д в у х м о д					[ г л . x v t
четности.		В этом случае		pjyjvjvp = 0		и из	уравнений	(16.1)	и
(16.3)	получим		следующие уравнения			для	генерации	двух мод
на центре линии усиления:
dt		Т ~	{% - VNa'aEl -		1^Ра'а4		(20 + 1" cos 2фда)}
d<^N				Асо д .	JV0			(16.19)
d<^N		I u>n — Qn = р„рр —			-щ— а аЕр2 sia <рда,
	dt
где		Фn p — ( ® м — ® р ) t + Фл/ + ф р + 6					{ РФ N).
		Фn p — ( ® м — ® р ) t + Фл/ + ф р + 6					{ РФ N).
Коэффициенты взаимодействия ft и р в							уравнении	(16.19)	и
фаза 6 имеют следующие значения:
а)	для волн,		бегущих в одном направлении,
		■&= 1 ,р =		VPPNN	6 =	arg	РрРЛГЛГ.
				& N P P N			V’ N P P N

б) для стоячих волн при доплеровском уширении контура усиления

*=т(з+^ )- - т ('+ М

в) для стоячих волн при однородном ушцрении контура усиления

,= l f 2 + ^£w v)				„ _ i f i .■			6 = 0.
	^ \	V-n p p n ) ’		3 \	V-n p p n ) ’
Введем следующие переменные: суммарную интенсивность
Z = a (E~n +	£р),	разность		интенсивности		мод	Y = а (Ер — E2N)
и разность	фаз Фрм —Фр —Фдг- Тогда уравнения захвата при
мут вид
	аФрдг	— Qp	Qjy-f-p^p p Ac0jyCt/2 sin 2фр^у,
	d t
	dZ	= ^	4 2 r,Z -p „ a '(Z 2 +		n	-	(16.20)
	~dt	= ^	4 2 r,Z -p „ a '(Z 2 +		n	-	(16.20)
		— pWPa' (Z2 — Y2) (2ft + p cos 2фРДг)},
	dY	Д со ,	{2г]У — 2p^a'ZK}.
	~dt	2	{2г]У — 2p^a'ZK}.

§ 3 ] ВЗАИМНАЯ СИН ХРОНИ ЗАЦИ Я ЧАСТОТ МОД 301

При ^ — = — ^ из системы (16.20) получим У = 0 и стационарные уравнения для Z и cos2<pPAf:

Z = _______И_______

VNP»(r + cos2<ppN) ’

где

1 -	(cos 2<ppjv)2	д9
(Г +	COS 2фрЛ,)2	(16.21)

г = ——— )- — , s = ■	(16.22)
IVpM' М.	A co „ ri

Из уравнения (16.21) получим выражения для соз2фРЛ,:

cos 2<pP/v =	1	l	[s2r ± j/l + s2( l —r2)].	(16.23)
	s2 +	l

Легко показать, что решение с

cos 2qpPN = — -jTq-i- [s*r—l/l + s2( l —r2)]

является неустойчивым. Поэтому в дальнейшем будем рассмат ривать решение с

cos 2Фрлг =	—	[s2r + V 1 — s2 (г2 — 1)].	(16.24)
Значение суммарной интенсивности Z может быть найдено
из уравнения (16.21)	при	подстановке (16.24). Захват	частот

мод может реально осуществиться, если стационарные значения

интенсивности	Z	и cos 2фР^ вещественны, а также	Z > 0 и
\| cos 2фРл? \| ^	1 •
Требование вещественности соэ2фР^ приводит к следующему
ограничению на разность частот мод:
	I	______ А<0;уТЦХ______	(16.25)
	I	I ^	(16.25)

Для рассмотрения устойчивости стационарных решений (16.21) по отношению к малым флуктуациям 6Z, 6У и 6фpn ли неаризуем систему (16.20). Рассмотрение устойчивости по отно шению к развитию малых флуктуаций 6Z и бфрл (фазовая не устойчивость) показывает, что в области существования захвата частот (16.25) стационарные решения (16.21) являются устой чивыми, т. е. малые флуктуации 6Z и 6фраг затухают.

