книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

240 СПЕКТР ЧАСТОТ КОЛЬЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА [ГЛ. XIV

конфокального резонатора на плоскостях х, z и у, z соответ­ ственно.

нии являются гиперболами. Построенные на этих линиях ци­

в лучевой трубке между каустическими поверхностями пред­ ставляет собой совокупность пересекающихся лучей, за каусти­ ческие поверхности лучи не проникают. Согласно волновой оп­ тике поле моды та, па (14.1) — (14.3) внутри лучевой трубки, ограниченной каустическими поверхностями, осциллирует, вне ее — экспоненциально затухает.

линейный набег фазы бегущей волны выбран так, что в центре

В плоскости х , z проведем через точку z окружность произволь­ ного радиуса R x с центром, расположенным на оси z . В при­ ближениях дифракции Френеля (14.6) поле на такой окруж­ ности имеет вид (14.3) с дополнительным множителем

§ 1] РЕЗОНАТОР СО СФЕРИЧЕСКИМИ ЗЕРКАЛАМИ 241

то такая окружность является линией постоянной фазы на плос­

кости х, г. Аналогично на плоскости у, z линией постоянной фазы

г* + (Ьу!2)2

служит окружность радиуса Ry = --------------. Построенная на

этих линиях поверхность является поверхностью постоянной фазы, пересекающей ось х = у = 0 в точке z. В сечении 2 = 0 Rx(0) = Rv(0) — оо, т. е. поверхность постоянной фазы пре­ вращается в плоскость.

Рассмотрим теперь отражение бегущей волны (14.1) от сфе­ рического зеркала, поставленного наклонно к падающему све­ товому пучку (рис. 14.2). Согласно законам геометрической

Рис. 14.2. Преобразование масштабов поля (а) и линии постоянной фазы (6) в плоскости резоиатора y t z при отражении волны от наклонного сферического зеркала.

оптики при отражении от сферического зеркала 1) угол падения луча равен углу отражения, 2) масштаб поперечного распреде­ ления поля на зеркале одинаков для падающей и отраженной волны (рис. 14.2, а) 3) поверхность постоянной фазы падающей волны на зеркале преобразуется в поверхность постоянной фазы отраженной волны на зеркале по следующим правилам: окружности постоянной фазы радиусов Rx(z3) и Rv(z3) в глав­ ных плоскостях х, z и у, z преобразуются также в окружности

постоянной фазы (рис. 14.2,6), радиусы которых Rx и Ry опрег деляются по формулам тонкой линзы

R — радиус зеркала, z3— координата центра зеркала по оси z (рис. 14.2, а). Для падающей волны радиусы Rx и Rv считаются положительными, если фазовый фронт выпуклый. Для отражен­ ной волны радиусы Rx и Ry считаются положительными, если фазовый фронт вогнутый (рис. 14.2,6). Эти правила не зависят от направления бегущей волны.

Если обозначить через х, у, z декартовы координаты для от­ раженной волны, то при отражении в зеркале х-*х\ у -*■—у (рис. 14.2, а). На зеркале

Е Т (х, у, 2з) = Еатр (х, - у, z,) = einanEVv (х, у, 23).

Поэтому поле моды а (14.1) при отражении приобретает допол­ нительную фазу пап. Поле моды с четным индексом па сохра­ няет свой вид при отражении, в то время как поле моды с не­ четным индексом па приобретает дополнительный множитель

ein — — 1.

В соответствии с граничным условием (11.3) поле волны при отражении приобретает разные знаки в зависимости от направления вектора поляризации. Если электрическое поле на­ правлено перпендикулярно плоскости падения (вдоль оси х), то коэффициент отражения идеального зеркала равен —1, т. е. в этом случае поле отраженной волны приобретает множитель

—1 = ein. Если вектор электрического поля лежит в плоскости падения у, г, то коэффициент отражения идеального зеркала ра­ вен 1.

