книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

j 3] ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗОНАТОРА И СРЕДЫ 281

Объяснить этот эффект можно следующим образом. Нелиней­ ная деформация уширяет поперечное распределение поля (см. (16.34), (16.35)). Величина деформации определяется характе­ ром поперечного распределения. Она уменьшается при расшире­ нии светового пятна.

Если трубка с активной средой поставлена так, что каустика расширяется от одного конца к другому, то для одной волны по направлению ее движения световое пятно уширяется, а у встречной — сужается.

Величина деформации поля волны в слое активной среды за­ висит от ее поперечного распределения в этом слое, которое в свою очередь складывается из поперечного распределения в пустом идеальном резонаторе (14.1) и дошедшего до слоя иска­ жения из-за нелинейной деформации на предшествующем уча­ стке среды. Для встречных волн, пришедших с разных концов трубки, деформация различная, что и вызывает различие иска­ жения распределения (14.1). Следовательно, возникнет разная нелинейная деформация полей встречных волн в слое, приводя­ щая к неодинаковым суммарным деформациям в трубке. В ре­ зультате сдвиги частот встречных волн оказываются различными

ипоявляется расщепление их частот генерации.'

Всогласии со сказанным выше пространственный коэффи­ циент нелинейной трансформации LbcN (15.21) определяется различием размеров каустик на разных концах трубки. Если центр трубки совпадает с шейкой каустики симметричного

кольцевого резонатора (z0 = 0), то L^n = 0 и расщепление ча­ стот отсутствует. На протяжении короткой трубки масштаб поля меняется мало. В соответствии с этим при уменьшении длины трубки коэффициент L^n уменьшается как 14 (см. формулу (15.22)). С другой стороны, если среда заполняет резонатор це­ ликом (L = /), то z0== 0. При этом L^n — 0 и разность частот (15.33) равна нулю.

' Можно подобрать длину и расположение трубки так, чтобы расщепление частот (15.33) стало максимальным. Из физиче­ ских соображений ясно, что для этого трубка должна протя­

Ьх-*оо, by—юо размер светового пятна растет, поперечное рас­ пределение поля становится более однородным, деформация

уменьшается и, согласно (15.22), LbcN/ll~ *0. Поэтому расщеп­ ление частот стремится к нулю. Кроме того, чисто нелинейное расщепление частот (15.33) пропорционально третьей степени коэффициента усиления и, следовательно, в слабом поле мало.

При достаточном увеличении апертуры зеркал ‘знаки нера­ венства в условиях (15.27) и (15.28) сменятся на обратные и

<дифракционные потери станут несущественными, а полные по тери разных поперечных мод — равными (Acojvb = 0). В таком «идеальном» резонаторе без дифракции имеется только чисто нелинейное расщепление частот^

с активной средой определяет предельное минимальное расщеп­ ление частот встречных волн.

§ 4. Расчет дифракционного расщепления частот генерации встречных волн со,—со2 в приближении короткой трубки

Зависимость со,—с»2 от расстройки частоты генерации от­

носительно центра линии усиления. При выполнении условия (15.27) в разность частот oil — со2 основной вклад вносит член Awiriiv, обусловленный искажением полей встречных волн за счет дифракции, и можно представить выражение (15.19) в виде

то расщепление со, — со2 является четной функцией расстройки независимо от изотопного состава активной среды (для чистого изотопа соо совпадает с шаь). Этот факт согласуется с экспери­ ментом [2, 3] (см. рис. 15.1). Четный характер зависимости со, — со2 от со — со0 позволяет на эксперименте отличить дифрак­ ционное расщепление частот от расщепления частот, связанного с различием добротности направлений. В последнем случае за­ висимость разности частот встречных волн от расстройки со — соо имеет нечетный характер (см. 15.46)). На рис. 15.4 приведены зависимости функции F от со — <в0, вычисленные для чистого изо­ топа и для 50% -ной смеси изотопов.

Отметим, что в случае 50%-ной смеси изотопов на центре ли­ нии усиления со —со0 = 0 функция Z7 (со — to0) имеет максимум

5 4] ДИФРАКЦИОННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ЧАСТОТ 283

или минимум в зависимости от знака производной

мом, которая может быть замечена на эксперименте) записы­ вается в виде

Рис. 15.4. Зависимость расщепления частот генерации встречных волн от расстройки частоты генерации относительно центра линии усиления. Кривая / для чистого изотопа

(см. 15.30), (15.35), (15.29), (15.30а)). Область вблизи центра линии (выделена пунктиром) не описывается формулой (15.35) (см. (15.18)). Кривая 2 Для 50Я-НОЙ смеси изотопов (см. (15.35).

В пределе короткой трубки I <к. kbN, Ьх, Ьу в случае резонатора с одной диафрагмой формула (15.25) для Рьс приобретает вид

Будем интересоваться расщеплением частот основной моды mN = пя — 0. Из выражения для Рьс (15.37) следует, что су­ щественный вклад в сумму (15.35) дают только первые попе­ речные моды (ть, пь = 1, 2, 3, 4, 5, 6) (см. (15.42) и (14.276)).

Будем рассчитывать резонаторы, у которых для первых попе­ речных мод разность частот мод либо мала

Подставляя в (15.35) выражение (15.37) для Рьс и пренебрегая вкладом членов с частотами й яь, удовлетворяющими условию (15.39), формулу можно записать в виде

Коэффициенты Мья отвечают за перекрытие мод на апертуре диафрагмы и определяются геометрией резонатора, размером и видом диафрагмы. Для одномерной диафрагмы (щель, полу­ плоскость)

«■ ...-V- «-/-5SK*+(■£)■]•

\n— символ Кронекера.