Условие устойчивости по отношению к конкуренции мод в захвате (оУ) < 0 приводит к условию

26' > рсоз2фРЛ,.

(16.26)

302	ВЗАИ М О Д ЕЙ СТВИ Е ДВУХ МОД	[ г л . x v i
Так как cos2q>pW< 0 , то при
		(16.27)

стационарные решения (16.21) устойчивы. Условие (16.27) есть условие малого пространственного перекрытия мод. При выпол нении (16.27) режим синхронизации частот мод устойчив во всей области (16.25). При раздвижении частот резонатора усло вие (16.25) перестает выполняться и синхронизованный двухмо довый режим генерации сменяется режимом нестационарных двухмодовых биений, когда амплитуда каждой моды промодули-

рована	удвоенной	разностной частотой 21солг — о)р \|. При увели
чении	разности \| cojv— сор\| глубина модуляции		падает пропор-
		Дшл,т)	Дсодр)
ционально отношению ----------- г (см. гл. XI). При ----------- Г<С 1
можно	пренебречь	I “уу ~ “р I	I ®лг “ ®р I
можно	пренебречь	модуляцией и считать, что	амплитуды мод

вдвухмодовом режиме постоянны.

Вслучае достаточно большого пространственного перекры

тия мод

(16.28)

из условия устойчивости (16.26) следует, что синхронизованный двухмодовый режим (16.21) устойчив в области

(16.29)

Область устойчивости (16.29) меньше области существования (16.25) и стремится к нулю с ростом пространственного пере крытия мод, т. е. при цлг/цагр—*■26' — р.

Если при выполнении неравенства (16.28) разность резона торных частот превысит граничное значение в (16.29), то уста новится одномодовый режим генерации. Какая из двух пол ностью симметричных мод будет генерироваться, определяется начальной флуктуацией (гистерезис). При несимметрии мод бу дет генерироваться мода с большим коэффициентом усиления rj.

При еще большем пространственном перекрытии мод

(16.30)

синхронизованный двухмодовый режим (16.21) неустойчив при любой разности резонаторных частот |Qiv — Qp|. Для волн, бе гущих в одном направлении, неравенство (16.30) выполняется

§ 4] НЕЛИНЕЙНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МОДЫ 303

при		VPPNN
1 <	< 2 —		(16.31)
		NPPN
	»NP
т. e. для малых коэффициентов		синхронизации VPPNN < 1.
			^NPPN

В этом случае одна волна подавляет другую и устанавливается одноволновой режим генерации. Для стоячих волн условие (16.30) не выполняется. При генерации стоячих волн синхрони зованный двухмодовый режим (16.21) всегда осуществляется при достаточно малой разности резонаторных частот (см. усло вия (16.25) и (16.29)).

Синхронизация частот мод экспериментально	наблюдалась
в газовом линейном лазере стоячей волны [4]. Резонатор был
близок к конфокальному. Разность резонаторных частот, при ко
торой наступала синхронизация частот генерации мод, примерно
равнялась 20 кгц. Такая величина области синхронизации частот
мод не противоречит теоретическим оценкам	по формулам

(16.25) и (16.29). Более точного сравнения теории и экспери мента провести не удается, так как в эксперименте не был из

мерен линейный коэффициент усиления	З 1-.
	•** пор

§ 4. Нелинейная деформация генерируемой моды

Рассмотрим монохроматическую генерацию на частоте cojv в идеальном резонаторе, т. е. пренебрежем линейной связью ме жду модами. Однако, как уже отмечалось (см. гл. X), из-за не однородности нелинейной среды даже в идеальном резонаторе вклад в поле на частоте cojv дает не только N-я мода, но и дру гие моды резонатора Р, для которых коэффициент деформации V-n n n p отличен от нуля, хотя условие генерации на этих модах не выполнено. В этом параграфе рассматривается влияние предпороговых мод на изменение поперечного распределения интен сивности генерации и на устойчивость стационарной генерации на частоте (Одг по отношению к возникновению генерации на дру гих частотах сор (сор Ф (Ojv). М ы будем рассматривать парал лельно два случая: взаимодействие волн, бегущих в одном на правлении, и взаимодействие стоячих волн. Для встречных волн деформационное взаимодействие отсутствует [innnp = 0 (см. § 2 гл. XIV). Коэффициент деформации [innnp = 0 для мод разной четности по поперечным координатам.