Поле отраженной волны E°aP( x , y , z ) выражается форму­ лами (14.1) — (14.5), в которые нужно подставить новые па­ раметры Бх, 5У, z3>x и г3) у, где z3tX (z3tV) равен расстоянию от зеркала до минимального сечения в плоскости х, z (y ,z ). Из ус­ ловий равенства масштабов и преобразования фазовых фронтов

Из равенств (14.11) видно, что у отраженной волны в общем слу­ чае различны не только Ьх и Ьу, но и z3iX и г3<у, т. е. минималь-

ловия, что полный набег фазы волны на замкнутом пу»ги в ре­ зонаторе кратен 2л (условия периодичности). Полный набег складывается из набега фазы волны kz — cp(z) и изменений

фазы волны при отражениях на зеркалах резонатора:

частоты Qa определялись однозначно, достаточно в формуле (14.15) брать главные значения периодических функций.

Для того чтобы кольцевой резонатор был устойчивым, т. е. не имел бы потерь при бесконечной апертуре зеркал, необхо­ димо и достаточно, чтобы радиусы эквивалентного конфокаль­ ного резонатора bXtj и bVtj на плоскостях х, z и у, г, найденные из условий (14.13), (14.14), были положительными для всех плеч кольцевого резонатора.

Рассмотрим наиболее простой тип кольцевых сферических резонаторов, у которых радиусы сферических зеркал и углы падения луча на зеркала одинаковы для всех сферических зер­ кал:

длины плеч кольцевого резонатора, расположенных через один,

двух типов с длиной li и /2. Если число сферических зеркал не­ четно (г = 2/1+ 1), то равны длины всех плеч резонатора. В обоих случаях центр распределения поля в каждом плече находится посредине плеча, т. е. z Xj = z Vi j = /,-/2 ( / = 1 , 2 ...

..., г). Поэтому будем называть такие резонаторы симметрич­ ными кольцевыми резонаторами.

если три волны (например, /, К, G) бегут в одну сторону, а чет­ вертая (N ) им навстречу. Коэффициент \i j k g m (14.22) отличен от нуля, если \kj-\-kK — kG— kN\<^kN. Считая, что волновые числа kj, kK, kQ и kN одного порядка, получим, что это условие выполняется для волн, бегущих в одном направлении. При взаимодействии встречных волн отличен от нуля коэффициент перекрытия \ij,KGN„ если пара волн J'N' (индексы со штрихами)

бегут в одном направлении, а волны К, G — во встречном на­ правлении. Согласно определению (14.22) и выражению для поля бегущей волны (14.1)

перекрытия волн, бегущих в одном направлении. При изменении знака направления волны, как видно из (14.23), коэффициенты нелинейного перекрытия волн должны быть заменены на комп­ лексно сопряженные.

В дальнейшем будем рассматривать коэффициенты взаимо­ действия волн, бегущих в одном направлении. В случае взаи­ модействия двух мод имеется шесть различных коэффициентов. Пространственной характеристикой самонасыщения моды яв­

—— синхронизацию волн J и N. Коэффициенты \ijjjn и

Pwawj определяют деформацию волн.

Найдем коэффициенты пространственного перекрытия в ре­

Ч*1mjtij — вещественные функции, определенные формулой (14.2).

Интегрирование в (14.25) в бесконечных пределах означает пренебрежение дифракцией на поперечных размерах трубки с активной средой. Для этого диаметр трубки должен быть много больше диаметра светового пятна. aJKGN— вещественное число, характеризует степень перекрытия поперечных распределений полей мод и зависит только от индексов мод. Коэффициент

§ 2] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕКРЫТИЯ 2-19

продольного перекрытия волн равен

г,+Ц2

dz

Вычислим коэффициенты cijkgn■Из вида собственных функ­ ций (14.2) и (14.3) следует, что в кольцевом резонаторе инте­ гралы по координатам х и у разделяются:

a iKON ~ a /KQN ' a jyKGN'

Функции \Pm(g) определены формулой (14.3). Приведем выражения для коэффициентов взаимодействия основной моды с индексом тп = 0 с другими модами с индексами т, п и k: