книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

§ 9. Влияние поперечного распределения поля на нелинейную поляризацию активной среды

Рассчитаем поляризацию инверсно-населенного перехода с учетом поперечного распределения поля. В отличие от преды­ дущих параграфов номер моды будем обозначать прописными латинскими буквами (N,K,...). Каждая мода N характери­ зуется совокупностью трех индексов — продольным qN и двумя поперечными mN и nN. Вклад поляризации первого порядка по полю Pjv(0 в моду N в силу ортонормированности собственных функций определяется нолем самой N-u моды:

При этом предполагается, что поперечные размеры трубки зна­ чительно превосходят поперечный размер поля моды, и поэтому дифракцией на трубке можно пренебречь. Поляризация треть­ его порядка по полю (вклад в N-ю моду) в газовом лазере имеет вид *)

не зависит от распределений полей мод, а определяется только

*) При расчете поляризации движущихся атомов нужно учитывать из­

менения поля Еа(г), действующего на атом, со временем вследствие движе­ ния атома г' = г + vt. Мы будем пренебрегать изменением поперечной коор­

динаты атома, что справедливо, если расстояние иу-1, проходимое атомом за

время жизни у”1, мало по сравнению с масштабом рх, у изменения поля в по­

перечном направлении.

% 10] УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ 181

В формулах для поляризации среды (11.70), (11.70а) коэффи­ циенты MN, RN, Fnk и Wjkg при однородном уширении контура усиления даются формулами (11.60), в которых нужно учесть, что скорость атома v = 0. В случае газовой среды с широким доплеровским контуром усиления коэффициенты M n , R n , F n k , L n k , W j k g и Hjkg даются формулами (11.66).

Из выражений (11.70), (11.70а) видно, что нелинейная по­ ляризация делает среду оптически неоднородной и трансформи­ рует волну одного типа J в волны других типов колебаний N, если соответствующий коэффициент перекрытия бегущих волн цууулг отличен от нуля.

§10. Уравнения многомодовой генерации в газовом кольцевом лазере

Для того чтобы получить уравнения генерации газового ла­ зера, нужно в уравнения поля (11.43) подставить выражение для поляризации активной среды на N-м типе колебаний (11.70) и (11.70а). В приближении медленно меняющихся амплитуд и

фаз поля 8 Ns(t) = ENs(t) e~lWNt

получим укороченные уравнения генерации для комплексных

р < / , м

равны индексы P = N и ] = М. Коэффициент нелинейного про­ странственного перекрытия V>PMjN= V 1pmjn==V-pmjn (п -71) опре­ деляется перекрытием собственных функций резонатора (см.

(14.22) — (14.45):

M-aip = №n p p n — J IFn (r) |2! EP (r) |2 dV,

Комплексные коэффициенты усиления, насыщения и нелиней­

линии усиления определяются формулами (11.66), (11.67). В случае однородного уширения линии усиления нелинейное взаимодействие встречных волн такое же, как и взаимодейст­

В случае взаимодействия продольных мод с одинаковым по­ перечным распределением поля для активной среды, целиком заполняющей резонатор,

(11.74)

где

В приближении плоских волн p,jv = 1.

Если взаимодействуют лишь две встречные волны одной моды, то в приближении плоских волн уравнение (11.73) совпа­ дает с уравнениями (4.4), (4.5). При взаимодействии четырех и более волн в уравнениях (11.73) имеется не равный нулю член

где йр — Qn — разность частот двух продольных мод резонатора

Оценим глубину модуляции Ем/Е$( и з амплитудного урав­ нения (11.73). Из уравнения нулевого приближения получаем, предполагая, что стационарные амплитуды мод равны:

(е % Т =(е№ =

Тогда для амплитуды осцилляций Е$ получим из уравнения первого приближения следующую оценку:

Таким образом, в силу условия (11.75), означающего, что ха­ рактерное время изменения поля 1/(AtojvT)) гораздо больше пе­ риода осцилляции с разностной частотой TPN = 2n/\Qp— Qjv|, амплитуда этих осцилляций мала по сравнению со средней амплитудой поля:

т. е. поле не успевает реагировать на быстрые осцилляции ди­ электрической проницаемости среды. Полагая, что условие (11.75) выполняется, получим в приближении плоских волн

ное усиление больше потерь) выполнены только для небольшого числа п-мод.

Пренебрежем вначале комбинационным взаимодействием. В этом случае все другие моды (предпороговые) могут суще­ ствовать только как флуктуации, амплитуды которых, как пра­ вило, малы. Соответственно, в уравнениях (11.76) будем учиты­ вать только члены, линейные по амплитудам предпороговых мод. В силу этого уравнения для генерируемых мод не будут зависеть от предпороговых мод, а эффективный коэффициент усиления предпороговых мод зависит только от амплитуд гене­ рируемых волн.

Таким образом, задача об устойчивости n-модового режима стационарной генерации распадается на две: исследование внут­ ренней и внешней устойчивости. На основе системы Ап времен­ ных связанных уравнений для амплитуд и фаз бегущих встреч­ ных волн генерируемых мод решается задача о внутренней устойчивости 2п-волнового стационарного режима генерации относительно гашения одной или нескольких волн или возникно­ вения автомодуляционного (пичкового) режима. На основе временных уравнений для бегущих волн одной предпороговой моды решается задача о внешней устойчивости n-модового ре­ жима по отношению к возникновению новых генерируемых мод. Так как взаимодействие мод носит характер конкуренции, то может возникнуть генерация только такой предпороговой моды, у которой линейное усиление выше потерь.

Учет комбинационного взаимодействия существенно меняет дело. Если волны с волновыми векторами k и km бегут в одном направлении, то волновой вектор комбинационного тона 2k — km равен й_т — волновому вектору волны, бегущей в том же

— 2оз — (от . Моды т и —т, расположенные симметрично отно­ сительно моды с частотой со (сот — со — со — ш_т ), оказываются связанными друг с другом. На языке квантовой теории излуче­ ния комбинационное взаимодействие означает, что в активной среде при поглощении двух квантов частоты со возможно излу­ чение двух квантов с частотами <вто и co-m. Возможен и обратный процесс.

Этот вывод не распространяется на встречные волны. В этом

комбинационного тона осциллирует вдоль оси лазера с про­ странственной частотой 2km. При усреднении по длине активной среды I вклад такого комбинационного члена в моду —т имеет исчезающе малый порядок Х/(21).

В случае генерации одной моды комбинационное взаимодей­ ствие связывает симметрично расположенные предпороговые моды. Задача об устойчивости по-прежнему точно разделяется на исследование внутренней и внешней устойчивости одноча­ стотного стационарного режима генерации. При этом область частот, в которой возможно возникновение генерации предпороговых мод, сильно увеличивается, так как благодаря комбина­ ционному взаимодействию при определенных условиях возни­ кает перекачка энергии от генерируемой моды к предпороговым. За счет этого при достаточной накачке эффективное усиление пары связанных предпороговых мод может стать больше потерь, даже если их линейное усиление меньше потерь.

В этой главе роль комбинационного взаимодействия в вопро­ се о внешней устойчивости стационарного режима подробно об­ суждается на примере генерации одной интенсивной волны.

При генерации на двух и более частотах за счет комбина­ ционного взаимодействия уравнения для генерируемых и пред­ пороговых мод оказываются связанными. Действительно, вклад предпороговой моды в уравнение для генерируемой моды про­ порционален произведению квадрата амплитуды генерируемой моды на амплитуду предпороговой. Для того чтобы им можно было пренебречь по сравнению с другими членами, необходима малость амплитуды предпороговой моды по сравнению с гене­ рируемой. Моды, для которых это условие не выполняется, свя­ заны с генерируемыми модами.

§ 2. Стационарная генерация сильной бегущей волны

Рассмотрим генерацию в кольцевом лазере в приближении плоских волн. При этом поле описывается одномерным волно­ вым уравнением. Так как мы не накладываем ограничений на

§ 2] ГЕНЕРАЦИЯ СИЛЬНОЙ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ 187

интенсивность генерации, нужно заново решить уравнения, оп­ ределяющие поляризацию активной среды.

При условии равенства ширин уровней генерации \ а = уь уравнения для матрицы плотности (11.46) могут быть сведе­ ны к дифференциальному уравнению второго порядка для

Электрическое поле должно удовлетворять условию периодич

кольцевой резонатор. Все потери излучения в резонаторе, в том числе потери на зеркалах, включены в Дсор.

Система (12.1) пригодна для описания генерации как при однородном, так и неоднородном уширении линии усиления. В случае неоднородного уширения частоты переходов отдель­ ных атомных систем сааь смещены относительно центра линии:

Для однородного уширения f(x) — 8(х). В общем случае поля­ ризация Р(х) и разность населенностей N являются характери­ стиками атомов, обладающих резонансной частотой (о0ь, в то время как в уравнение поля входит средняя поляризация среды (средний дипольный момент единицы объема)

Наше рассмотрение не зависит от причины, вызывающей не­ однородное уширение. Для твердотельных лазеров такой

причиной могут быть различия в микрополях, действующих на излучающие центры, для газовых лазеров — эффект Доплера, возникающий вследствие теплового движения.

Запишем решения системы (12.1) в виде

задачи много меньше самой частоты) система укороченных уравнений для медленных переменных, описывающая взаимо­ действие поля с доплеровским ансамблем атомов, имеет вид

где Qq = ck — резонаторная частота.