Определим величину примеси (предпороговой) моды ЕР при генерации на частоте wjv. Предположим, что ЕР много меньше амплитуды генерируемой моды EN, и пренебрежем нелинейными

304	в з а и м о д е й с т в и е д в у х м о д		[ГЛ. XVI
по полю	Ер членами	всюду, кроме уравнения для	dEp/dt.
В уравнении для dEPjdt		насыщение по полю ЕР учитывать нуж

но, так как иначе при усилении моды Р выше пороговой поле ЕР будет неограниченно нарастать во времени. Действительно, вблизи порога линейное усиление goEP близко к нулю и вели чины линейного goEp и нелинейного цр Аа>ра,'раЕз членов в урав

нении для dEPldt одинаковы.

Из уравнения (16.1) или (16.4) найдем уравнения для ам плитуд En и Ер и разности фаз cpn p

dE N __ dt

dEP _ ___

d ( f NP ^ dt

где

N nop (nN — [iNa'NaE2N)E^N>

			Дю„	N,
g E p	^ n n n p		2	iVnopa E " К C0S(Pvp+Pv sin фда). (16.32)
n _	„ /	_A		Nn
14	r ’NNNP	2	N nop a £ (Рдг C®S ФлГР aNS^ (fNp)>

Ф N P = ( a M — w p ) ^ + Ф м — ф р + б»

Afflp	Nn
g — go — Рр ~ J ~	a p a E P>

Eo — 2Nn0p		— ^РК%РЫаЕн)’
^ ==	®p ==			^p +	(°>	ap “t" (P/v	хри)аЕ\г) 2~
^ N N N P ~ ^ N N N P ’			6 =	arg\|Im p ,			I для бегущих волн,
Pw^Pjv”		Re		XPN = ^PN~ ReFi

V -N N N P =			^ N N N P ’		6 =	0 ,	для стоячих волн,
	"1" XNn)>			XPN =	~2 ( XPN ~ Ь ^ PN)
P ^ = T ( Р м
					*
Q — разность		частот генерации				мод N и	Р в двухмодовом ста

ционарном режиме на пороге генерации Р-й моды. Коэффи циенты деформации цлгмлгр определены формулами (14.22) — (14.49).

Найдем стационарные решения на частоте oijv с учетом де

формации. Амплитуда генерируемой моды равна аЕ%= ■—, ■.

Р№лг Стационарные значения амплитуды ЕР и разности фаз ср^р

§ 4] н е л и н е й н а я д е ф о р м а ц и я м о д ы 305

удовлетворяют уравнениям

_п2	/2	( A(0^		N,	2 <	+ Ры ( Чу ¥
аЕр	V-NNNP^		2	ff		"Ь В2	\ H-JVaAГ/
				пор/				(16.33)
				^ аNЛ
		gf>N			mn,
Флгр	— arctg g a N — QpN
где	0,	если	ga'N + йр^ >			0,	cos q>NP >	О,
т =
	1,	если	ga'N+		Йр^ <	0 ,	cos q>NP <	0 .

Вдальнейшем будем считать, что частота генерации иn близка

кцентру линии: сом « соаь- Во всех квантовых генераторах для

моды N, близкой к центру линии, р^ 0. Соответственно знак

cos фNP совпадает со знаком насыщенного усиления моды Р. В допороговой области g « g0< 0 и можно в формулах (16.33) заменить g на g0.

