книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

Индексом «0» отмечены значения коэффициентов уа, уь, Уаь при столь низких давлениях, что эффектом давления можно прене­ бречь. Таким образом, значения коэффициентов у®\ у$>, у^ь

определяются флуктуациями электромагнитного поля.

На рис. 2.1, а представлены графики зависимости коэффи­ циентов уа, Yь» Уаъ от давления, полученные на основе экспери­ ментальных данных в работе Форка и Поллака [3]. Из этих графиков видно, что все три коэффициента являются линейными

Рис. 2.1. Зависимость параметров Ya. Yj> Yaj, и Д от давления гелия

(Аи= 1000 Мгц, ц=215 Мгц).

функциями давления. Однако скорость роста с увеличением давления существенно различна. Если для коэффициентов Ya’. Уг,0*. Y® справедливо соотношение

Аппроксимация интеграла столкновений в форме (2.9) не содержит явной зависимости от поля. Поле входит лишь неявно через функцию р„т - Однако в уравнение для флуктуаций, опре­ деляющих диссипативные процессы, на временах порядка 1/у входит напряженность электрического поля Е. Вследствие этого интеграл столкновений включает и явную зависимость от поля. Выражение (2.9) является нулевым приближением по Е (в смысле явной зависимости от поля).

В первом приближении по полю в выражении (2.9) появятся дополнительные члены, пропорциональные Е. Их можно объ­ единить с соответствующими членами в уравнениях (2.10)— (2.13), содержащими поле Е. В результате поле Е заменится

на некоторое эффективное поле Еэфф. Проще всего влияние до­ полнительных членов можно учесть, если задать эффективное поле в виде

Величина А, как и величины уа, Уь, Уаь, является функцией давления.

Подстановка выражения (2.15) в уравнения (2.10) — (2.13) показывает, что вследствие учета в интеграле столкновений яв­ ной зависимости от поля возникает дополнительный сдвиг фаз между вектором поляризации Р и полем Е. Аналогичный эф­ фект учитывается в работе [3]. Величину А можно практически отождествить с параметром с, введенным в этой работе.

Зависимость величины А от давления также может быть най­

дена по экспериментальным данным. Результаты приведены на рис. 2.1,6.

§ 3. Уравнение для напряженности электрического поля в лазере

Чтобы сделать систему уравнений (2.10) —(2.13) замкнутой, надо дополнить ее уравнением для поля Е. Используем для этого уравнения Максвелла. В инерциальной системе отсчета за­

Здесь P — вектор поляризации. Он определяется через функцию рпт {г, р, t):

n = N/V — плотность числа активных атомов. Отсюда для поля­ ризации, обусловленной переходами между двумя рабочими уровнями а, Ь, находим

мость а характеризует затухание поля, не связанное с выходом излучения через полупрозрачные зеркала резонатора. Объемная плотность заряда — divP для рабочей среды в газовом лазере равна нулю.

22 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА (ГЛ. II

Система координат, связанная с вращающимся кольцевым ла­ зером, является неинерциальной. Вследствие этого в уравне­ ниях Максвелла появляются дополнительные члены.

Первое уравнение (2.16) с учетом соотношений (2.22) во вра­ щающейся системе отсчета можно записать в виде

Преобразуем два последних члена уравнения (2.23) для случая

rot [E[0r][ = ([0r] grad) Е — (Е grad)[0r].

Вектор [rot Е[0г]] преобразуем с помощью формулы

Врезультате сумма двух последних членов уравнения (2.23) оказывается равной

-| ( [ 0r]grad)E.

Всоответствии с этим уравнение (2.20) для Е во вращающейся системе координат принимает вид

Таким образом, во вращающейся системе отсчета в волновом уравнении для Е появляется дополнительный член, пропорцио­

нальный отношению [0г]/с — отношению линейной скорости к скорости света.

§ 4. Уравнения для полей встречных волн в кольцевом лазере

Для определения электромагнитного поля во вращающемся кольцевом резонаторе, заполненном активной рабочей средой, используем замкнутую систему уравнений (2.10) —(2.13), (2.25). К этой системе уравнений следует добавить граничные условия на зеркалах. Однако при этом задача оказывается настолько сложной, что решить ее даже в одномерном приближении можно лишь в частных случаях.

Значительные упрощения получаются, если решать эту си­ стему уравнений методом заданных форм поля При этом за­ дача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых представляют собой усред­ ненные по заданным формам соответствующие значения пара­ метров. Точность такого решения зависит от выбора задаваемых

24 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА (ГЛ. II

форм, т. е. от того, насколько выбранные формы отражают наи­ более существенные стороны исследуемых явлений.

При использовании кольцевого газового лазера в качестве гироскопа обычно работают при достаточно малых превышениях уровня накачки над порогом, вследствие чего в каждом направ­ лении возбуждается лишь по одной продольной моде. Есте­ ственно начать рассмотрение волновых процессов в кольцевом лазере именно с этого случая.

тор k направлен вдоль оси резонатора. Модуль вектора fe равен k — 2nn/L, п — большое целое число, L — периметр кольцевого резонатора. Такая форма поля справедлива и для режима одной бегущей волны, когда одна из волн каким-либо способом подав­ лена, и для режима стоячей волны, когда амплитуды и частоты встречных волн одинаковы.