Врезонаторе с симметричной щелевой диафрагмой вклад в

расщепление частот дают лишь моды с четными т и п (посколь­ ку # 2а— четная функция, а H2h+i — нечетная, то основная мода связана только с четно-четными модами). В этом случае

е-о1

тов перекрытия 0, Afmji 0, однако основной вклад дает не­ большое число мод с т — 0, 2, 4, поэтому максимум кривой расщепления А (15.41) определяется первыми максимумами М02, М04, которые лежат близко друг к другу (см. (15.42)). Коорди­ ната максимума кривой расщепления (15.41) Стах — 0,7 слабо зависит от формы резонатора (от величины R/L), но в разных резонаторах сх соответствует различным размерам диафрагмы d (d = cxdQ). На рис. 15.5, а приведен вид зависимости функции

Рис. 15.5. Зависимость дифракционного расшепления частот от относительного размера диафрагмы сх . а) щелевая диафрагма с шириной щели 2d=2d0cx (см. (15.42)); б) диа­

фрагма в виде полуплоскости. Расстояние от края полуплоскости до оси резонатора равно d=*d0cx .

А (см. (15.41)) для конфокального резонатора от относитель­ ного размера сх симметричной щелевой диафрагмы. Для других резонаторов характер зависимости А от сх сохраняется.

Рассмотрим резонатор с несимметричной диафрагмой; для примера рассчитан случай диафрагмы в виде полуплоскости. Тогда, интегрируя (15.42) в пределах от —оо до сх, получим

V n V 2т

Присутствие мод с нечетными т существенно изменяет вид ча­ стотной кривой, так как определяющую роль играют члены с ЛТ01, Моз. имеющие максимум при сх = 0. На рис. 15.5,6 пред­ ставлена зависимость «ц — шг для конфокального резонатора в случае диафрагмы в виде полуплоскости от безразмерного рас­ стояния сх края полуплоскости от оси резонатора. Характер за­ висимости сохраняется и для других резонаторов.

Во всех случаях величина расщепления частот определяется параметром сх, характеризующим отношение размера диафраг­ мы к размеру пучка do в месте нахождения диафрагмы.

Отметим, что для любой диафрагмы при достаточно боль­ шом размере ее апертуры (сх > 1) наблюдается быстрый спад расщепления частот (15.41) при увеличении линейного размера диафрагмы d:

A ~ e ~ 2(d/d‘}\

Размер пучка dо (см. (15.42)) возрастает при zj ф 0 и £>*->() (концентрический резонатор), а также при Ьх -> оо (плоский ре­

чалось, размер пучка do, во-вторых, от R/L (через параметр Ь) зависит разность частот мод Qjva и величина /ьс-

Исследование формулы (15.41) показывает, что расщепле­ ние частот А при любом значении сх, у стремится к нулю при

bXt у * 0 (Zj -у—0 ) И bXt у ОО.

Зависимость расщепления частот ап — а>2 от положений ак­ тивной среды и одномерной диафрагмы (щели и полуплоскости) согласно формулам (15.41) и (15.39) определяется функциями

he= sin { 2л(Яь + Яо2<Ы—( г° L~ ) +

чении |г0 — г*| лишь примерно равном L/2, зависящем также от положения среды и диафрагмы в резонаторе, т. е. от zo и Zj.

Если диафрагма закреплена на сферическом зеркале, то за­ висимость coi — юг от положения среды описывается функциями

Все функции fbc, а следовательно, и расщепление частот об­ ращаются в нуль независимо от формы резонатора при помеще­ нии центра среды в шейку каустики (го = 0).

§5. Влияние различия добротностей встречных волн

Впредыдущем изложении при определении расщепления частот генерации встречных волн в кольцевом лазере с диа­ фрагмой не учитывалось возможное различие потерь встречных волн в резонаторе

добротностей встречных волн. Учет разности добротностей на­ правлений AQ/Q, одновременно с дифракцией на диафрагме, проведенный по методике, изложенной в § 2 этой главы, приво­ дит к следующей формуле для дополнительной разности частот генерации встречных волн:

где коэффициент DbN определен формулами (15.17а) и (15.176), а коэффициенты а, р, р, т — формулами (11.66).

Сопоставляя выражение (15.46) с (15.7а) и (15.19), легко видеть, что разность частот coi— шг возникает вследствие раз­ личия нелинейных сдвигов частот генерации встречных волн из-за неодинаковости их добротностей. Первый член выраже­ ния (15.46) совпадает с соответствующим членом в формуле (6.6). Первый и третий члены (15.46) не зависят от интенсивности,

второй, учитывающий нелинейную деформацию поперечного распределения поля, пропорционален интенсивности генерации.

Зависимость выражения (15.46) от расстройки частоты гене­ рации о — соо определяется составом газовой активной среды.

Для чистого изотопа в области частот

ku > I (0 — <йаЬI > 2 -Sg- VVaVab

имеем

ностью добротностей направлений, сильно нарастает при при­ ближении частоты генерации со к центру линии соаь. Первый член в (15.46) имеет нечетную зависимость от со — соаг»’ а вто­ рой и третий члены имеют четные зависимости от и — соаь. Раз­