Деформация поля приводит к следующему изменению в по перечном распределении интенсивности генерации на N-я моде:

In деф —Ion О "Ь ^ n)>

(16.34)

6/^ = 2 ^ cos (фдгр + флгр)

где lQN= aE2N| |2— интенсивность N-я моды без деформации,

q>NP— разность фаз собственных функций фя и фр. Найдем ве личину изменения интенсивности вследствие деформации б/лг, используя формулы (16.33):

	g cos (pPN + Q sin <ppN		p,Niffl/p фр
6/дг —	— АирЛм 2	£22 + g2	. (16.35)
			»N
Условие применимости (16.35) имеет вид
	й 2 + g 2 >	ti2,

Примесь предпороговой P-я моды ЫР велика, если разность частот генерируемой и предпороговой моды Й мала, а коэффи циент деформации v'NNNphiN не слишком мал. Оба условия вы

полняются для поперечных мод одинаковой четности с одинако вым продольным индексом = qP в следующих случаях: 1) в резонаторах со сферическими зеркалами, когда суммы попе речных индексов мод равны (mN+ nN — тР+ пР, при этом й = 0); 2) в сферических резонаторах, близких к плоскому

Рис. 16.1. Зависимость решения уравне ния (16.36) от разности частот мод. Кри вые /, 2, 3 отличаются значением пара метра связи А: I — >1 = 1/27; 2—А = 4/27; J —А=8/27; Хр Хп , у ,,,- т р и решения

306	в з а и м о д е й с т в и е д в у х	м о д		[ГЛ. XVI
(L/6 <	1), когда ту -\-tiy Ф тРЦ- пР\	3) в резонаторе		с пло-
скими зеркалами. Во всех этих случаях		, NNNP	1 (см.	(14.45),

ч \

/Х е

/__ ~

хя "

nNNNN


	(14.35), (14.49)). Для таких
	мод разность фаз резонатор
	ных	собственных			функций
	<Ppjv ( z ) мала. Полагая в фор
	муле		(16.35)		sin $pjv =		0,
	cos фpN = 1, получим, что знак
	примеси Р-й моды 6/р опреде
	ляется	знаком		g.	При	g < 0
	соответственно			и 6/р •< 0,			де
	формация приводит к уши-
	рению		радиального			распре
	деления;		при	g > 0 — к			су
2	жению.		При	увеличении g в
	области		g ^	0	уширяющая

Вдеформация 6/р пройдет че рез максимальное значение

1 « , 1 -

“у * " - при g -

в области (16.37)—(16.38); 4—линия границы

= —| Q|

обратится

нуль

между решениями

Х| и Xjj, Хц

и Хщ ,

при g =

Затем

при

росте g

Решение Хц, проходящее внутри области,

в области

g > 0

будет

нара

ограниченной линией 4 и осью

всегда

неустойчиво. Х[

всегда

устойчиво,

стать сужающая

деформация

Х щ устойчиво в области (16.41)

(см. [3)).

вплоть

до

порога

генерации

Из уравнений (16.33)

Р-й моды.

получим нелинейное уравнение для без-

размерной интенсивности Р-й моды X(qn »

coob;

Дю_

N n

apaE2p/gQ

X — Ц р -

N пор

( S o

Ф 0 ) ,

(16.36)

Xs— 2Х2 + (1 + В ) Х — Л =

г д е

Дш,

■ПN у

V-NNNP^P а Р

- ( ±

В > 0.

А =

N,пор Sn

1*А/

\Во

Знак А определяется знаком go. Дискриминант уравнения

(16.36) равен

		D = q2 + p\
где	i	l	l	I
		+		Р = \|( з в - 1 ) .
Уравнение	(16.36)		имеет одно	вещественное	решение, если
D > 0 и три вещественных решения, если D < 0					(рис. 16.1). Из

§ 4]

Н ЕЛ И Н ЕЙ Н А Я ДЕФ О РМ А Ц И Я МОДЫ

S 07

уравнения D — О найдем границы области существования трех решений А\ <. А < А2, где

Л1>2= | [ ( в + | ) + |/ ( 1 - З В ) з ]

( о < л < А ) . (16-37>

Необходимое условие		существования
жительность	усиления go и достаточная
стот мод по	сравнению	с усиле В
нием:		0,8
В		0,8
В		(16.38)