Направим ось z вдоль оси резонатора. Тогда волновой вектор fellz и поле E(r,t) = E(z,t), т. е. зависит только от коорди­ наты Z.

В выражении (2.26) комплексные величины 8 \ и 8 2являются быстрыми функциями времени и в общем случае могут быть медленными функциями координат. Зависимостью 8\ и <§2 от продольной координаты z можно пренебречь, если на длине ре­ зонатора величины <8\ и 8 г изменяются мало.

можно задать произвольным образом; необходимо лишь, чтобы они были близки к частотам генерации встречных волн. При за­ дании поля в виде (2.27) частоты генерации встречных волн равны о)], 2 + <Р1, 2.

Чтобы вывести уравнения для функций 8 \ и 82, прежде всего представим вектор поляризации Р в уравнении (2.25) в виде

Здесь Ра— составляющая вектора поляризации среды, обусловленная активными переходами, - Е — составляющая вектора

поляризации, обусловленная всеми нерезонансными переходами, в —диэлектрическая проницаемость среды.

= у [г г/г]. Величина вектора S равна площади контура коль­

цевого лазера.

Из (2.29), (2.33) и (2.34) следует, что собственные частоты резонатора для двух встречных волн, которые мы обозначим Qi, г, равны

Эту формулу можно получить и иным путем. Сделаем это для случая е — 1. При вращении кольцевого лазера время прохо­ ждения лучом кольца лазера по вращению и против вращения неодинаково. Оно определяется выражением (см., например, [4],

стр. 310)

t = -j- ± 2GS/C2.

Здесь L — длина периметра кольца, S — площадь кольца. Верх­ ний знак для волны, распространяющейся по вращению, а ниж­ ний — против.

Соответственно этому во вращающейся системе отсчета ме­ няется скорость света. Определяя ее как отношение L/t, получим

Кольцевой резонатор можно рассматривать как резонатор Фабри — Перо. Собственные частоты невращающегося резона­ тора для продольных мод определяются выражением

= 2л -j- п, п — целые числа.

Во вращающемся резонаторе вследствие изменения скорости света по формуле (2.36) каждая собственная частота расщеп­ ляется на две:

(в формуле (2.35) индекс п опущен).

Соответствующая разность частот определяется выражением

Q = Q2 — Q, = y -^-Q „.

Такой же результат следует и из формулы (2.35).

Вектор поляризации P(z,t), как и поле, представим в форме

28 КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВОГО ЛАЗЕРА [ГЛ. II

сначала по z, а затем по у. В приближении бесконечно больших зеркал получаем

< 2 - 4 3 >

i

Из формул (2.32), (2.42) следует, что достаточно большие однородные зеркала, расположенные под углом к направлению распространения луча, не вносят вклада в связь между встреч­ ными волнами. Как только мы учтем неоднородность зеркал или их конечные размеры, или же конечные размеры пучка, то такая связь будет отличной от нуля.

При исследовании ряда процессов в кольцевых лазерах часто устанавливают одно или два дополнительных зеркала,

'йЬ2= 2 т (1— г)

(2.44)

Здесь Г], 2— коэффициенты отра­ жения дополнительных зеркал, г — коэффициент отражения зер­ кала М, #^2 — фазы коэффициен­

тов связи, обусловленные расположением этих зеркал. Из фор­ мул (2.44) следует, что величины и фазы дополнительной связи можно менять, устанавливая поглощающие фильтры и пере­ мещая дополнительные зеркала. В формуле (2.32) представим mj, 2 в виде

еще не полностью определяют связь между волнами в кольце­ вом лазере, так как они не учитывают рассеяния волн на неод­ нородностях комплексной диэлектрической проницаемости, обу­

ше, чем связь, обусловленная рассеянием на неоднородностях е

происходит только на неоднородностях диэлектрической прони­ цаемости, то, как легко видеть из (2.46), коэффициенты связи Щ, г являются комплексно сопряженными, т. е. thl = thy В слу­

чае же, когда рассеяние происходит только на неоднородностях проводимости, коэффициенты связи антикомплексно сопряжен­ ные, т. е.

В качестве примера рассмотрим связь между волнами за счет отражения от скачка диэлектрической проницаемости. Пусть е = 8i при 0 ^ 2 ^ / и е = е2 при / ^ z ^ L. Тогда из (2.46) следует, что

(2.49)

Отсюда видно, что если бы в кольцевых лазерах существовали границы раздела двух сред с разными значениями диэлектри­ ческой проницаемости, перпендикулярные направлению распро­ странения волн, то они неизбежно давали бы значительную связь между волнами. В связи с этим при конструировании коль­ цевых лазеров стараются избежать появления таких границ. Для этого, в частности, делают газоразрядные трубки с брюстеровскими окнами. В этом случае обратное рассеяние возникает в основном за счет шероховатостей зеркал и дифракционных эффектов.

По экспериментальным данным эффективные коэффициенты отражения в обратном направлении [5, 6] (по амплитуде)

Взаключение данной главы заметим, что при задании поля

ввиде (2.26) с не зависящими от координат амплитудами