Исследуем устойчивость ста ционарного монохроматического режима генерации на частоте (16.33) относительно малых флуктуаций амплитуды ЕР и фа-

ЗЫ ф NP-

Монохроматическая генерация
неустойчива в области (рис. 16.2)
А <£ А0, где		0,2
		0,2
4	при
Ап—	(16.39)
л,	при В <	О

трех решений — поло малость разности ча

tM,

AjA

aJI

0,2 0,<* 0,6А

где go > 0

(усиление

Р-й

моды

Рис. 16.2. Влияние нелинейной дефор*

Граница области устойчивости А9 (16.39)

выше

порогового

значения

без

мацни на порог генерации

Р-Й моды.

заштрихована.

В области At <

А < А3

учета деформации),

существуют три стационарных реше

ния (см.

16.36) и (16.37)).

При

изменении

накачки g0 при постоянной разности

А3 =

Ц в + ± ) .

(16.40)

частот

мод £2

параметры

А,

ме*

няются

по

закону

где

В областях go <

0 и g0>

0, А >

/Дсо^

„4/3'

2/3

> Aq стационарный

монохрома

-члг

^NNNP^p

пор

тический режим (16.33) устойчив,

2/3

причем в области

существования

трех

решений

(16.37),

(16.38)

устойчиво

решение

Х\

(см.

рис.

16.1). Внутри этой области в узком интервале параметров

■ ± -< Д <4-.

(16.41)

устойчиво также и решение Лщ, т. е. в области (16.41) имеется два устойчивых решения (см. рис. 16.1). Какое из них осуществ ляется, зависит от предыстории. В формулах (16.39) и (16,41)

3 0 8 ВЗА И М О Д ЕЙ СТВИ Е ДВУХ МОД [ГЛ. XVI

А1,2 определяются формулой (16.37). Проведенное рассмотрение устойчивости справедливо при достаточно малой разности ча

стот мод Q < Yo < Yаь-

Таким образом, при учете деформации пороговое условие ге

нерации Р-й моды go >	0 заменяется более сильным условием
gо gnop, где			■/>
ДИр	N 0	( ^ N N N p P p ) 1*
			(16.42)
gnop	' 'Пм	M'W-'V1
	N пор

Усиление конкуренции мод при деформации может быть объяс нено тем, что деформация нарушает ортогональность мод и вследствие этого увеличивает их перекрытие.

Рассмотрим, может ли быть достигнут порог генерации Р-й моды при изменении накачки. Выражение (16.42) является

уравнением для	gaop.	Чтобы		найти	gnop,	нужно в уравнение
					Q 2 \
					(-j—) и выразить gnop через
разность частот					8пор/
разность частот	мод Q и другие параметры. Сдёлаем это в двух
предельных случаях: I.Q \|<			‘/з^пор (в этом случае Л0=Л ,»£22/ ^ ор)
И I Q \| > 1/2ёпор (4>		«	72£ВДпор)-		в обоих предельных слу
чаях получим
ёпор :	п I А(0ЛГ No			\3	1 PnnnpPp аР		(16.43)
ёпор :	I *				HN	aN	(16.43)
где	I *				HN	aN
где
	С — »	1	При	I Q К	Y f Snopy
	С — »
	1 2		при	\| Q \| »	Y S'nop.

Из (16.43) видно, что gnop неограниченно растет с уменьше нием разности частот мод fi. С другой стороны, усиление Р-й моды go не может быть сделано сколь угодно большим. Действи тельно, максимальное значение go равно

gmax	Д«>ЛГ	V’PN	%PN	(16.44)
	2 N пор	V-N	aN

так как с увеличением накачки или апертуры диафрагмы отно

шение линейных коэффициентов усиления мод — • стремится

к единице. При малой разности частот мод Q < Qrp порог гене рации Р-й моды при увеличении накачки или апертуры диа

S Б] ЗАК Л Ю Ч ЕН И Е 309

фрагмы не достигается, так как gmax ■< gnop. Величину £2гр най дем из условия

	§ т а х —	§пор>
% h<S>N Nn	P n n n p		---- / pttp , V‘. (16.45)
Qгр = С	' 'H.'V‘		---- / pttp , V‘. (16.45)
* п о р		Vn M-Na N ~ P p n Kp N j

Конечно, должно выполняться условие слабого пространствен ного перекрытия мод < P-No.'N/%'PN, иначе gmax < 0.

Таким образом, в приближении слабого поля учет деформа ции приводит к выводу, что в квантовых генераторах предпороговая мода Р, для которой цшулгр/цаг Ф 0, при малой разности частот мод £2 < £2гр остается в захвате при любой накачке и ге нерируется совместно с модой N на частоте со,у. Значение £2гр

растет с ростом линейного коэффициента усиления

0 % и

коэффициента деформации unnnp/hn- При большой разности частот мод £2 > £2гр в случае малого пространственного пере крытия мод jV и Р (условие (16.7)) мода Р при достаточной на качке go > gnop начинает генерироваться на своей частоте сор, причем с ростом £2 величина gn0p уменьшается (см. (16.43)).

§ 5. Заключение

Из приведенного анализа взаимодействия двух мод с раз личными пространственными распределениями полей при слабом

Дсо„ / JV0	х	Nn
усилении—2 " WVnop—	1j^ V a =	Yb<Ya6 и слабом поле -д-пор —

— 1 С 1 можно определить, какой режим генерации вблизи по рога будет устойчивым в зависимости от разности резонаторных частот мод | Qjv— £2р | и пространственного перекрытия полей мод.

Существуют три различных случая.

1. Устойчивость стационарного режима генерации опреде ляется только конкуренцией мод (см. § 2). В этом случае, если поля мод мало перекрываются (К > 2 ) , то моды генерируются совместно при любой разности частот генерации |ш^ — сор|. При

/( < 2 существует минимальный частотный интервал \|©jv — cdp\| o
такой,	что при \| (Ojv— юр\|<С\|солг — сор\|о устойчив одномодовый
режим.	При \| солг — юр\| > \| cojv— мр\|о устойчив двухмодовый ре

жим. Значения минимального частотного интервала для различ ных мод приведены в формулах (16.8) —(16.15).

2. Устойчивость режима генерации определяется взаимной не

линейной синхронизацией			(захватом) и конкуренцией мод
(см. § 3).	При	малой	разности	резонаторных частот мод
\|£2лг — £2р\|	(см,	формулы	(16.25)	и (16.29)) устойчив режим

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4231 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202316.04 Mб7Волков, М. И. Методы испытания строительных материалов учеб. пособие.pdf
#
22.10.202314.55 Mб13Волков, С. С. Сварка пластмасс ультразвуком.pdf
#
19.10.20236 Mб9Волкова, Е. А. Поляризационные измерения.pdf
#
25.10.202312.71 Mб14Волковыский Е.Г. Экономия топлива в котельных установках.pdf
#
19.10.20232.42 Mб3Волконский, В. А. Финансы в системе управления народным хозяйством препринт.pdf
#
22.10.202314.41 Mб10Волновые и флуктуационные процессы в лазерах..pdf
#
23.10.20236.29 Mб6Волны в двухкомпонентных средах..pdf
#
29.10.20232.15 Mб10Вологдин Я.И. Техника безопасности при разгрузке, погрузке, укладке и перевозке стальных труб и секций.pdf
#
29.10.20235.44 Mб8Володарский Л.М. Наша Родина. Цифры, факты, сравнения.pdf
#
29.10.20233.21 Mб17Володин Е.П. Машинист автогрейдера.pdf
#
23.10.20234.29 Mб24Володомонов Н.В. Календарь прошлое, настоящее, будущее [Текст].pdf

/( < 2 существует минимальный частотный интервал \|©jv — cdp\| o
такой,	что при \| (Ojv— юр\|<С\|солг — сор\|о устойчив одномодовый
режим.	При \| солг — юр\| > \| cojv— мр\|о устойчив двухмодовый ре